Kalkulus 3 — Pertemuan 1
Vektor di R² dan R³
Komponen, magnitude, unit vector, direction angles — bahasa dasar untuk ruang multidimensi.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 11.1–11.2. — Marsden & Tromba, Vector Calculus 6th ed., Ch. 1.
Mengapa Vektor Penting?
Vektor bukan sekadar “panah.” Vektor mewakili besaran yang memiliki arah dan magnitude: gaya, kecepatan, percepatan, gradien, medan listrik. Kalkulus 3 memperluas Kalkulus 1–2 ke banyak dimensi, dan vektor adalah alat utamanya.
Vektor juga jembatan menuju grafika komputer dan fisika: posisi, kecepatan, gaya, dan normal permukaan semuanya vektor. Menguasai R² dan R³ secara mendalam membuat perluasan ke dimensi lebih tinggi terasa wajar.
1. Definisi Vektor & Komponen
Definisi (Vektor)
Vektor v di Rn adalah n-tuple terurut bilangan real. Di R³:
dimana i = ⟨1,0,0⟩, j = ⟨0,1,0⟩, k = ⟨0,0,1⟩ adalah standard basis vectors.
Vektor dari Dua Titik
Vektor dari titik A(a1, a2, a3) ke B(b1, b2, b3):
Perhatikan: vektor hanya bergantung pada perbedaan titik akhir dan awal, bukan posisi absolut. Ini menjadikan vektor translation-invariant.
Visualisasi: Vektor & Komponennya di R²
2. Magnitude (Norma)
Definisi (Magnitude / Norma Euclidean)
Ini adalah jarak Euclidean dari origin ke titik (v1, v2, v3), generalisasi langsung dari Teorema Pythagoras ke 3D.
Sifat-sifat Norma
Ketiga sifat ini menjadikan (Rn, ||·||) sebuah normed vector space — fondasi analisis fungsional.
3. Unit Vector & Direction Angles
Definisi (Unit Vector)
Unit vector mempertahankan arah v tetapi meng-normalisasi panjangnya menjadi 1. Proses ini disebut normalisasi.
Definisi (Direction Angles & Direction Cosines)
Sudut α, β, γ antara v dan sumbu x, y, z (berturut-turut):
cos α = v1/||v||, cos β = v2/||v||, cos γ = v3/||v||
cos²α + cos²β + cos²γ = 1
Direction cosines adalah komponen dari unit vector: û = ⟨cos α, cos β, cos γ⟩.
Visualisasi: Direction Angles di R³
Sudut α, β, γ adalah sudut antara vektor v dan masing-masing sumbu koordinat.
4. Operasi Vektor
Penjumlahan Vektor
a + b = ⟨a1+b1, a2+b2, a3+b3⟩
Geometris: aturan segitiga atau jajargenjang.
Perkalian Skalar
cv = ⟨cv1, cv2, cv3⟩
c > 0: searah, c < 0: berlawanan, c = 0: vektor nol.
Sifat Aljabar Vektor
Sifat-sifat ini menjadikan Rn sebuah vector space (ruang vektor) atas lapangan R.
Visualisasi: Aturan Jajargenjang
Visualisasi: Perkalian Skalar
5. Kalkulator Vektor Interaktif
Magnitude, Unit Vector & Direction Angles
Masukkan komponen vektor v
||v|| = 7.0711
û = ⟨0.4243, 0.5657, 0.7071⟩
α = 64.90°, β = 55.55°, γ = 45.00°
Penjumlahan & Pengurangan Vektor 2D
||a|| = 2.2361, ||b|| = 3.1623
a + b = ⟨3, 4⟩, magnitude = 5.0000
Perkalian Skalar
cv = ⟨6, -2⟩
||v|| = 3.1623, ||cv|| = 6.3246 = |c| · ||v||
6. Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Magnitude & Unit Vector
Tentukan unit vector dari v = ⟨1, 2, 2⟩.
Soal 2: Vektor dari Dua Titik
Tentukan vektor dari A(1, 3, −2) ke B(4, 1, 5) dan panjangnya.
Soal 3: Kombinasi Linear
Jika a = ⟨2, −1, 3⟩ dan b = ⟨1, 4, −2⟩, hitung 2a − 3b dan magnitudenya.
