Kalkulus 2 — Pertemuan 11

Deret Taylor & Maclaurin

Representasi fungsi sebagai deret pangkat — teorema Taylor, enam deret Maclaurin penting, sisa Rₙ, dan aproksimasi polinomial.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 10.8–10.9. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 11.10–11.11.

1. Teorema Taylor

Teorema 10.8.1 (Purcell): Deret Taylor

Jika f memiliki turunan ke-n+1 pada interval terbuka yang memuat a, maka untuk setiap x dalam interval tersebut:

f(x) = Σ_k=0ⁿ f^(k)(a)/k! · (x-a)^k + R_n(x)

Jika lim_{n→∞} Rₙ(x) = 0, maka:

f(x) = Σ_k=0^∞ f^(k)(a)/k! · (x-a)^k

Ini adalah deret Taylor dari f berpusat di a. Jika a = 0, disebut deret Maclaurin.

2. Sisa Taylor (Remainder)

Teorema 10.8.2 (Purcell): Sisa Lagrange

Sisa setelah n suku (bentuk Lagrange):

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n+1)! · (x-a)ⁿ⁺¹

dimana c antara a dan x (c tidak diketahui pasti, hanya dijamin ada).

Teorema 10.8.3: Konvergensi ke f(x)

f(x) = Σf^(k)(a)/k! · (x-a)^k jika dan hanya jika lim_{n→∞} R_n(x) = 0.

Bound praktis: Jika |f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)| ≤ M untuk semua c antara a dan x, maka:

|R_n(x)| ≤ M|x-a|ⁿ⁺¹/(n+1)!

3. Enam Deret Maclaurin Penting

1. Eksponensial

e^x = Σ_n=0^∞ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ..., R = ∞

2. Sinus

sin x = Σ_n=0^∞ (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = x - x³/3! + x⁵/5! - ..., R = ∞

3. Cosinus

cos x = Σ_n=0^∞ (-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)! = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ..., R = ∞

4. Logaritma Natural

ln(1+x) = Σ_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n = x - x²/2 + x³/3 - ..., R = 1 (-1 < x ≤ 1)

5. Geometri (Referensi)

1/(1-x) = Σ_n=0^∞ xⁿ = 1 + x + x² + x³ + ..., R = 1 (|x| < 1)

6. Arctangent

arctan x = Σ_n=0^∞ (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1) = x - x³/3 + x⁵/5 - ..., R = 1 (|x| ≤ 1)

4. Visualisasi: Aproksimasi Taylor sin(x)

Tambahkan suku-suku Taylor dan lihat akurasi meningkat

Jumlah suku (n):1

P₁(x) = x

5. Teknik Menurunkan Deret Taylor

Substitusi ke Deret yang Diketahui

e^-x²: ganti x → -x² di e^x = Σxⁿ/n!

→ Σ(-1)ⁿx²ⁿ/n!

Diferensiasi Suku per Suku

d/dx[1/(1-x)] = 1/(1-x)²

→ Σnx^n-1

Integrasi Suku per Suku

∫ 1/(1+x) dx = ln(1+x)

→ Σ(-1)ⁿxⁿ⁺¹/(n+1)

Perkalian dengan x^k

x·sin x = x·Σ(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = Σ(-1)ⁿx²ⁿ⁺²/(2n+1)!

6. Taylor Calculator Interaktif

Hitung Aproksimasi Taylor

f(x) =

x =

n =

k	Suku ke-k	Jumlah parsial
0	0	0
1	1	1
2	0	1
3	-0.16666667	0.83333333
4	0	0.83333333
5	0.00833333	0.84166667

Nilai eksak: 0.84147098

Aproksimasi (5 suku): 0.84166667

Error: 1.9569e-4

7. Deret Taylor Berpusat di a ≠ 0

Contoh: Deret Taylor ln x berpusat di a = 1

f(x) = ln x, f(1) = 0, f'(x) = 1/x → f'(1) = 1

f''(x) = -1/x² → f''(1) = -1, f'''(1) = 2, f⁴(1) = -6

Pola: f⁽ⁿ⁾(1) = (-1)ⁿ⁺¹(n-1)!

ln x = Σ_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹(x-1)ⁿ/n, 0 < x ≤ 2

Contoh: Deret Taylor e^x berpusat di a = 2

f⁽ⁿ⁾(x) = e^x untuk semua n, jadi f⁽ⁿ⁾(2) = e².

e^x = Σ_n=0^∞ e²(x-2)ⁿ/n! = e² · Σ(x-2)ⁿ/n!

