Kalkulus 3 — Pertemuan 11

Integral Garis (Line Integrals)

Integral sepanjang kurva sembarang di R²/R³: scalar line integral (luas tirai, panjang busur), vector line integral (kerja gaya), medan konservatif, dan potential function.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 14.1–14.2. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 16.1–16.3. — Marsden & Tromba, Vector Calculus 6th ed., Bab 7.1–7.3.

Mengapa Integral Garis?

Integral biasa ∫_a^b f(x) dx bekerja di interval lurus. Integral garis melengkapi ini ke kurva sembarang di R² atau R³. Ini adalah fondasi untuk:

Panjang busur (scalar, f=1): ∫_C 1 ds = panjang C
Kerja gaya (vector): W = ∫_C F·dr
Sirkulasi fluida: ∮ v·dr mengukur rotasi
Teorema Green, Stokes, Divergence: semua bergantung pada integral garis

Analogi: Mendaki Gunung vs Berkendara di Medan Angin

Scalar line integral: Bayangkan mendaki di atas peta ketinggian f(x,y). Integral garis ∫ f ds = rata-rata ketinggian sepanjang jalur × panjang jalur = luas “tirai” di bawah jalur Anda di atas peta.

Vector line integral: Anda berkendara melawan atau searah angin F. Kerja W = ∫ F·dr — positif jika angin mendorong Anda, negatif jika melawan. Hanya komponen angin searah perjalanan yang berkontribusi (produk titik!).

1. Parametrisasi Kurva

Definisi (Parametrized Curve)

Kurva C di R² diparametrikan oleh r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩, t ∈ [a, b]. Tangent vector: r′(t) = ⟨x′(t), y′(t)⟩.

Garis lurus A ke B: r(t) = (1−t)A + tB, t∈[0,1]

Lingkaran radius R: r(t) = ⟨R cos t, R sin t⟩, t∈[0,2π]

Parabola y=x²: r(t) = ⟨t, t²⟩, t∈[a,b]

Helix di R³: r(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩, t∈[0,2πk]

2. Scalar Line Integral ∫_C f ds

Definisi & Formula

Untuk kurva C: r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩, a ≤ t ≤ b:

∫_C f ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r′(t)|| dt

dimana ds = ||r′(t)|| dt = √(x′²+y′²) dt adalah elemen panjang busur.

Panjang busur: L = ∫_C 1 ds = ∫_a^b ||r′(t)|| dt.

Step-by-Step: Panjang Busur Parabola y=x²

Kurva C: r(t) = ⟨t, t²⟩, t∈[0,1] (parabola y=x²)

3. Vector Line Integral ∫_C F·dr

Definisi & Interpretasi Fisik

Untuk medan vektor F(x,y) = ⟨P, Q⟩ sepanjang kurva C:

∫_C F·dr = ∫_a^b F(r(t))·r′(t) dt = ∫_C P dx + Q dy

Makna fisik: Kerja (work) yang dilakukan gaya F saat partikel bergerak sepanjang C dari A ke B.

Hanya komponen F searah tangent kurva (F·T) yang berkontribusi. Komponen tegak lurus tidak melakukan kerja.

Visualisasi: Kerja F·dr sepanjang Kurva C

4. Medan Konservatif & Potential Function

Definisi & Teorema Ekivalensi

Medan vektor F konservatif jika ada fungsi potensial φ dengan F = ∇φ. Di simply connected domain, ekivalen:

(1) F = ∇φ untuk suatu φ (potential exists)

(2) ∫_C F·dr = φ(B) − φ(A) (path independent)

(3) ∮_C F·dr = 0 untuk setiap kurva tertutup

(4) ∂P/∂y = ∂Q/∂x (curl test di R²)

Semua ekivalen! Cek paling cepat: (4). Hitung φ jika konservatif untuk manfaatkan (2).

Fundamental Theorem for Line Integrals

∫_C ∇φ · dr = φ(B) − φ(A)

Generalisasi langsung dari FTC 1D: ∫_a^b f′ dx = f(b)−f(a). Gradient = derivative 1D, integral garis = integral definit. Path tidak penting, hanya endpoint!

