UAS Kalkulus 3 — Review + 40 Soal

Soal 1 — Fubini 3D

Hitung ∭_B xy²z dV, B = [0,1]×[0,2]×[0,3].

Soal 2 — Volume Solid

Hitung volume solid di bawah z=x+y, di atas z=0, dalam silinder x²+y²≤4.

Soal 3 — Massa Solid

Massa solid E={(x,y,z): 0≤z≤1−x²−y²} dengan kerapatan ρ(x,y,z)=z.

Soal 4 — Koordinat Silinder

Hitung ∭_E z dV, E = {x²+y²≤1, 0≤z≤3}.

Soal 5 — Koordinat Bola

Hitung volume setengah bola atas ρ≤2, φ∈[0,π/2] menggunakan koordinat bola.

Soal 6 — Integral Garis Skalar

Hitung ∫_C xy ds, C: r(t)=(cos t, sin t), 0≤t≤π/2.

Soal 7 — Integral Garis Vektor

Hitung ∫_C F·dr, F=(y,x+y), C dari (0,0) ke (1,1) sepanjang y=x².

Soal 8 — Medan Konservatif

F=(y²,2xy+1). Cek apakah konservatif, cari fungsi potensial, hitung ∫_C dari (0,0) ke (2,4) jalur apa pun.

Soal 9 — Kerja pada Lengkungan 3D

Hitung kerja F=(2x,3y,z) sepanjang kurva r(t)=(t,t²,t³), 0≤t≤1.

Soal 10 — Integral Garis Independen Jalur

F=∇(x²y+yz). Hitung ∫_C F·dr dari (0,0,0) ke (1,2,3).

Soal 11 — Green Dasar

∮_C(x²+y)dx + (y²−x)dy, C: batas persegi [0,1]×[0,1], CCW.

Soal 12 — Luas via Green

Gunakan Green untuk menghitung luas elips x²/4+y²/9=1 (a=2,b=3).

Soal 13 — Green Simetri

∮_C(e^x+y²)dx+(x²+sin y)dy, C: x²+y²=4, CCW.

Soal 14 — Green untuk Kerja

Hitung kerja F=(x²y,−xy²) mengelilingi persegi panjang [0,3]×[0,2], CCW.

Soal 15 — Integral Permukaan Skalar

Hitung &iint;_S z dS, S: bidang z=1−x−y di atas D: x≥0,y≥0,x+y≤1.

Soal 16 — Flux melalui Paraboloid

Hitung flux F=(0,0,z) melalui paraboloid z=x²+y², 0≤z≤4 (normal ke atas).

Soal 17 — Luas Permukaan

Hitung luas permukaan z=√(x²+y²) di antara z=1 dan z=2.

Soal 18 — Flux melalui Bola Tertutup

Hitung flux F=(x,y,z) melalui setengah bola atas x²+y²+z²=1, z≥0, plus disk bawah (normal keluar).

Soal 19 — Stokes Dasar

Gunakan Stokes: ∮_C(y,z,x)·dr, C=lingkaran x²+y²=9, z=0, CCW.

Soal 20 — Stokes pada Hemisphere

Hitung &iint;_S curl F·dS, F=(y,z,x), S: setengah bola z=√(4−x²−y²), normal ke atas.

Soal 21 — Curl Nol & Independensi Permukaan

Jika curl F=0, berapa nilai ∮_C F·dr untuk C apa pun yang merupakan batas suatu permukaan?

Soal 22 — Stokes untuk Batas Kompleks

Hitung &iint;_S (curl F)·dS, F=(xz, yz, xy), S: z=9−x²−y², z≥0.

Soal 23 — Divergensi pada Kubus

Flux F=(x,y,z) melalui permukaan kubus [0,2]³.

Soal 24 — Divergensi pada Bola

Flux F=(x³,y³,z³) melalui bola x²+y²+z²=1.

Soal 25 — Solenoid

Tunjukkan F=(y²z, xz², x²y) adalah solenoid dan implikasinya untuk flux melalui permukaan tertutup apa pun.

Soal 26 — Divergensi Hukum Gauss

Untuk F=r/|r|³ (inverse square), hitung flux melalui bola radius R. (Hukum Gauss elektrostatika)

Soal 27 — Persamaan Laplace

Tunjukkan f(x,y) = e^xcos y memenuhi persamaan Laplace ∇²f = 0.

Soal 28 — Integral Garis 3D

∫_C z dx + x dy + y dz, C: r(t)=(cos t, sin t, t), 0≤t≤π.

Soal 29 — Green Identitas Pertama

Verifikasi: &iint;_S u ∇v · dS = ∭_V(u∇²v + ∇u·∇v) dV untuk u=x, v=y di kubus [0,1]³.

Soal 30 — Stokes + Conservative

F=(2xy,x²+z,y). Tunjukkan konservatif, cari f, hitung ∫_C dari (0,0,0) ke (1,2,3).

Soal 31 — Divergensi Nested

Flux F=(x²,y²,z²) melalui silinder tertutup r≤1, 0≤z≤2 via Divergensi.

Soal 32 — Flux Silinder

Flux langsung F=(x,y,0) melalui tutup atas silinder x²+y²≤1, z=1 (normal ke atas).

Soal 33 — Massa Bola

Hitung momen inersia bola x²+y²+z²≤a² terhadap sumbu z, ρ=1.

Soal 34 — Koordinat Bola Lanjutan

Hitung ∭_E (x²+y²+z²)dV, E: 1≤x²+y²+z²≤4.

Soal 35 — Curl dari Gradient

Buktikan curl(grad f) = 0 untuk fungsi f ∈ C².

Soal 36 — Stokes di Torus

Hitung ∮_C F·dr, F=(y,x,1), C lingkaran radius 2 di bidang z=3.

Soal 37 — Change of Variables 3D

Jacobian transformasi silinder (r,θ,z)→(x,y,z), hitung det dan interpretasikan.

Soal 38 — Divergensi + Potensial

F=∇(1/r) di mana r=√(x²+y²+z²). Hitung div F untuk r≠0.

Soal 39 — Maxwell: Gauss

Hukum Gauss: div E=ρ/ε₀. Muatan q di titik asal, hitung flux E melalui bola r=R.

Soal 40 — Generalized Stokes (Review)

Jelaskan mengapa ∫_Ω dω = ∫_∂Ω ω menyatukan FTC, Green, Stokes, dan Divergensi.