Kalkulus 2 — Pertemuan 13

Luas & Panjang Kurva: Polar dan Parametrik

Luas daerah polar, panjang busur polar, kurva parametrik, turunan dy/dx, luas dan panjang kurva parametrik.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 10.3–10.6. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 10.1–10.4.

1. Luas Daerah Polar

Teorema 10.6.1 (Purcell): Luas Daerah Polar

Luas daerah yang dibatasi kurva polar r = f(θ) dari θ = α sampai θ = β:

A = (1/2) ∫_α^β r² dθ = (1/2) ∫_α^β [f(θ)]² dθ

Derivasi: Luas sektor kecil dA = (1/2)r² dθ (sektor lingkaran jari-jari r, sudut dθ).

Elemen Luas Sektor Polar

Luas Antara Dua Kurva Polar

A = (1/2) ∫_α^β [r_luar² - r_dalam²] dθ

Tentukan batas α, β dari titik potong kedua kurva.

Interaktif: Visualisasi Luas Polar

Kurva:

θ max:180°

Garis merah putus-putus: batas sektor-sektor dA = ½r²dθ

2. Panjang Kurva Polar

Teorema 10.6.2 (Purcell): Panjang Busur Polar

L = ∫_α^β √(r² + (dr/dθ)²) dθ

Derivasi: ds² = dx² + dy² dengan x = r cosθ, y = r sinθ → ds² = (r² + r'²)dθ².

Contoh: Panjang cardioid r = 1 + cos θ

r' = -sin θ. r² + r'² = (1+cosθ)² + sin²θ = 2 + 2cosθ

L = ∫₀^(2π) √(2 + 2cosθ) dθ = ∫₀^(2π) √(4cos²(θ/2)) dθ

= 2∫₀^(2π) |cos(θ/2)| dθ = 4∫₀^π cos(θ/2) dθ (simetri)

= 4[2 sin(θ/2)]₀^π = 8

L = 8

3. Kurva Parametrik

Definisi 10.3.1 (Purcell): Kurva Parametrik

Kurva parametrik didefinisikan oleh:

x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b

Parameter t (biasanya waktu) menentukan posisi (x, y) pada kurva.

4. Turunan Kurva Parametrik

Teorema 10.3.2 (Purcell): dy/dx Parametrik

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt), asalkan dx/dt ≠ 0

d²y/dx² = (d/dt)(dy/dx) / (dx/dt)

5. Luas dan Panjang Kurva Parametrik

Teorema 10.3.3: Luas di Bawah Kurva Parametrik

A = ∫_a^b y(t) · x'(t) dt

Ini setara dengan ∫ y dx dimana x dan y diekspresikan dalam parameter t.

Teorema 10.3.4: Panjang Kurva Parametrik

L = ∫_a^b √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt

Teorema 10.3.5: Luas Permukaan Revolusi Parametrik

S = 2π ∫_a^b y(t) √(x'(t)² + y'(t)²) dt (rotasi terhadap sumbu x)

6. Kurva Parametrik Interaktif

Parametric Curve Explorer

Kurva:

t:0°

Cycloid: x = t - sin t, y = 1 - cos t (roda bergulir)

7. Contoh Lengkap

Luas Cycloid: x = t - sin t, y = 1 - cos t, t ∈ [0, 2π]

A = ∫₀^(2π) y(t) · x'(t) dt = ∫₀^(2π) (1-cost)(1-cost) dt

= ∫₀^(2π) (1 - 2cost + cos²t) dt

= [t - 2sint + t/2 + sin(2t)/4]₀^(2π)

= 3π (tiga kali luas lingkaran penghasil!)

Panjang Astroid: x = cos³t, y = sin³t

x' = -3cos²t sint, y' = 3sin²t cost

x'² + y'² = 9cos⁴t sin²t + 9sin⁴t cos²t = 9sin²t cos²t

L = ∫₀^(2π) 3|sint cost| dt = 12∫₀^(π/2) sint cost dt

= 12 · [sin²t/2]₀^(π/2) = 6

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Luas polar

Luas daerah yang dibatasi cardioid r = 1 + cos θ

Soal 2: Luas satu kelopak rose

Luas satu kelopak r = cos 2θ

Soal 3: Luas antara dua kurva

Luas antara r = 2 sin θ dan r = 1

Soal 4: dy/dx parametrik

Cari dy/dx dan d²y/dx² untuk x = t², y = t³ - 3t

Soal 5: Panjang kurva parametrik

Panjang x = eᵗ cos t, y = eᵗ sin t, t ∈ [0, π]

Soal 6: Panjang kurva polar

Panjang lingkaran r = 2 cos θ

8. Luas Permukaan Revolusi (Polar & Parametrik)

Luas Permukaan Revolusi Polar (terhadap sumbu polar)

S = 2π ∫_α^β r sin θ · √(r² + r'²) dθ

Ringkasan Rumus

Besaran	Polar	Parametrik
Luas	½∫r² dθ	∫y·x' dt
Panjang	∫√(r²+r'²) dθ	∫√(x'²+y'²) dt
dy/dx	(r'sinθ+rcosθ)/(r'cosθ-rsinθ)	(dy/dt)/(dx/dt)
Permukaan	2π∫r sinθ·ds	2π∫y·ds

CS Connection

Bezier Curves: Kurva Bezier (font rendering, SVG paths) adalah kurva parametrik polinomial. De Casteljau's algorithm menghitung titik secara numerik stabil.

Computer Animation: Interpolasi parametrik (spline) mengontrol pergerakan karakter — parameter t = waktu.

CAD/CAM: Arc length parameterization diperlukan untuk CNC machining — kecepatan konstan sepanjang kurva membutuhkan panjang busur.

← P12: Koordinat Polar P14: Review & CS Connections →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 10.3–10.6. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 10.1–10.4.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Referensi: Purcell 9e Bab 10.3–10.6 · Stewart 9e Bab 10.1–10.4

Mudah — Luas & Panjang Busur Langsung

Hitung luas di dalam cardioid r = 1 + cos θ

Hitung panjang busur kurva parametrik x = t², y = t³ dari t=0 ke t=1

Hitung luas dalam r = 2 cos θ (setengah lingkaran atas)

Panjang busur lingkaran polar r = 5 untuk θ ∈ [0, 2π]

Sedang — Luas Antara Kurva & Permukaan

Hitung luas di antara dua kurva polar r = 3cos θ dan r = 1+cos θ

Panjang lintasan elips parametrik x = 3cos t, y = 2sin t (aproksimasi)

Luas permukaan rotasi x = t, y = t² sekitar x-axis dari t=0 ke t=1

Hitung luas satu kelopak r = sin 2θ

Sulit — Derivasi Rumus & Kurva Kompleks + Visualisasi

Panjang busur cardioid r = a(1+cos θ) untuk 0 ≤ θ ≤ 2π

Luas permukaan yang dihasilkan memutar r = cos θ sekitar sumbu polar

Gunakan substitusi untuk hitung ∫ r² dθ untuk lemniscate r² = a²cos 2θ

Kurva parametrik x = eᵗcos t, y = eᵗsin t. Hitung panjang busur dari t=0 ke t=π

Mixed / Aplikasi — Entropy, Antena, Cycloid

Panjang busur kurva y = ln(cos x) dari x=0 ke x=π/4 (relevan: entropy curve dalam information theory)

Antena directional: gain pattern g(θ) = cos²θ. Hitung panjang garis pada polar plot untuk θ ∈ [0, π].

Cycloid x = a(t−sin t), y = a(1−cos t): hitung panjang satu siklus (0 ≤ t ≤ 2π)