Cara Menemukan Potential Function φ

Diberikan F = ⟨P, Q⟩ konservatif. Cari φ sehingga φ_x=P dan φ_y=Q:

1. Integrasikan φ_x=P terhadap x: φ(x,y) = ∫P dx + g(y)

2. Diferensiasikan φ terhadap y: φ_y = ∂/∂y[∫P dx] + g′(y)

3. Set φ_y = Q, selesaikan g′(y), integrasikan → g(y)

4. Tulis φ lengkap. Verifikasi ∇φ = F.

5. Eksplorasi Interaktif

Jenis Integral Garis

Notasi: ∫_C f ds

Makna: Luas "tirai" di bawah f sepanjang kurva C (scalar field)

Formula: ∫ₐᵇ f(r(t)) ||r′(t)|| dt

Elemen: ds = ||r′(t)|| dt = √(x′²+y′²) dt (arc length element)

Conservative vs Non-Conservative vs Vortex

F = F = ⟨2x, 2y⟩ = ∇(x²+y²)

Test curl: ∂P/∂y = 0 = ∂Q/∂x ✓ Conservative

Potential φ: φ(x,y) = x² + y²

∫_C F·dr = φ(B) − φ(A) — path independent!

6. Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Scalar Line Integral di Busur Lingkaran

Hitung ∫_C xy ds, C: r(t) = ⟨cos t, sin t⟩, 0 ≤ t ≤ π/2.

Soal 2: Work Integral (Vector)

Hitung kerja F = ⟨y², 2xy⟩ sepanjang C: r(t) = ⟨t, t²⟩, 0 ≤ t ≤ 1.

Soal 3: Cari Potential Function

Apakah F = ⟨2xy+1, x²+cos y⟩ konservatif? Jika ya, cari φ dan hitung ∫_C F·dr dari (0,0) ke (1,π/2).

Soal 4: Non-Conservative — Hitung Langsung

Hitung ∮ ⟨−y, x⟩·dr di lingkaran satuan (berlawanan arah jarum jam).

Soal 5: Panjang Helix 3D

Hitung panjang helix r(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩, 0 ≤ t ≤ 2πk.

Soal 6: Path Independence — Verifikasi 2 Jalur Berbeda

Hitung ∫ ⟨2x, 2y⟩·dr dari (0,0) ke (1,1) via (a) garis lurus, (b) parabola y=x².

Soal 7: Scalar Line Integral di Kurva 3D

Hitung ∫_C (x²+y²+z²) ds, C: r(t) = ⟨1, 2t, 3t⟩, 0≤t≤1.

Soal 8: Kerja oleh Gravitasi

Hitung kerja gravitasi F=⟨0,0,−mg⟩ saat partikel bergerak dari (0,0,h) ke (a,b,0) via helix r(t)=⟨a cos t, b sin t, h(1−t/π)⟩, 0≤t≤π.

7. Sifat Penting & Teknik Lanjutan

Sifat Integral Garis

Orientasi: ∫_−C f ds = ∫_C f ds (scalar, tidak berubah). ∫_−C F·dr = −∫_C F·dr (vector, berubah tanda).

Aditifitas: Jika C = C₁ + C₂: ∫_C = ∫_C₁ + ∫_C₂. Pecah kurva kompleks menjadi segmen sederhana.

Estimasi: |∫_C F·dr| ≤ max(||F||) × L(C). Berguna untuk bounding error di analisis numerik.

Parametrisasi bebas: Hasil integral garis tidak bergantung pilihan parametrisasi (selama orientasi sama).

Visualisasi: Integral Garis di Helix 3D

Helix r(t)=⟨cos t, sin t, t⟩: speed konstan √2, panjang = 2π√2 per putaran.

Koneksi ke Ilmu Komputer — Integral Sepanjang Lintasan

Global Illumination (Path Tracing): Rendering fisika = ∫_paths L(x→y→z) G(x,y) ds — integral sepanjang path cahaya dari sumber ke sensor. Setiap “bounce” adalah kontribusi garis ke integral. Monte Carlo path tracing menyampel path secara acak.

Gradient Flows & Conservative Fields: Di optimisasi neural network, loss landscape L(θ) memiliki gradient ∇L. Gradient descent = bergerak sepanjang “path” mengikuti −∇L. Konvergensi ke minimum terjadi karena ∫ ∇L·dθ < 0 di setiap langkah.

Information Geometry: Fisher information matrix I(θ) mendefinisikan “panjang geodesik” di statistical manifold: ds² = dθ^TI(θ)dθ. Natural gradient descent = mengikuti geodesik di manifold ini (Amari). Teknik ini dipakai pada natural gradient descent untuk mempercepat pelatihan model statistik.

