Kalkulus 2 — Pertemuan 7
Barisan (Sequences)
Definisi formal konvergensi barisan melalui ε-N, sifat-sifat aljabar limit, teorema barisan monoton terbatas, dan squeeze theorem.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 10.1. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 11.1.
1. Definisi Barisan
Definisi 10.1.1 (Purcell): Barisan
Barisan (sequence) adalah fungsi dari bilangan asli ke bilangan real:
aₙ disebut suku ke-n dari barisan.
2. Konvergensi Barisan: Definisi ε-N
Definisi 10.1.2 (Purcell): Konvergensi Barisan
Barisan {aₙ} konvergen ke L (ditulis lim_{n→∞} aₙ = L) jika:
Artinya: untuk seberapa kecil pun toleransi ε, semua suku barisan setelah indeks ke-N berada dalam jarak ε dari L.
Jika tidak ada L yang memenuhi, barisan disebut divergen.
Interaktif: Definisi ε-N untuk aₙ = 1/n → L = 0
|aₙ - 0| = 1/n < 0.10 ⟺ n > 10.0
Pilih N = 10
Untuk semua n > 10, suku aₙ = 1/n berada dalam strip (−0.10, 0.10).
Titik hijau: |aₙ - L| < ε (memenuhi). Titik merah: belum memenuhi.
3. Sifat Aljabar Limit Barisan
Teorema 10.1.3 (Purcell): Sifat Limit Barisan
Jika lim aₙ = A dan lim bₙ = B, maka:
1. lim (aₙ ± bₙ) = A ± B
2. lim (c · aₙ) = c · A, c konstanta
3. lim (aₙ · bₙ) = A · B
4. lim (aₙ / bₙ) = A / B, asalkan B ≠ 0
5. lim aₙᵖ = Aᵖ, p > 0 dan aₙ > 0
Teorema 10.1.4: Limit Dasar yang Penting
lim 1/nᵖ = 0 (p > 0)
lim rⁿ = 0 (|r| < 1)
lim n^(1/n) = 1
lim (1 + 1/n)ⁿ = e
lim (ln n)/n = 0
lim n!/nⁿ = 0 (Stirling)
4. Squeeze Theorem untuk Barisan
Teorema 10.1.5 (Purcell): Squeeze Theorem
Jika aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ untuk semua n ≥ N₀, dan:
Contoh: lim (sin n)/n = 0
Kita tahu -1 ≤ sin n ≤ 1 untuk semua n.
-1/n ≤ (sin n)/n ≤ 1/n
lim (-1/n) = 0 dan lim (1/n) = 0
⟹ lim (sin n)/n = 0 (Squeeze Theorem)
Teorema 10.1.6: Konvergensi Absolut
lim |aₙ| = 0 ⟹ lim aₙ = 0
Berguna untuk barisan berganti tanda: cukup buktikan |aₙ| → 0.
5. Teorema Barisan Monoton Terbatas
Definisi: Monoton & Terbatas
Naik (increasing): aₙ₊₁ ≥ aₙ untuk semua n.
Turun (decreasing): aₙ₊₁ ≤ aₙ untuk semua n.
Terbatas atas: ada M sehingga aₙ ≤ M untuk semua n.
Terbatas bawah: ada m sehingga aₙ ≥ m untuk semua n.
Teorema 10.1.7 (Purcell): Monotone Convergence Theorem
Spesifiknya:
- Monoton naik + terbatas atas → konvergen ke sup{aₙ}.
- Monoton turun + terbatas bawah → konvergen ke inf{aₙ}.
Penting: Teorema ini menjamin eksistensi limit, bukan nilainya. Untuk mencari nilai, tetapkan L = lim aₙ dan selesaikan persamaan rekursif.
Contoh: aₙ₊₁ = √(2 + aₙ), a₁ = √2
Langkah 1: Tunjukkan monoton naik: aₙ₊₁ ≥ aₙ (induksi).
Langkah 2: Tunjukkan terbatas atas: aₙ ≤ 2 (induksi).
Langkah 3: Monoton + terbatas → limit L ada.
