Kalkulus 2 — Pertemuan 6
Integral Improper (Tak Wajar)
Integral dengan batas tak hingga atau integran tak terbatas — definisi formal melalui limit, p-integral, comparison test, dan limit comparison test.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 7.8. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 7.8.
1. Tipe I: Batas Integral Tak Hingga
Definisi 7.8.1 (Purcell): Integral Improper Tipe I
Jika f kontinu pada [a, ∞), maka:
∫ₐ^∞ f(x) dx = lim_{t→∞} ∫ₐᵗ f(x) dx
asalkan limit ada dan berhingga (→ konvergen); jika tidak → divergen.
Definisi 7.8.2: Variasi Tipe I
∫_{-∞}^b f(x) dx = lim_{t→-∞} ∫ₜᵇ f(x) dx
∫_{-∞}^∞ f(x) dx = ∫_{-∞}^c f(x) dx + ∫_c^∞ f(x) dx
Kedua integral di ruas kanan harus konvergen secara independen (c bisa dipilih sembarang).
Visualisasi: 1/x vs 1/x² (Konvergen vs Divergen)
Meskipun kedua kurva mendekati 0, luas di bawah 1/x tidak berhingga sedangkan luas di bawah 1/x² = 1.
2. Tipe II: Integran Tak Terbatas (Diskontinuitas)
Definisi 7.8.3 (Purcell): Integral Improper Tipe II
Jika f kontinu pada (a, b] tetapi lim_{x→a⁺} |f(x)| = ∞:
∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{t→a⁺} ∫ₜᵇ f(x) dx
Analog jika diskontinuitas di b: lim_{t→b⁻} ∫ₐᵗ f(x) dx.
Jika diskontinuitas di c ∈ (a, b): split menjadi ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ. Kedua limit harus ada!
Peringatan: Diskontinuitas Tersembunyi
Selalu periksa apakah integran memiliki diskontinuitas di dalam interval [a, b]. Contoh: ∫₋₁² dx/x² BUKAN integral biasa karena 1/x² tidak terdefinisi di x = 0. Mengabaikan ini dan menerapkan FTC langsung memberikan jawaban salah (negatif, padahal integran positif!).
Visualisasi: Tipe II — Diskontinuitas di x = a
3. Teorema p-Integral
Teorema 7.8.4 (Purcell): p-Integral
Tipe I (batas tak hingga):
∫₁^∞ 1/xᵖ dx konvergen ⟺ p > 1
Jika konvergen, nilainya = 1/(p-1).
Tipe II (diskontinuitas di 0):
∫₀¹ 1/xᵖ dx konvergen ⟺ p < 1
Jika konvergen, nilainya = 1/(1-p).
Perhatikan: Kondisi konvergensi terbalik! Tipe I: p > 1. Tipe II: p < 1. Keduanya divergen di p = 1.
Interaktif: p-Integral Evaluator
∫₁^∞ 1/x^2.0 dx
KONVERGEN
1.0000
4. Uji Perbandingan (Comparison Tests)
Teorema 7.8.5 (Purcell): Direct Comparison Test
Misalkan 0 ≤ f(x) ≤ g(x) untuk semua x ≥ a:
1. Jika ∫ₐ^∞ g(x) dx konvergen, maka ∫ₐ^∞ f(x) dx juga konvergen.
2. Jika ∫ₐ^∞ f(x) dx divergen, maka ∫ₐ^∞ g(x) dx juga divergen.
Intuisi: Jika fungsi yang lebih besar punya luas berhingga, yang lebih kecil pasti juga. Jika yang kecil sudah tak berhingga, yang besar pasti juga.
Teorema 7.8.6 (Purcell): Limit Comparison Test
Misalkan f(x) > 0 dan g(x) > 0 untuk x ≥ a. Jika:
maka ∫ₐ^∞ f(x) dx dan ∫ₐ^∞ g(x) dx keduanya konvergen atau keduanya divergen.
Keuntungan: Tidak perlu membuktikan f ≤ g secara pasti, cukup perilaku asimtotik.
Strategi Pemilihan Fungsi Pembanding
Identifikasi suku dominan di penyebut saat x → ∞.
Bandingkan dengan p-integral 1/xᵖ yang sesuai.
Fungsi eksponensial e⁻ˣ menurun lebih cepat dari semua 1/xᵖ → sering dipakai sebagai pembanding atas.
5. Eksplorasi Interaktif
Integral Improper Evaluator
∫₁^t e^(-x) dx
= [-e^(-x)]₁^10 = -e^(-10) + e^(-1) = 0.367834
saat t → ∞: → 1/e ≈ 0.3679
KONVERGEN ke 1/e
6. Contoh Lengkap
Tipe I: ∫₁^∞ 1/x² dx
= lim_{t→∞} ∫₁ᵗ x⁻² dx = lim_{t→∞} [-1/x]₁ᵗ
= lim_{t→∞} (-1/t + 1) = 0 + 1
= 1 (konvergen)
Tipe II: ∫₀¹ 1/√x dx
Diskontinuitas di x = 0 (1/√x → ∞).
