Kalkulus 3 — Pertemuan 3

Garis, Bidang, & Permukaan di R³

Persamaan parametrik garis, persamaan bidang, dan permukaan kuadrik — geometri analitik dalam ruang tiga dimensi.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 11.5–11.6. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 12.5–12.6.

Mengapa Geometri 3D?

Di R² kita bekerja dengan garis y=mx+b dan kurva. Di R³, objek dasarnya adalah garis (1D), bidang (2D), dan permukaan (2D). Memahami representasi parametrik dan implisit ini penting untuk integral garis, integral permukaan, dan teorema-teorema besar Kalkulus 3 (Green, Stokes, Divergence).

1. Garis di R³

Definisi (Persamaan Parametrik Garis)

Garis melalui titik P₀(x₀, y₀, z₀) dengan vektor arah v = ⟨a, b, c⟩:

r(t) = r₀ + tv = ⟨x₀+at, y₀+bt, z₀+ct⟩, t ∈ R

Bentuk komponen: x = x₀+at, y = y₀+bt, z = z₀+ct.

Persamaan Simetris

Eliminasi parameter t (jika a, b, c ≠ 0):

(x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c

Jika salah satu komponen arah = 0, koordinat tersebut konstan (misal a=0 ⇒ x = x₀).

Visualisasi: Garis Parametrik di R³

2. Bidang di R³

Definisi (Persamaan Bidang)

Bidang melalui titik P₀(x₀,y₀,z₀) dengan vektor normal n = ⟨a,b,c⟩:

a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0

Atau bentuk umum: ax + by + cz = d dimana d = ax₀+by₀+cz₀.

Makna: n · (r − r₀) = 0, yaitu setiap vektor di bidang tegak lurus terhadap n.

Visualisasi: Bidang & Vektor Normal

Teorema (Jarak Titik ke Bidang)

Jarak dari titik P(x₁,y₁,z₁) ke bidang ax+by+cz=d:

D = |ax₁ + by₁ + cz₁ − d| / √(a²+b²+c²)

Hubungan Dua Bidang

Sejajar: n₁ = kn₂ (normal sejajar). Jarak = |d₁−d₂|/||n||.

Tegak lurus: n₁ · n₂ = 0.

Sudut antara bidang: cos θ = |n₁·n₂| / (||n₁|| ||n₂||).

Garis potong: Arah = n₁ × n₂. Titik: selesaikan sistem 2 persamaan, tetapkan satu variabel.

3. Permukaan Kuadrik

Permukaan kuadrik (quadric surfaces) adalah permukaan yang didefinisikan oleh persamaan derajat dua di x, y, z. Berikut enam jenis utama:

Sphere (Bola)

(x−h)²+(y−k)²+(z−l)² = r²

Circular Cylinder

x² + y² = r²

Cone (Kerucut)

z² = x²/a² + y²/b²

Elliptic Paraboloid

z = x²/a² + y²/b²

Ellipsoid

x²/a²+y²/b²+z²/c² = 1

Hyperboloid (1 Sheet)

x²/a²+y²/b²−z²/c²=1

4. Kalkulator Interaktif

Titik pada Garis Parametrik

r(t) = r₀ + tv

x₀

y₀

z₀

a (dx)

b (dy)

c (dz)

t =

r(1) = (3.00, 1.00, 7.00)

Jarak Titik ke Bidang

Bidang: Ax + By + Cz = D, Titik: (x₁,y₁,z₁)

x₁

y₁

z₁

|2(1)+-1(2)+3(3)−5| / √(2²+-1²+3²)

= 4.0000 / 3.7417 = 1.069045

5. Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Persamaan Garis

Tentukan persamaan parametrik garis melalui A(1,−2,4) dan B(3,1,−1).

Soal 2: Persamaan Bidang

Tentukan persamaan bidang melalui P(1,2,3) dengan normal n=⟨2,−1,4⟩.

Soal 3: Bidang dari Tiga Titik

Tentukan persamaan bidang melalui A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

Soal 4: Jarak Titik ke Bidang

Hitung jarak dari P(2,3,1) ke bidang x+2y+2z=10.

Soal 5: Sudut Dua Bidang

Tentukan sudut antara bidang x+y+z=1 dan 2x−y+z=3.

Soal 6: Identifikasi Kuadrik

Identifikasi dan deskripsikan permukaan 4x²+y²+z²=16.

Limit & Kontinuitas Fungsi Multivariabel (Marsden-Tromba)

Berbeda dengan satu variabel, limit fungsi dua variabel harus sama dari setiap arah pendekatan. Marsden & Tromba (6e §2.2) menyatakan: lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) = L jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sehingga 0 < √((x-a)²+(y-b)²) < δ ⇒ |f(x,y) - L| < ε.

Teknik: Two-Path Test untuk membuktikan limit TIDAK ada

Jika f(x,y) mendekati nilai berbeda dari dua jalur yang berbeda ke (a,b), maka limitnya tidak ada.

