UTS Kalkulus 3 — Review + 30 Soal

Soal 1 — Domain

Tentukan domain dari f(x,y) = ln(x−y²) + √(4−x²−y²).

Soal 2 — Limit Multivariabel

Tentukan apakah lim_{(x,y)→(0,0)} xy/(x²+y²) ada. Jika tidak, tunjukkan mengapa.

Soal 3 — Limit ada

Hitung lim_{(x,y)→(0,0)} (x²y²)/(x²+y²). Buktikan dengan squeeze theorem.

Soal 4 — Kontur & Level Curves

Sketsa level curves f(x,y) = x²−y² untuk k = 0, 1, −1, 4.

Soal 5 — Kontinuitas

Apakah f(x,y) = (x²−y²)/(x²+y²) untuk (x,y)≠(0,0), f(0,0)=0 kontinu di (0,0)?

Soal 6 — Turunan Parsial

Hitung f_x, f_y, f_z untuk f(x,y,z) = x²e^yz + y ln(xz).

Soal 7 — Teorema Clairaut

Hitung f_xy dan f_yx untuk f = x³y + xy³ dan verifikasi f_xy=f_yx.

Soal 8 — Bidang Singgung

Temukan bidang singgung permukaan z = x²+2y² di titik (1,1,3).

Soal 9 — Chain Rule

z = e^x+y, x = st, y = s−t. Hitung ∂z/∂s dan ∂z/∂t.

Soal 10 — Diferensial & Aproksimasi Linear

Gunakan diferensial untuk aproksimasi f(1.02, 1.97) jika f(x,y) = x³y².

Soal 11 — Gradient & Arah Terjal

f(x,y) = x²−3xy+y². Di (2,1), temukan arah kenaikan tercuram dan lajunya.

Soal 12 — Directional Derivative

Hitung D_uf(1,2) untuk f(x,y) = x³−3xy arah u = ⟨3,4⟩/5.

Soal 13 — Normal Plane ke Surface

Temukan bidang normal ke permukaan F(x,y,z)=x²+y²−z=0 di (1,1,2).

Soal 14 — Gradient di R³

f(x,y,z) = xyz²+x²y. Hitung ∇f dan arah penurunan tercuram di (1,2,3).

Soal 15 — Gradient Descent Step

f(x,y) = 3x²+y² dari titik (2,4), α=0.1. Hitung dua langkah gradient descent.

Soal 16 — Titik Kritis & D-test

Cari titik kritis f(x,y)=x³−3x+y²−2y dan klasifikasikan.

Soal 17 — Lagrange Multiplier

Maksimalkan f(x,y)=xy dengan constraint g(x,y)=x+2y−10=0.

Soal 18 — Lagrange 3 Variabel

Min f(x,y,z)=x²+y²+z² subject to x+2y+3z=6.

Soal 19 — Max Global di Region Tertutup

Cari nilai maks dan min global f(x,y)=x²+2y²−2x di D: disk x²+y²≤1.

Soal 20 — Box dengan Volume Tetap

Box tanpa tutup, volume 32m³. Minimalkan luas permukaan total.

Soal 21 — Fubini

Hitung &iint;_R xy dA, R = [0,2]×[0,3].

Soal 22 — Region Tidak Persegi

&iint;_D x²y dA, D dibatasi y=x² dan y=x.

Soal 23 — Urutan Integrasi

Ubah urutan: ∫₀¹∫_y¹ e^x² dx dy menjadi dapat dihitung.

Soal 24 — Koordinat Polar

&iint;_D e^x²+y² dA, D: 1≤x²+y²≤4.

Soal 25 — Luas dengan Integral Ganda

Hitung luas region di antara lingkaran r=3sinθ menggunakan koordinat polar.

Soal 26 — Taylor Polinomial 2D

Ekspansi Taylor orde-2 dari f(x,y)=e^xcos y di (0,0).

Soal 27 — Hessian & Saddle Point

Cari dan klasifikasikan semua titik kritis f(x,y)=x⁴+y⁴−4xy.

Soal 28 — Volume via Double Integral

Hitung volume solid di bawah z=x+y, di atas D: 0≤x≤1, 0≤y≤x.

Soal 29 — Mixed: Polar + e^r²

Hitung ∫₀^∞∫₀^∞ e^−(x²+y²)dA menggunakan polar. (Gaussian integral!)

Soal 30 — Lagrange: 2 Constraints

Min f(x,y,z)=xyz subject to x+y+z=12, x²+y²+z²=54.