Kalkulus 3 — Pertemuan 4
Fungsi Multivariabel & Limit
Dari f(x) ke f(x,y): domain di R², range di R, kontur, dan limit multivariabel yang jauh lebih rumit dari 1D.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 12.1–12.2. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 14.1–14.2.
Lompatan Konseptual
Di Kalkulus 1, fungsi f(x) memetakan garis ke garis: satu variabel masuk, satu keluar. Di Kalkulus 3, f(x,y) memetakan titik di bidang R² ke bilangan real: grafiknya bukan kurva, melainkan permukaan 3D.
Limit menjadi jauh lebih rumit: di R¹ titik hanya bisa didekati dari kiri atau kanan. Di R², titik bisa didekati dari tak hingga banyak arah.
1. Fungsi Dua Variabel f(x,y)
Definisi
Fungsi dua variabel f: D ⊂ R² → R memetakan setiap pasangan (x,y) ∈ D ke bilangan real f(x,y).
Domain: Himpunan D ⊂ R² dimana f terdefinisi (region di bidang xy).
Range: Himpunan {f(x,y) : (x,y) ∈ D} ⊂ R.
Graph: Himpunan {(x,y,z) : z = f(x,y), (x,y) ∈ D} — sebuah permukaan di R³.
Contoh Domain
f(x,y) = √(1 − x² − y²)
Domain: x² + y² ≤ 1 (disk tertutup, jari-jari 1)
f(x,y) = ln(x − y)
Domain: x − y > 0, yaitu di atas garis y = x
f(x,y) = 1/(x² + y²)
Domain: R² \ {(0,0)} (semua titik kecuali origin)
Visualisasi: Permukaan z = f(x,y)
2. Kontur (Level Curves)
Definisi (Level Curve)
Level curve (kurva kontur) dari f(x,y) pada level k adalah himpunan:
Seperti garis kontur pada peta topografi: setiap kontur menunjukkan titik-titik dengan ketinggian (nilai fungsi) yang sama.
Visualisasi: Peta Kontur z = x² + y²
Level curves z = k berbentuk lingkaran. Kontur makin rapat = gradient makin curam.
3. Limit Fungsi Dua Variabel
Definisi (Limit — Versi Ketat)
jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:
Kunci: limit harus sama DARI SEMUA ARAH pendekatan, bukan hanya sepanjang sumbu!
Teknik: Path Test (Uji Jalur)
Untuk menunjukkan limit tidak ada:
1. Dekati (a,b) melalui dua jalur berbeda (misal y=0, y=x, y=x², ...).
2. Jika dua jalur memberikan limit yang berbeda, maka limit tidak ada (DNE).
Perhatian: Semua jalur memberikan limit yang sama TIDAK membuktikan limit ada! (Perlu pembuktian ε–δ atau squeeze theorem.)
Contoh Klasik: Limit yang Tidak Ada
f(x,y) = x²y / (x&sup4; + y²), limit saat (x,y) → (0,0)
Jalur y = 0: lim = 0
Jalur x = 0: lim = 0
Jalur y = x: lim = 0
Jalur y = x²: lim = x²·x²/(x&sup4;+x&sup4;) = x&sup4;/(2x&sup4;) = 1/2 ≠ 0
Limit TIDAK ADA karena jalur y=x² memberikan hasil berbeda.
Visualisasi: Berbagai Jalur Mendekati Origin
Teknik Membuktikan Limit Ada
Squeeze Theorem (Jepit)
Jika |f(x,y) − L| ≤ g(r) dimana r = √(x²+y²) dan lim g(r) = 0, maka lim f = L.
Konversi ke Polar
Substitusi x = r cosθ, y = r sinθ. Jika limr→0 f(r,θ) = L untuk SEMUA θ, limit ada.
Substitusi Langsung
Jika f kontinu di (a,b) (gabungan fungsi kontinu), maka limit = f(a,b).
4. Kontinuitas
Definisi (Kontinuitas Multivariabel)
f(x,y) kontinu di (a,b) jika:
1. f(a,b) terdefinisi
2. lim(x,y)→(a,b) f(x,y) ada
3. lim(x,y)→(a,b) f(x,y) = f(a,b)
5. Eksplorasi Interaktif
Level Curve Explorer
f(x,y) = x² + y²
Level curve: x² + y² = 4
Lingkaran berjari-jari √4 ≈ 2.000
Path Test: f(x,y) = x²y/(x&sup4;+y²)
Pilih jalur mendekati (0,0)
lim(x→0) x²·0/(x⁴+0²) = 0
Coba jalur y=x² untuk menemukan perbedaan...
6. Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Domain
Tentukan dan gambarkan domain f(x,y) = ln(x²+y²−4).
Soal 2: Level Curves
Gambarkan level curves f(x,y) = x² − y untuk k = −1, 0, 1, 2.
Soal 3: Limit Substitusi Langsung
Hitung lim(x,y)→(1,2) (x²y + 3xy²).
Soal 4: Limit dengan Polar
Hitung lim(x,y)→(0,0) (x²+y²) ln(x²+y²).
Soal 5: Limit DNE (Path Test)
Tunjukkan bahwa lim(x,y)→(0,0) xy/(x²+y²) tidak ada.
Soal 6: Squeeze Theorem
Buktikan lim(x,y)→(0,0) x²y/(x²+y²) = 0.
Koneksi ke Ilmu Komputer
Data Visualization: Level curves = contour plots (matplotlib, d3.js). Peta topografi, heat map, dan pressure map semuanya menggunakan kontur.
Loss Landscapes: Dalam deep learning, loss function L(w1,w2,...) adalah fungsi multivariabel. Level curves menunjukkan “lembah” dan “puncak” lanskap loss.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Purcell 9e Bab 12.1–12.2 • Stewart 9e Bab 14.1–14.2 • Marsden-Tromba 6e Ch. 2
Mudah — Fungsi Multivariabel Dasar
M1. Evaluasi Fungsi
f(x,y) = x² − 2xy + y. Hitung f(3,1) dan f(−1,2).
M2. Domain Fungsi
Tentukan domain f(x,y) = √(9 − x² − y²) + ln(x+y).
M3. Kurva Level (Kontur)
Gambarkan/deskripsikan kurva level f(x,y) = x² + 4y² untuk k = 0, 4, 16.
M4. Limit Polinom Multivariabel
Hitung lim(x,y)→(2,−1) (x²y + 3xy²).
Sedang — Limit dan Kontinuitas
S1. Two-Path Test (Limit Tidak Ada)
Selidiki lim(x,y)→(0,0) xy/(x²+y²).
S2. Squeeze Theorem Multivar
Buktikan lim(x,y)→(0,0) x²y/(x²+y²) = 0 dengan squeeze theorem.
S3. Fungsi Kontinu + Komposisi
Tunjukkan h(x,y) = sin(x²+y²) kontinu di semua R².
S4. Diskontinuitas yang Dapat Dihilangkan
f(x,y) = (x²−y²)/(x−y) untuk x≠y. Definisikan f(x,x) agar f kontinu.
Sulit — Multi-Step + Visualisasi Kontur
H1. Limit via Koordinat Polar + Kontur SVG
Hitung lim(x,y)→(0,0) (x³y²)/(x²+y²)². Gunakan polar r, θ.
H2. Fungsi Tiga Variabel + Domain
f(x,y,z) = ln(x+y+z) + √(4−x²−y²−z²). Tentukan domain f.
H3. Kurva Level Fungsi Saddle
Gambarkan kurva level f(x,y) = x² − y² untuk k = −4, −1, 0, 1, 4.
H4. Loss Landscape Neural Network
Loss L(w1,w2) = (w1−3)² + (w2+2)² + 5. Apa bentuk kurva level, minimum, dan nilai minimum?
Aplikasi / Mixed
A1. Termodinamika: Fungsi Tekanan
Tekanan gas ideal P(T,V) = nRT/V dengan n=1 mol, R=8.314 J/(mol·K). Hitung P(300, 0.025) dan deskripsi kurva level (isotherm, isobar).
A2. ML: Activation Function Landscape
f(x,y) = sigmoid(x) + relu(y) = 1/(1+e−x) + max(0,y). Mengapa f tidak differentiable di (x,0)?
A3. Distribusi Gaussian Multivariabel
Fungsi kerapatan Gaussian 2D berbentuk ρr(x) ∝ exp(−π‖x‖²/r²). Bagaimana bentuk kurva ketinggian (level curve) ρr = c? Apa pengaruh parameter r terhadap sebarannya?