Kalkulus 2 — Pertemuan 5
Pecahan Parsial (Partial Fractions)
Dekomposisi fungsi rasional P(x)/Q(x) menjadi pecahan sederhana yang mudah diintegralkan — empat kasus lengkap dengan cover-up method dan pohon keputusan.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 7.5. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 7.4.
1. Prasyarat: Pembagian Polinomial
Syarat: derajat P(x) < derajat Q(x)
Dekomposisi pecahan parsial hanya berlaku jika pembilang berderajat lebih rendah dari penyebut (proper fraction). Jika tidak, lakukan pembagian panjang polinomial terlebih dahulu:
dimana S(x) adalah hasil bagi dan R(x) adalah sisa.
Contoh Pembagian Panjang
(x³ + 2x) / (x² - 1)
= x + 3x/(x² - 1) (bagi x³/x² = x, sisa = 3x)
Sekarang dekomposisi pecahan parsial hanya perlu diterapkan pada 3x/(x²-1).
2. Empat Kasus Dekomposisi
Kasus 1: Faktor Linear Berbeda (Distinct Linear Factors)
Jika Q(x) = (x - r₁)(x - r₂)...(x - rₖ) dengan rᵢ saling berbeda:
Integrasi: Setiap suku memberikan Aᵢ ln|x - rᵢ| + C.
Kasus 2: Faktor Linear Berulang (Repeated Linear Factors)
Jika Q(x) mengandung faktor (x - r)ⁿ:
Integrasi: Untuk k ≥ 2, ∫ Aₖ/(x-r)ᵏ dx = Aₖ(x-r)⁻ᵏ⁺¹/(−k+1) + C.
Kasus 3: Faktor Kuadratik Tak Tereduksi (Irreducible Quadratic)
Jika Q(x) mengandung faktor (ax² + bx + c) dengan b² - 4ac < 0:
Integrasi: Pisahkan menjadi ∫ Ax/(kuadratik) dx + ∫ B/(kuadratik) dx. Bagian pertama: ln, bagian kedua: arctan.
Kasus 4: Faktor Kuadratik Berulang (Repeated Irreducible Quadratic)
Jika Q(x) mengandung faktor (ax² + bx + c)ⁿ:
Integrasi: Untuk pangkat ≥ 2, gunakan substitusi trigonometri pada kuadratik yang dilengkapkan kuadratnya.
3. Pohon Keputusan Dekomposisi
Diagram Alir: Menentukan Bentuk Dekomposisi (Animasi Highlight Kasus)
4. Metode Menentukan Koefisien
Metode 1: Cover-Up (Heaviside)
Hanya untuk Kasus 1 (faktor linear berbeda). Untuk mencari koefisien Aᵢ dari faktor (x - rᵢ):
Secara praktis: "tutup" faktor (x - rᵢ) di penyebut, lalu substitusi x = rᵢ ke sisa ekspresi.
Metode 2: Menyamakan Koefisien
Berlaku untuk semua kasus. Kalikan kedua ruas dengan Q(x), expand, lalu samakan koefisien pangkat yang sama:
P(x) = A(faktor lain₁) + B(faktor lain₂) + ...
Expand ruas kanan, kelompokkan menurut pangkat x, samakan koefisien → sistem persamaan linear.
Metode 3: Substitusi Strategis
Pilih nilai x yang menyederhanakan persamaan (biasanya akar-akar penyebut, x = 0, atau x = 1):
Substitusi x = rᵢ membuat semua suku kecuali satu menjadi nol (untuk faktor linear). Untuk kasus lain, substitusi beberapa nilai x untuk mendapatkan sistem persamaan.
Interaktif: Demo Cover-Up Method
Diberikan: (2x+3)/[(x-1)(x+2)] = A/(x-1) + B/(x+2)
5. Contoh Lengkap Tiap Kasus
Kasus 1: ∫ (5x - 4)/[(x - 2)(x + 1)] dx
(5x-4)/[(x-2)(x+1)] = A/(x-2) + B/(x+1)
Cover-up: A = (5(2)-4)/(2+1) = 6/3 = 2
Cover-up: B = (5(-1)-4)/(-1-2) = -9/(-3) = 3
∫ [2/(x-2) + 3/(x+1)] dx
= 2 ln|x-2| + 3 ln|x+1| + C
Kasus 2: ∫ (3x + 5)/(x - 1)² dx
(3x+5)/(x-1)² = A/(x-1) + B/(x-1)²
3x+5 = A(x-1) + B
x = 1: 8 = B → B = 8
Koef x: 3 = A → A = 3
∫ [3/(x-1) + 8/(x-1)²] dx
= 3 ln|x-1| - 8/(x-1) + C
Kasus 3: ∫ (x² + 2x + 3)/[(x + 1)(x² + 1)] dx
(x²+2x+3)/[(x+1)(x²+1)] = A/(x+1) + (Bx+C)/(x²+1)
x²+2x+3 = A(x²+1) + (Bx+C)(x+1)
x = -1: 1-2+3 = 2A → A = 1
Koef x²: 1 = A+B → B = 0
Koef x⁰: 3 = A+C → C = 2
∫ [1/(x+1) + 2/(x²+1)] dx
= ln|x+1| + 2 arctan x + C
Kasus 4: ∫ (2x + 1)/(x² + 1)² dx
(2x+1)/(x²+1)² = (Ax+B)/(x²+1) + (Cx+D)/(x²+1)²
2x+1 = (Ax+B)(x²+1) + (Cx+D)
Koef x³: A = 0, Koef x²: B = 0
Koef x: A+C = 2 → C = 2, Koef x⁰: B+D = 1 → D = 1
∫ (2x+1)/(x²+1)² dx = ∫ 2x/(x²+1)² dx + ∫ 1/(x²+1)² dx
Pertama: u = x²+1 → -1/(x²+1)
Kedua: x = tan θ → (1/2)(arctan x + x/(x²+1))
= -1/(x²+1) + (1/2) arctan x + x/(2(x²+1)) + C
6. Identifikasi Otomatis
Interaktif: Tentukan Kasus dari Penyebut
Kasus 1: Faktor Linear Berbeda
Bentuk: A/(x-r₁) + B/(x-r₂) + ...
