Kalkulus 2 — Pertemuan 12
Koordinat Polar
Sistem koordinat (r, θ), konversi Kartesian-Polar, kurva polar klasik — cardioid, rose, spiral, lemniscate — dan analisis simetri.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 10.5–10.6. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 10.3–10.4.
1. Definisi Koordinat Polar
Definisi 10.5.1 (Purcell): Koordinat Polar
Titik P dalam bidang dinyatakan sebagai (r, θ) dimana:
r = jarak bertanda dari origin O ke P
θ = sudut (radian) dari sumbu polar positif ke OP
Catatan: Berbeda dengan Kartesian, representasi polar tidak unik: (r, θ) = (r, θ + 2kπ) = (-r, θ + π).
Sistem Koordinat Polar
2. Konversi Kartesian — Polar
Teorema 10.5.2 (Purcell): Polar → Kartesian
Teorema 10.5.3 (Purcell): Kartesian → Polar
r² = x² + y²
tan θ = y/x (perhatikan kuadran!)
Perhatian: θ = arctan(y/x) hanya benar di kuadran I dan IV. Untuk kuadran II/III, tambahkan π.
Contoh Konversi Persamaan
Lingkaran x² + y² = a²: Dalam polar: r² = a² → r = a
Garis y = mx: tan θ = m → θ = arctan(m) (garis melalui origin)
x² + y² = 2ax: r² = 2ar cos θ → r = 2a cos θ (lingkaran pusat (a,0))
3. Simetri Kurva Polar
Uji Simetri
Sumbu polar (θ = 0): Ganti θ dengan -θ. Jika persamaan tak berubah → simetris.
Garis θ = π/2: Ganti θ dengan π - θ. Jika tak berubah → simetris.
Origin: Ganti r dengan -r. Jika tak berubah → simetris terhadap origin.
4. Kurva Polar Klasik
Cardioid: r = 1 + cos θ
Rose: r = cos(nθ)
Spiral Archimedes: r = aθ
Lemniscate: r² = a² cos 2θ
5. Polar Curve Drawer Interaktif
Pilih dan Eksplorasi Kurva Polar
Cardioid
r = 1 + cos θ
Bentuk hati, melewati origin saat θ = π.
Simetris terhadap sumbu polar (θ = 0)
6. Garis Singgung Kurva Polar
Teorema 10.5.4: dy/dx dalam Koordinat Polar
Karena x = r cos θ dan y = r sin θ:
dimana r' = dr/dθ.
Contoh: Garis singgung cardioid r = 1 + cos θ di θ = π/2
r = 1 + cos θ, r' = -sin θ
Di θ = π/2: r = 1, r' = -1
dy/dx = [(-1)sin(π/2) + 1·cos(π/2)]/[(-1)cos(π/2) - 1·sin(π/2)]
= (-1 + 0)/(0 - 1) = 1
Kemiringan = 1 di titik (1, π/2) = (0, 1) Kartesian
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Konversi titik
Konversi (3, 4) Kartesian ke polar dan (-2, 2√3) ke polar
Soal 2: Konversi persamaan
Ubah x² + y² - 6y = 0 ke bentuk polar
Soal 3: Titik potong
Cari titik potong r = 1 + sin θ dan r = 1
Soal 4: Simetri
Tentukan simetri r = 3 + 2 cos θ
Soal 5: Garis singgung
Cari kemiringan garis singgung r = 2 cos θ di θ = π/3
Soal 6: Klasifikasi kurva
Klasifikasikan dan sketsa r = 2 - 3 sin θ
7. Tips Menggambar Kurva Polar
Langkah 1: Identifikasi jenis kurva
r = a ± b cosθ atau r = a ± b sinθ? → Limacon (cardioid jika a = b). r = a cos(nθ)? → Rose. r = aθ? → Spiral.
Langkah 2: Uji simetri
Periksa simetri terhadap sumbu polar, garis θ = π/2, dan origin. Ini mengurangi jumlah titik yang perlu dihitung.
Langkah 3: Buat tabel r vs θ
Hitung r untuk θ = 0, π/6, π/4, π/3, π/2, ..., 2π. Perhatikan dimana r = 0 (kurva melewati origin) dan r maksimum.
