Kalkulus 2 — Pertemuan 1
Review Integral & Teknik Substitusi Lanjut
Memantapkan kembali antiderivatif, teorema fundamental kalkulus, dan memperdalam teknik u-substitution untuk kasus trigonometri dan eksponensial.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 5–6, 7.1. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 5.4–5.5.
1. Antiderivatif dan Integral Tak Tentu
Definisi 5.1.1 (Purcell): Antiderivatif
Fungsi F disebut antiderivatif dari f pada interval I jika:
Integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai himpunan semua antiderivatifnya:
Peringatan Penting
Jangan pernah lupa konstanta integrasi C! Jika F'(x) = f(x), maka (F(x) + C)' = f(x) juga. Tanpa C, jawaban tidak lengkap — Anda hanya memberikan satu antiderivatif dari infinit banyak.
2. Tabel Integral Dasar (Rumus Lengkap)
Teorema: Rumus-Rumus Integral Dasar (Purcell Bab 5–6)
1. Power Rule: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1
2. Reciprocal: ∫ 1/x dx = ln|x| + C
3. Eksponensial: ∫ eˣ dx = eˣ + C
4. Basis umum: ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C, a > 0, a ≠ 1
5. ∫ sin x dx = −cos x + C
6. ∫ cos x dx = sin x + C
7. ∫ sec²x dx = tan x + C
8. ∫ csc²x dx = −cot x + C
9. ∫ sec x tan x dx = sec x + C
10. ∫ csc x cot x dx = −csc x + C
11. ∫ tan x dx = −ln|cos x| + C = ln|sec x| + C
12. ∫ cot x dx = ln|sin x| + C
13. ∫ sec x dx = ln|sec x + tan x| + C
14. ∫ csc x dx = −ln|csc x + cot x| + C
15. ∫ 1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
16. ∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + C
17. ∫ 1/(x√(x²−1)) dx = arcsec|x| + C
Teorema: Sifat Aljabar Integral (Linearitas)
1. Konstanta: ∫ c·f(x) dx = c · ∫ f(x) dx
2. Penjumlahan: ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
3. Pengurangan: ∫ [f(x) − g(x)] dx = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx
Perhatian: TIDAK ada rumus produk atau quotient untuk integral. ∫ f·g ≠ (∫f)(∫g). Inilah mengapa kita butuh teknik khusus seperti substitusi dan integral parsial.
3. Teorema Fundamental Kalkulus
Teorema 5.6.1: TFK Bagian I (Purcell)
Jika f kontinu pada [a, b] dan F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, maka:
"Turunan dari integral = fungsi integran itu sendiri." Diferensiasi dan integrasi adalah operasi invers.
Teorema 5.6.2: TFK Bagian II (Purcell)
Jika f kontinu pada [a, b] dan F adalah sembarang antiderivatif dari f, maka:
Inilah yang membuat integral tentu bisa dihitung secara eksak tanpa limit jumlah Riemann.
Visualisasi: Teorema Fundamental Kalkulus
Eksplorasi: Jumlah Riemann → Integral
4. Teknik Substitusi (U-Substitution)
Teorema 7.1.1: Substitusi (Chain Rule Terbalik)
Jika g differentiable dan f kontinu pada range g, maka:
Bukti: Dari chain rule: d/dx[F(g(x))] = F'(g(x)) · g'(x) = f(g(x)) · g'(x). Maka F(g(x)) adalah antiderivatif dari f(g(x))g'(x), yang sama dengan ∫ f(u) du setelah substitusi u = g(x). ∎
SVG: Substitusi sebagai "Change of Variable"
5. Substitusi Lanjut: Trigonometri & Eksponensial
Pola Substitusi Trigonometri Umum
A. ∫ sinⁿx · cos x dx → u = sin x, du = cos x dx
B. ∫ cosⁿx · sin x dx → u = cos x, du = −sin x dx
C. ∫ tanⁿx · sec²x dx → u = tan x, du = sec²x dx
D. ∫ secⁿx · sec x tan x dx → u = sec x, du = sec x tan x dx
E. ∫ f(sin x) · cos x dx → u = sin x
F. ∫ f(cos x) · sin x dx → u = cos x
Pola Substitusi Eksponensial Umum
A. ∫ f(eˣ) · eˣ dx → u = eˣ, du = eˣ dx
B. ∫ eᶠ⁽ˣ⁾ · f'(x) dx → u = f(x), du = f'(x) dx
C. ∫ aᶠ⁽ˣ⁾ · f'(x) dx → u = f(x), hasil = aᵘ/ln a + C
Teorema 7.1.2: Substitusi untuk Integral Tentu
Jika u = g(x) dan g' kontinu pada [a,b], f kontinu pada range g, maka:
Penting: Batas integrasi BERUBAH! Ketika x = a → u = g(a), ketika x = b → u = g(b). Tidak perlu kembali ke variabel x.