Cover-up method atau substitusi langsung nilai akar.
7. Tabel Integral Pecahan Parsial
Rumus Integral Pecahan Sederhana
∫ A/(x-r) dx = A ln|x-r| + C
∫ A/(x-r)ⁿ dx = A(x-r)⁻ⁿ⁺¹/(−n+1) + C, n ≥ 2
∫ (Ax+B)/(x²+a²) dx = (A/2) ln(x²+a²) + (B/a) arctan(x/a) + C
∫ (Ax+B)/(x²+a²)² dx: pisah → u-sub + trig sub
∫ dx/(x²+a²)ⁿ: reduction formula atau x = a tan θ
8. Kasus Khusus dan Tips
Rook's Factoring Method
Jika Q(x) berkoefsien integer, semua akar rasional memiliki bentuk p/q dimana p | a₀ dan q | aₙ (Rational Root Theorem). Gunakan ini untuk menemukan faktor linear.
Completing the Square
Untuk faktor kuadratik ax² + bx + c: lengkapkan kuadrat sempurna a[(x+b/2a)² + (4ac-b²)/4a²] untuk mendapatkan bentuk (u² + k²) yang menghasilkan arctan.
Verifikasi Cepat
Setelah menemukan koefisien, substitusi x = 0 (atau nilai sederhana lain) untuk memverifikasi. Kedua ruas harus memberikan nilai yang sama.
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Kasus 1 — Cover-up
Hitung ∫ (4x + 1)/[(x - 3)(x + 1)] dx
Soal 2: Kasus 2 — Linear berulang
Hitung ∫ x²/(x - 1)³ dx
Soal 3: Kasus 3 — Kuadratik
Hitung ∫ (3x² + x + 1)/[x(x² + 1)] dx
Soal 4: Pembagian dulu
Hitung ∫ x³/(x² - 4) dx
Soal 5: Integral Tentu
Hitung ∫₀¹ dx/[(x+1)(x+3)]
Soal 6: Tiga faktor linear
Hitung ∫ (x² + 1)/[x(x - 1)(x + 2)] dx
CS Connection
Z-Transform (DSP): Dekomposisi pecahan parsial di H(z) = P(z)/Q(z) mengurai transfer function menjadi parallel sections → implementasi filter digital.
Control Systems: Laplace transform: F(s) = P(s)/Q(s). Inverse Laplace requires partial fractions to find time-domain response.
Generating Functions: Dalam combinatorics, pecahan parsial dari OGF memecahkan recurrence relations (misal Fibonacci).
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Referensi: Purcell 9e Bab 7.5 · Stewart 9e Bab 7.4 — Pecahan Parsial (Partial Fractions)
Mudah — Faktor Linear Berbeda
Hitung ∫ 1/((x−1)(x+2)) dx
Hitung ∫ 3/(x²−x−2) dx
Hitung ∫ (x+4)/((x+1)(x+3)) dx
Hitung ∫ 1/(x²−4) dx dengan cover-up
Sedang — Faktor Berulang atau Kuadratik
Hitung ∫ 1/(x(x+1)²) dx — faktor linear berulang
Hitung ∫ x/(x²+4x+13) dx — kuadratik tak tereduksi
Hitung ∫ (2x²+3x−1)/((x−1)(x²+2)) dx
Hitung ∫ x³/(x²−1) dx — lakukan pembagian polinomial dulu
Sulit — Improper + Kuadratik Tak Tereduksi + Visualisasi
Hitung ∫ 1/((x−1)(x+2)) dx dan identifikasi pole
Hitung ∫ 1/(x(x²+1)) dx — faktor kuadratik tak tereduksi
Hitung ∫ (x⁴+1)/(x(x²+1)²) dx — kasus kuadratik berulang
Hitung ∫₀¹ 1/(x²−5x+6) dx (konvergensi?)
Mixed / Aplikasi Terpadu
Laju reaksi kimia: dx/dt = k(a−x)(b−x), a≠b. Selesaikan ODE dengan partial fractions.
PDF: f(x) = A/((x+1)(x+3)) pada [0,∞). Tentukan A agar ∫₀^∞ f(x) dx = 1.
Nilai harapan E[X] dengan f(x) = 2/((x+1)(x+3)) pada [0,∞)