8. Ringkasan Rumus Penting

Jenis	Formula	Elemen
Panjang busur	∫_C 1 ds = ∫ₐᵇ \|\|r′\|\| dt	ds=\|\|r′\|\|dt
Scalar ∫	∫_C f ds = ∫ₐᵇ f(r(t))\|\|r′\|\|dt	ds=\|\|r′\|\|dt
Vector ∫ (work)	∫_C F·dr = ∫ₐᵇ F(r(t))·r′(t)dt	dr=r′dt
Conservative	∫_C ∇φ·dr = φ(B)−φ(A)	Path independent
2D notation	∫_C P dx + Q dy	dx=x′dt, dy=y′dt

Insight Utama P11

Integral garis menghubungkan geometri kurva dengan besaran fisik (kerja, panjang, sirkulasi). Medan konservatif = “tidak ada energi gratis”: total kerja hanya bergantung titik awal-akhir. Di P12, Teorema Green akan menghubungkan integral garis di boundary dengan integral ganda di interior — salah satu teorema paling fundamental di matematika.

← P10: Integral Lipat Tiga P12: Integral Garis & Teorema Green →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 14.1–14.2. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 16.1–16.3. — Marsden, J. & Tromba, A. (2012). Vector Calculus, 6th ed. W.H. Freeman, Bab 7.1–7.3.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Ref: Purcell 9e Bab 14.1–14.2 · Stewart 9e Bab 16.1–16.3 · Marsden-Tromba 6e Bab 7.1–7.3

Mudah (Easy) — Setup Integral Garis Dasar

1. Hitung ∫_C ds di mana C: r(t) = ⟨t, 3t⟩, t∈[0,1] (panjang busur).

2. Hitung ∫_C (x+y) ds, C adalah segmen garis dari (0,0) ke (1,1).

3. Hitung kerja ∫_C F·dr, F=⟨1,0⟩ (medan horizontal), C dari (0,0) ke (3,0) lurus.

4. Verifikasi F=⟨2x, 2y⟩ adalah konservatif dan temukan potential φ.

Sedang (Medium) — Integral Garis dengan Parametrisasi

1. Hitung ∫_C y dx + x dy, C adalah setengah lingkaran atas dari (1,0) ke (−1,0) dengan jari-jari 1.

2. Hitung panjang busur heliks r(t)=⟨cos t, sin t, t⟩, t∈[0,2π].

3. Hitung kerja F=⟨y,−x⟩ sepanjang lingkaran satuan berlawanan arah jarum jam. Apakah F konservatif?

4. F=⟨ye^xy, xe^xy⟩. Verifikasi konservatif, cari φ, hitung ∫_CF·dr dari (0,0) ke (1,1).

Sulit (Hard) — 3D, Path Independence, Vortex Field

1. Hitung ∫_C F·dr, F=⟨yz,xz,xy⟩, C: r(t)=⟨t,t²,t³⟩, t∈[0,1].

2. Hitung ∮_C F·dr di mana F=⟨−y/(x²+y²), x/(x²+y²)⟩ dan C adalah lingkaran x²+y²=4 berlawanan arah jarum jam. Mengapa nilainya bukan 0 meski curl=0 di luar origin?

3. F=⟨2xy+z², x²+2yz, y²+2xz⟩. Verifikasi konservatif (curl F=0), cari φ, evaluasi ∫_CF·dr dari (0,0,0) ke (1,1,1).

4. Hitung massa kawat berbentuk seperempat lingkaran r=2 di kuadran I, dengan densitas linier λ(x,y) = x+y.

Aplikasi (Mixed) — Kerja Fisika, Green & Sirkulasi pada Torus

1. Kerja Gravitasi: Partikel massa m bergerak dari (0,0,R) ke (0,0,0) dalam medan gravitasi F=⟨0,0,−mg⟩. Hitung kerja sepanjang kurva heliks r(t)=⟨sin t, cos t, R−Rt/2π⟩, t∈[0,2π].

2. Planimeter (Green): Luas poligon dengan Green's Theorem: A = (1/2)|∮(x dy − y dx)|. Hitung luas segitiga dengan vertices (0,0),(4,0),(0,3) menggunakan rumus ini.

3. Lintasan Tak-Kontraktibel pada Torus: Pada permukaan torus terdapat dua jenis lingkaran yang tidak dapat dikerutkan menjadi satu titik: lingkaran "meridian" dan lingkaran "longitudinal". Jelaskan mengapa integral garis suatu medan konservatif tetap nol pada keduanya, tetapi medan tak-konservatif bisa memberi hasil tak nol.