L = √(2 + L) → L² = 2 + L → L² - L - 2 = 0
(L - 2)(L + 1) = 0 → L = 2 (karena aₙ > 0)
lim aₙ = 2
6. Visualisasi Jenis Barisan
Tiga Perilaku Barisan
7. Eksplorasi Barisan Interaktif
Sequence Explorer
Konvergen ke 0
aₙ = 1/n
lim = 0
Monoton turun, terbatas bawah oleh 0
20 suku pertama:
8. Teknik Menghitung Limit Barisan
Bentuk ∞/∞: Bagi pangkat tertinggi
lim (3n² + n)/(5n² - 2) = lim (3 + 1/n)/(5 - 2/n²) = 3/5
Fungsi kontinu: lim f(aₙ) = f(lim aₙ)
lim √(n²+1)/n = √(lim (1+1/n²)) = √1 = 1
L'Hopital (via fungsi kontinu)
Jika f(x) kontinu dan aₙ = f(n), maka lim aₙ = lim_{x→∞} f(x). Terapkan L'Hopital pada versi kontinu.
Logaritma: lim aₙ = e^(lim ln aₙ)
lim (1+1/n)ⁿ: ln aₙ = n ln(1+1/n) → ... → 1 → aₙ → e
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Limit aljabar
Tentukan lim (3n³ - 2n)/(5n³ + n² + 1)
Soal 2: Squeeze
Tentukan lim (cos²n)/n²
Soal 3: Monotone Convergence
aₙ₊₁ = (aₙ + 3)/2, a₁ = 1. Tunjukkan konvergen dan cari limitnya.
Soal 4: Bentuk 1^∞
Tentukan lim (1 + 3/n)ⁿ
Soal 5: Factorial vs eksponensial
Tentukan lim 2ⁿ/n!
Soal 6: Divergen
Tunjukkan aₙ = (-1)ⁿ divergen
9. Barisan Terkenal
Barisan Fibonacci: F₁=1, F₂=1, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
lim Fₙ₊₁/Fₙ = φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 (Golden Ratio)
Barisan Harmonic Parsial: Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
Hₙ → ∞ (divergen), tetapi Hₙ - ln n → γ ≈ 0.5772 (konstanta Euler-Mascheroni)
Barisan e: aₙ = (1 + 1/n)ⁿ
Monoton naik, terbatas atas oleh 3. lim = e ≈ 2.71828...
CS Connection
Fixed-Point Iteration: aₙ₊₁ = g(aₙ) konvergen jika |g'(r)| < 1 (contraction mapping) — fondasi Newton's method.
Amortized Analysis: Barisan biaya operasi: konvergensi ke rata-rata menjelaskan O(1) amortized pada dynamic arrays.
Convergence Rate: Linear (|aₙ₊₁-L|/|aₙ-L| → c), quadratic (Newton), superlinear — menentukan efisiensi algoritma numerik.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Referensi: Purcell 9e Bab 10.1 · Stewart 9e Bab 11.1
Mudah — Limit Barisan Langsung
Tentukan limit barisan aₙ = (3n+1)/(2n−5)
Tentukan apakah aₙ = (−1)ⁿ/n konvergen
Tentukan limit aₙ = (n² + 3)/(2n² − n)
Apakah aₙ = n·sin(1/n) konvergen?
Sedang — Monoton, Terbatas, Rekursif
Tunjukkan aₙ = n!/nⁿ → 0
Buktikan aₙ = (1 + 1/n)ⁿ monoton naik dan terbatas atas
Tentukan limit aₙ = (2ⁿ + 3ⁿ)^(1/n)
Apakah barisan rekursif aₙ₊₁ = √(2 + aₙ), a₁=1 konvergen?
Sulit — Epsilon-N, Squeeze, Cauchy + Visualisasi
Buktikan dengan ε-N: lim (2n+1)/(n+3) = 2
Tunjukkan barisan aₙ = n·2^(−n) → 0 menggunakan squeeze
Barisan Cauchy: buktikan aₙ = Σₖ₌₁ⁿ (−1)ᵏ/k² adalah Cauchy
Tentukan konvergensi aₙ = (ln n)/n dan cari limitnya
Mixed / Aplikasi — Algoritma & Keuangan
Algoritma Newton–Raphson untuk √2: aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2, a₁=1. Tunjukkan konvergen dan tentukan limit.
Fixed-point iteration xₙ₊₁ = cos(xₙ). Konvergen? Ke mana?
Compound interest diskrit vs kontinu: aₙ = (1+r/n)ⁿ → e^r. Buktikan untuk r=1.