8. Aplikasi Deret Taylor

Menghitung Limit

lim_{x→0} (sin x - x)/x³ = lim (x - x³/6 + ... - x)/x³ = lim (-1/6 + ...) = -1/6

Menghitung Integral Sulit

∫₀¹ sin(x²) dx = ∫₀¹ Σ(-1)ⁿx⁴ⁿ⁺²/(2n+1)! dx

= Σ(-1)ⁿ/[(4n+3)(2n+1)!] ≈ 0.31026

Estimasi Error

Dengan sisa alternating series: |error| ≤ |suku pertama yang dibuang|.

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Deret Maclaurin dari awal

Tentukan deret Maclaurin dari f(x) = 1/(1+x)² sampai suku x⁴

Soal 2: Substitusi

Deret Maclaurin untuk e^-x²

Soal 3: Hitung limit

Hitung lim_{x→0} (e^x - 1 - x)/x²

Soal 4: Integral via Taylor

Hitung ∫₀^(0.5) sin(x²) dx dengan error < 10⁻⁴

Soal 5: Deret Taylor non-Maclaurin

Deret Taylor √x berpusat di a = 4

Soal 6: Euler's identity

Dari e^ix = cos x + i sin x, turunkan secara formal menggunakan deret Maclaurin.

9. Deret Binomial (Bonus)

Teorema: Deret Binomial

Untuk sembarang bilangan real k (tidak harus integer positif):

(1+x)^k = Σ_n=0^∞ C(k,n) xⁿ, |x| < 1

dimana C(k,n) = k(k-1)(k-2)...(k-n+1)/n! adalah koefisien binomial umum.

Contoh Penting: √(1+x) dan 1/√(1+x)

√(1+x) = (1+x)^(1/2) = 1 + x/2 - x²/8 + x³/16 - ...

1/√(1+x) = (1+x)^(-1/2) = 1 - x/2 + 3x²/8 - 5x³/16 + ...

Kedua deret konvergen untuk |x| < 1. Berguna untuk aproksimasi akar.

CS Connection

Floating Point: CPU menghitung sin, cos, exp menggunakan polinomial Taylor/minimax dengan ~15 suku untuk presisi double (IEEE 754).

Machine Learning: Softmax, sigmoid, dan loss functions diaproksimasi Taylor untuk analisis gradien dan stabilitas numerik.

Computer Graphics: Aproksimasi Taylor untuk trigonometri cepat dalam shader programs — tradeoff akurasi vs kecepatan.

← P10: Deret Pangkat P12: Koordinat Polar →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 10.8–10.9. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 11.10–11.11.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Referensi: Purcell 9e Bab 10.8–10.9 · Stewart 9e Bab 11.10–11.11

Mudah — Ekspansi Maclaurin Standar

Tulis 5 suku pertama deret Maclaurin untuk eˣ

Hitung sin(0.1) menggunakan deret Taylor hingga suku x³

Tulis deret Maclaurin untuk cos x sampai suku x⁶

Gunakan substitusi pada eˣ untuk cari deret e^(−x²)

Sedang — Substitusi, Integrasi, Limit via Taylor

Gunakan deret Maclaurin untuk hitung ∫₀⁰·¹ e^(−x²) dx (akurasi 4 desimal)

Ekspansikan f(x) = ln(1+x) sebagai deret Maclaurin dan verifikasi R=1

Hitung limit lim(x→0) (sin x − x)/x³ menggunakan Taylor

Ekspansikan (1+x)^(1/2) sebagai deret binomial sampai suku x³

Sulit — Bukti & Error Bound + Visualisasi SMIL

Buktikan Euler formula: e^(iθ) = cos θ + i sin θ menggunakan deret Maclaurin

Estimasi kesalahan: sin(0.5) via Taylor orde 5. Hitung remainder Rₙ.

Deret Taylor untuk f(x) = 1/x di sekitar a=1

Hitung Σ n²/n! = ?

Mixed / Aplikasi — CPU, Irasionalitas, Kriptografi

CPU floating-point: sin(x) dihitung dengan minimax polynomial degree 7. Berapa akurasi untuk x ∈ [0, π/2]?

Gunakan deret Taylor untuk buktikan bahwa e irasional

Taylor series untuk kriptografi: approximasi ln(1+x) untuk x∈(−1,0) dalam analisis keamanan information-theoretic