Soal 4: Direction Cosines
Tentukan direction angles α, β, γ untuk v = ⟨3, 4, 0⟩.
Soal 5: Titik Tengah & Pembagian Ruas Garis
Tentukan titik yang membagi ruas garis dari A(2, 1, −3) ke B(8, 7, 3) dengan rasio 2:1.
Soal 6: Pembuktian Segitiga Inequality
Verifikasi triangle inequality untuk u = ⟨1, 2⟩ dan v = ⟨3, −1⟩.
Koneksi ke Ilmu Komputer
Computer Graphics: Vektor digunakan untuk representasi posisi, arah kamera, normal surface, dan transformasi objek 3D.
Machine Learning: Feature vector mewakili data point di Rn; jarak Euclidean mengukur kemiripan.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Purcell 9e Bab 11.1–11.2 • Stewart 9e Bab 12.2 • Marsden-Tromba 6e Ch. 1
Mudah — Operasi Dasar Vektor
M1. Komponen dan Magnitudo
Diberikan u = ⟨2, −3, 6⟩. Hitung ||u|| dan unit vector û.
M2. Penjumlahan Vektor
a = ⟨1,2,3⟩, b = ⟨4,−1,0⟩. Hitung 2a − 3b.
M3. Vektor Posisi dan Titik Tengah
P = (1,3,−2), Q = (5,1,4). Hitung vektor PQ dan titik tengah M.
M4. Panjang dan Verifikasi Orthogonal
Apakah u = ⟨3,4,0⟩ dan v = ⟨0,0,1⟩ orthogonal?
Sedang — Kombinasi 2+ Konsep
S1. Proyeksi Vektor
Hitung projba untuk a=⟨2,3,−1⟩, b=⟨1,2,2⟩.
S2. Sudut antar Vektor + Interpretasi
Hitung sudut antara u=⟨1,1,0⟩ dan v=⟨0,1,1⟩.
S3. Decomposisi Vektor
Urai F=⟨5,3,2⟩ menjadi komponen sejajar dan tegak lurus terhadap d=⟨1,0,0⟩.
S4. Triangle Inequality di R³
Buktikan ||a+b|| ≤ ||a|| + ||b|| untuk a=⟨3,0,4⟩, b=⟨0,12,0⟩.
Sulit — Multi-Step Strategy
H1. Kemiringan Basis terhadap Luas
Diberikan basis B = {b1=⟨4,1,0⟩, b2=⟨3,5,0⟩}. Hitung rasio δ(B) = ‖b1‖⋅‖b2‖ / |det(B)|, lalu tafsirkan artinya secara geometris.
H2. Gram-Schmidt Langkah 1
Lakukan orthogonalisasi Gram-Schmidt pada v1=⟨1,1,0⟩, v2=⟨1,0,1⟩, v3=⟨0,1,1⟩.
H3. Vektor Normal ke Bidang + Visualisasi
Tiga titik: A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). Cari vektor normal bidang dan verifikasi dengan persamaan bidang.
H4. Cross Product Right-Hand Rule
i×j=k, j×k=i, k×i=j. Buktikan anti-commutativity: u×v = −(v×u) untuk u=⟨1,2,0⟩, v=⟨0,1,3⟩.
Aplikasi / Mixed — Kasus Nyata
A1. Physics: Momen Gaya (Torque)
Lengan momen r=⟨0,0.5,0⟩ m dan gaya F=⟨10,0,0⟩ N. Hitung torque τ = r×F dan intepretasi arahnya.
A2. Computer Graphics: Lambert Shading
Normal surface n = ⟨0,0,1⟩, arah cahaya L = ⟨1,1,1⟩/√3. Hitung intensitas diffuse I = max(0, n·L).
A3. Jarak Terdekat Sensor ke Lintasan Lurus
Sebuah drone bergerak lurus melalui titik asal dengan arah u=⟨3,4⟩. Tiga sensor berada di P1=⟨5,0⟩, P2=⟨−2,4⟩, dan P3=⟨0,5⟩. Hitung jarak tegak lurus tiap sensor ke lintasan memakai ‖P − projuP‖, lalu tentukan sensor mana yang paling dekat.