Contoh: f(x,y) = xy/(x²+y²)

Jalur y=0: f(x,0) = 0/(x²) = 0 → 0

Jalur y=x: f(x,x) = x²/(2x²) = 1/2 → 1/2

0 ≠ 1/2 ⇒ limit tidak ada di (0,0)

Dua jalur mendekati (0,0) memberikan nilai limit yang berbeda.

Contoh Soal: Limit & Kontinuitas Multivar

Soal 7: Limit Sederhana

Hitung lim_{(x,y)→(1,2)} (3x²y − xy² + 5).

Soal 8: Two-Path Test

Selidiki apakah lim_{(x,y)→(0,0)} (x²−y²)/(x²+y²) ada.

Soal 9: Limit dengan Koordinat Polar

Hitung lim_{(x,y)→(0,0)} (x³ + y³)/(x² + y²) menggunakan substitusi polar.

Soal 10: Kontinuitas Fungsi Komposit

Apakah f(x,y) = sin(x+y) / (x²+y²+1) kontinu di seluruh R²?

Koneksi ke Ilmu Komputer

Ray Tracing: Interseksi garis parametrik (ray) dengan permukaan kuadrik adalah operasi dasar rendering 3D.

Collision Detection: Jarak titik-ke-bidang dan garis-ke-bidang digunakan dalam simulasi fisika game.

← P2: Dot Product & Cross Product P4: Fungsi Multivariabel & Limit →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 11.5–11.6. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 12.5–12.6.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Ref: Purcell 9e Bab 11.5–11.6 • Stewart 9e Bab 12.5–12.6 • Marsden-Tromba 6e Ch. 1.4

Mudah — Garis dan Bidang Dasar

M1. Persamaan Garis Parametrik

Titik P(1,2,3) dan arah d=⟨4,−1,2⟩. Tulis persamaan parametrik dan simetri garis.

M2. Persamaan Bidang dari Normal + Titik

Titik (2,1,−3) dan normal n=⟨5,−2,4⟩. Tulis persamaan bidang.

M3. Apakah Titik pada Bidang?

Bidang 2x−y+3z=7. Apakah A(1,2,2) dan B(3,1,0) berada di bidang?

M4. Jarak Titik ke Bidang

Hitung jarak titik (3,1,−2) ke bidang 2x+2y−z=4.

Sedang — Kombinasi Garis-Bidang

S1. Sudut Antara Dua Bidang

Bidang 1: x+2y−2z=3; Bidang 2: 2x−3y+6z=1. Hitung sudut di antara keduanya.

S2. Titik Potong Garis dan Bidang

Garis r(t)=⟨2+t, 1−2t, 3t⟩. Bidang x+2y+z=10. Cari titik potong.

S3. Garis Lewat Dua Titik + Kesejajarannya

Garis L₁ lewat (1,0,2) arah ⟨2,1,−1⟩; L₂ lewat (3,1,0) arah ⟨4,2,−2⟩. Apakah sama/sejajar/bersilang?

S4. Garis-Garis Silang (Skew)

Jarak minimum antara L₁: r=(1,0,0)+t⟨1,0,0⟩ dan L₂: r=(0,1,0)+s⟨0,0,1⟩.

Sulit — Multi-Step Strategy + Visualisasi

H1. Garis Potong Bidang + SVG SMIL

Bidang 1: x+y+z=1; Bidang 2: x−y+z=3. Cari garis persimpangan (arah dan titik).

H2. Jarak Titik ke Garis di R³

Garis lewat A(1,2,3) arah d=⟨2,1,−2⟩. Jarak dari B(4,0,−1) ke garis ini.

H3. Bidang Lewat Garis dan Titik Ekstra

Cari bidang yang memuat garis r(t)=⟨1+2t, t, −t⟩ dan titik P(3,0,1).

H4. Koordinat terhadap Basis Tak Ortogonal

Dua rel pemandu sebuah mesin CNC berarah b₁=⟨2,0⟩ dan b₂=⟨1,2⟩. Kepala mesin harus mencapai titik t=⟨3,5 ; 2,1⟩. Nyatakan t dalam koordinat kedua rel tersebut, lalu tentukan berapa putaran penuh tiap rel bila keduanya hanya bergerak dalam langkah bilangan bulat, dan hitung simpangan ‖v−t‖ yang tersisa.

Aplikasi / Mixed

A1. Ray Tracing: Interseksi Sinar-Bidang

Sinar: origin (0,0,5), arah (0,0,−1) (lurus ke bawah). Bidang: z=0. Hitung titik potong dan gunakan dalam pipeline rendering.

A2. Navigation: Heading dan Bidang Horizontal

Pesawat terbang pada bidang z=10000 m. Titik A=(0,0,10000), heading ⟨1,1,0⟩. Kapan pesawat mencapai garis pantai (bidang y=50000)?

A3. Mengapa Pembulatan Koordinat Tidak Selalu Optimal

Pada soal rel CNC di atas, jelaskan mengapa membulatkan koordinat satu per satu hanya menghasilkan posisi yang hampir terdekat, bukan yang benar-benar terdekat. Kapan cara ini gagal?