= lim_{t→0⁺} ∫ₜ¹ x⁻¹/² dx = lim_{t→0⁺} [2√x]ₜ¹
= lim_{t→0⁺} (2 - 2√t) = 2
= 2 (konvergen, p = 1/2 < 1)
Comparison Test: ∫₁^∞ (2 + sin x)/x² dx
-1 ≤ sin x ≤ 1, maka 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3.
0 ≤ (2 + sin x)/x² ≤ 3/x²
∫₁^∞ 3/x² dx = 3 (konvergen, p = 2 > 1)
→ ∫₁^∞ (2+sin x)/x² dx konvergen (direct comparison)
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Tipe I langsung
Hitung ∫₁^∞ e⁻ˣ dx
Soal 2: Tipe II
Hitung ∫₀³ dx/√(3-x)
Soal 3: Limit Comparison
Tentukan konvergensi ∫₁^∞ dx/(x³ + 5)
Soal 4: ∫_{-∞}^∞ (Gaussian)
Tunjukkan ∫₀^∞ e⁻ˣ² dx konvergen
Soal 5: Diskontinuitas interior
Hitung ∫₀² dx/(x-1)^(2/3)
Soal 6: ∫₁^∞ 1/(x²+1) dx
Hitung nilainya
CS Connection
Distribusi Normal: ∫_{-∞}^∞ e⁻ˣ²/² dx = √(2π) — fondasi statistik dan machine learning.
Teori Informasi: Entropi kontinu h(X) = -∫ p(x) ln p(x) dx melibatkan integral improper.
Expected Runtime: E[T] = ∫₀^∞ t·f(t) dt — analisis kompleksitas rata-rata algoritma randomized.
7. Konvergensi Absolut vs Bersyarat untuk Integral Improper
Definisi: Konvergensi Absolut Integral
∫ₐ^∞ f(x) dx konvergen absolut jika ∫ₐ^∞ |f(x)| dx konvergen.
Konvergensi absolut ⟹ konvergensi (biasa).
Tetapi konvergensi ≠⟹ konvergensi absolut.
Contoh: ∫₁^∞ (sin x)/x² dx konvergen absolut karena |sin x|/x² ≤ 1/x² dan ∫1/x² konvergen.
Contoh: ∫₀^∞ (sin x)/x dx konvergen bersyarat (Dirichlet integral = π/2) tetapi ∫|sin x|/x dx divergen.
Tabel Ringkasan Integral Improper Penting
| Integral | Konvergensi | Nilai |
|---|---|---|
| ∫₁^∞ 1/xᵖ dx | p > 1 | 1/(p-1) |
| ∫₁^∞ e⁻ˣ dx | Konvergen | 1/e |
| ∫₀^∞ e⁻ˣ² dx | Konvergen | √π/2 |
| ∫₁^∞ 1/(x²+1) dx | Konvergen | π/4 |
| ∫₀¹ 1/xᵖ dx | p < 1 | 1/(1-p) |
| ∫₀^∞ sin(x)/x dx | Bersyarat | π/2 |
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Referensi: Purcell 9e Bab 7.8 · Stewart 9e Bab 7.8 — Integral Tak Wajar (Improper Integrals)
Mudah — Limit Langsung, p-test Sederhana
Tentukan konvergensi ∫₁^∞ 1/x² dx
Tentukan konvergensi ∫₁^∞ 1/x dx
Hitung ∫₀^∞ e⁻³ˣ dx
Tentukan ∫₀¹ 1/√x dx (diskontinu di x=0)
Sedang — Diskontinu Interior / Batas Ganda
Hitung ∫_{−∞}^∞ 1/(1+x²) dx
Hitung ∫₀² 1/(x−1) dx — ada diskontinu di x=1
Hitung ∫₀^∞ x·e⁻ˣ dx menggunakan IBP
Tentukan konvergensi ∫₁^∞ sin x / x² dx dengan comparison
Sulit — Strategi Comparison + Teknik Gabungan + Visualisasi
Buktikan p-test: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx konvergen ⟺ p > 1
Hitung ∫₀^∞ e⁻ˣ·sin x dx menggunakan IBP cyclic + improper limit
Tunjukkan ∫₀^∞ e⁻ˣ² dx = √π/2 (Gaussian integral)
Hitung ∫₀¹ ln x dx dan verifikasi konvergensi
Mixed / Aplikasi Terpadu
PDF Eksponensial: f(x) = λe⁻^(λx), x≥0. Hitung E[X] dan Var[X].
Normalisasi PDF: f(x) = C·e⁻ˣ² pada x∈(−∞,∞). Tentukan C.
Energi total gelombang: E = ∫₀^∞ A²·e⁻²ᵃˣ dx (damped wave amplitude)