Langkah 4: Perhatikan r negatif
Jika r < 0, titik diplot di arah berlawanan (θ + π). Ini penting untuk rose curves dengan n genap.
Klasifikasi Limacon: r = a + b cos θ
|a| > |b|: Convex limacon (tanpa loop, tanpa dimple)
|a| = |b|: Cardioid (berbentuk hati, melewati origin)
|b|/2 < |a| < |b|: Limacon with dimple (lekukan tapi tidak melewati origin)
|a| < |b|: Limacon with inner loop (melewati origin, ada loop dalam)
Rose Curve: r = a cos(nθ) atau r = a sin(nθ)
n ganjil: Tepat n kelopak
n genap: Tepat 2n kelopak
cos vs sin: cos → kelopak pada sumbu polar, sin → dirotasi π/(2n)
CS Connection
Radar & Sonar: Data radar alami dalam koordinat polar (r, θ) — processing langsung di domain polar lebih efisien.
Computer Graphics: Spirograph, mandala generator, dan generative art menggunakan persamaan polar parametrik.
Robot Navigation: LIDAR scanner menghasilkan point cloud (r, θ) — konversi ke Kartesian diperlukan untuk mapping.
8. Garis Singgung di Origin
Teorema 10.5.5: Garis Singgung Polar di Origin
Jika r = f(θ₀) = 0 dan f'(θ₀) ≠ 0, maka garis singgung kurva di origin memiliki arah θ = θ₀.
Artinya: setiap kali kurva melewati origin, sudut θ saat itu memberikan arah garis singgung.
Contoh: Garis singgung rose r = cos 2θ di origin
r = 0 saat cos 2θ = 0 → θ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Empat garis singgung di origin: θ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4
Dalam Kartesian: y = x dan y = -x (dua garis yang saling tegak lurus).
Rangkuman Kurva Polar Klasik
| Nama | Persamaan | Simetri | Ciri Khas |
|---|---|---|---|
| Cardioid | r = a(1+cosθ) | Sumbu polar | Bentuk hati |
| Limacon | r = a+b cosθ | Sumbu polar | Loop jika |b|>|a| |
| Rose | r = a cos(nθ) | Sumbu polar | n/2n kelopak |
| Lemniscate | r²=a²cos(2θ) | Origin+polar | Angka 8 |
| Spiral | r = aθ | Tidak ada | Tak terbatas |
| Lingkaran | r = 2a cosθ | Sumbu polar | Pusat (a,0) |
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Referensi: Purcell 9e Bab 10.5–10.6 · Stewart 9e Bab 10.3–10.4
Mudah — Konversi & Identifikasi Kurva
Konversi titik kartesian (3, 3) ke koordinat polar
Konversi polar (4, π/6) ke kartesian
Identifikasi kurva polar: r = 3
Konversi r = 2 sin θ ke persamaan kartesian
Sedang — Simetri, Titik Potong, Konversi
Tentukan simetri kurva r = sin 2θ
Cari titik potong r = 1 + cos θ (cardioid) dan r = 1
Tentukan persamaan polar lingkaran kartesian x² + y² − 6x = 0
Sketsa dan identifikasi r = 1 − sin θ
Sulit — Luas & Panjang Polar + Visualisasi
Hitung panjang kurva cardioid r = 1 + cos θ untuk 0 ≤ θ ≤ 2π
Cari luas daerah yang dilingkupi satu kelopak rose r = cos 3θ
Cari luas daerah dalam r = 2 dan di luar r = 2 − 2cos θ
Tunjukkan bahwa area dalam r = f(θ) diberikan oleh A = (1/2)∫ r² dθ
Mixed / Aplikasi — Radar, Telekomunikasi, Orbit
Sinyal radar: jangkauan r(θ) = 50·(1 + 0.5cos θ) km. Cari total luas coverage.
Sinyal QAM dalam telekomunikasi: titik konstelasi di polar (r, kπ/4). Jarak antara dua titik (2, 0) dan (2, π/4)?
Orbit elips planet: r = a(1−e²)/(1−e cos θ). Hitung luas untuk e = 0.2, a = 10.