6. Strategi Memilih u
Panduan Praktis Memilih u
Aturan 1: "Isi" dari fungsi luar
Jika integran = f(g(x))·g'(x), pilih u = g(x) (bagian dalam).
∫ cos(3x) · 3 dx → u = 3x
Aturan 2: Bagian yang turunannya ada
Cari bagian yang turunannya (atau kelipatannya) muncul sebagai faktor lain.
∫ x·√(x²+1) dx → u = x²+1 (turunan 2x mirip x)
Aturan 3: Penyebut atau argumen
Untuk bentuk ∫ f'(x)/f(x) dx, pilih u = f(x) → hasil = ln|f(x)| + C.
∫ 2x/(x²+1) dx → u = x²+1 → ln|x²+1| + C
Aturan 4: Completing the square
Untuk ∫ dx/(ax²+bx+c), lengkapkan kuadrat sempurna lalu substitusi.
Interaktif: Step-by-Step u-Substitution
Identifikasi: integran mengandung f(g(x))g'(x)
Pilih u = x², maka du = 2x dx
Substitusi: ∫ f(x²) · 2x dx = ∫ f(u) du
Integralkan dalam variabel u
Kembalikan substitusi: u → x²
Interaktif: Identifikasi Jenis Substitusi
Substitusi: Masukkan ekspresi integral
Contoh: e^(x^2), sin(3x), ln(x)
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Substitusi Dasar
Hitung ∫ 2x · e^(x²) dx
Soal 2: Substitusi Trigonometri
Hitung ∫ sin³x · cos x dx
Soal 3: Substitusi dengan Batas (Integral Tentu)
Hitung ∫₀¹ x(x²+1)³ dx
Soal 4: Completing the Square
Hitung ∫ dx/(x² + 6x + 13)
Soal 5: Substitusi Eksponensial
Hitung ∫ eˣ/(1+e²ˣ) dx
Soal 6: Bentuk f'(x)/f(x)
Hitung ∫ tan x dx
Soal 7: Substitusi dengan Manipulasi Aljabar
Hitung ∫ x/√(1−x⁴) dx
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Referensi: Purcell 9e Bab 5–7 · Stewart 9e Bab 5–7
Mudah — Aplikasi Langsung Teknik
Hitung ∫ 2x·e^(x²) dx
Hitung ∫ cos(3x) dx
Hitung ∫ 3x²/(x³+5) dx
Hitung ∫ 5·e^(5x) dx
Sedang — Kombinasi 2 Teknik
Hitung ∫ x·√(x²+4) dx
Hitung ∫ sin x·cos³x dx
Hitung ∫ (ln x)²/x dx
Hitung ∫₀¹ x·e^(−x²) dx
Sulit — Strategi Multi-Step + Visualisasi
Hitung ∫ x·e^(x²)·cos(e^(x²)) dx — nested composition
Hitung ∫ sin(√x)/√x dx dengan substitusi tepat
Hitung ∫ (ln x)/x dx dan sketsa kurva hasil
Hitung ∫ e^(sin x)·cos x dx dan identifikasi pola chain rule
Mixed / Aplikasi Terpadu
Luas daerah antara y = x·e^(x²) dan sumbu-x dari x=0 ke x=1
Volume revolusi y = e^(x²/2) sekitar x-axis, x∈[0,1] (shell method)
PDF normalisasi: f(x) = C·x·e^(−x²) pada x∈[0,∞). Tentukan C.