Kalkulus 2 — Pertemuan 9

Tes Konvergensi Deret

Convergence Tests — uji perbandingan, rasio, akar, integral, dan deret berganti tanda.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 10.5–10.6. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 11.4–11.6.

1. Uji Perbandingan (Comparison Test)

Teorema 10.5.1 (Purcell): Uji Perbandingan Langsung

Misalkan 0 ≤ a_n ≤ b_n untuk semua n ≥ N₀:

1. Jika Σb_n konvergen, maka Σa_n juga konvergen.

2. Jika Σa_n divergen, maka Σb_n juga divergen.

Intuisi: Jika "atas" konvergen, maka yang di bawah juga. Jika "bawah" divergen, maka yang di atas juga.

Contoh Uji Perbandingan

Apakah Σ 1/(n²+n) konvergen?

0 < 1/(n²+n) < 1/n² untuk semua n ≥ 1

Σ1/n² konvergen (p-series, p=2 > 1).

Oleh uji perbandingan, Σ1/(n²+n) juga konvergen.

2. Uji Perbandingan Limit

Teorema 10.5.2 (Purcell): Limit Comparison Test

Misalkan a_n > 0 dan b_n > 0. Jika:

lim_n→∞ a_n / b_n = c, 0 < c < ∞

maka Σa_n dan Σb_n keduanya konvergen atau keduanya divergen.

Kapan digunakan: Saat a_n "mirip" b_n untuk n besar (perilaku asimtotik sama), tetapi perbandingan langsung sulit dibuktikan.

Contoh Uji Perbandingan Limit

Apakah Σ (3n+1)/(n³−2n) konvergen?

Untuk n besar: (3n+1)/(n³−2n) ≈ 3n/n³ = 3/n²

lim (3n+1)/(n³−2n) · n² = lim (3n³+n²)/(n³−2n) = 3

Karena 0 < 3 < ∞ dan Σ1/n² konvergen:

Σ(3n+1)/(n³−2n) juga konvergen.

3. Uji Rasio (Ratio Test)

Teorema 10.5.3 (Purcell): Ratio Test (d'Alembert)

Misalkan Σa_n deret dengan a_n ≠ 0. Hitung:

L = lim_n→∞ |a_n+1 / a_n|

L < 1: Deret konvergen absolut.

L > 1 (atau L = ∞): Deret divergen.

L = 1: Tidak dapat disimpulkan (inconclusive).

Terbaik untuk: Deret dengan faktorial (n!), eksponensial (aⁿ), atau campuran keduanya.

Contoh Uji Rasio

Σ n!/nⁿ

|a_n+1/a_n| = [(n+1)!/(n+1)ⁿ⁺¹] · [nⁿ/n!] = [n/(n+1)]ⁿ

L = lim [n/(n+1)]ⁿ = 1/e ≈ 0.368 < 1 ⇒ KONVERGEN

Σ 2ⁿ/n!

|a_n+1/a_n| = 2ⁿ⁺¹/(n+1)! · n!/2ⁿ = 2/(n+1)

L = lim 2/(n+1) = 0 < 1 ⇒ KONVERGEN

4. Uji Akar (Root Test)

Teorema 10.5.4 (Purcell): Root Test (Cauchy)

Misalkan Σa_n deret. Hitung:

L = lim_n→∞ |a_n|^1/n = lim_n→∞ ⁿ√|a_n|

L < 1: Deret konvergen absolut.

L > 1: Deret divergen.

L = 1: Tidak dapat disimpulkan.

Terbaik untuk: Deret berbentuk a_n = [f(n)]ⁿ atau a_n = cⁿ·g(n).

Contoh Uji Akar

Σ [(2n+1)/(3n)]ⁿ

|a_n|^1/n = (2n+1)/(3n)

L = lim (2n+1)/(3n) = 2/3 < 1 ⇒ KONVERGEN

5. Uji Integral

Teorema 10.5.5 (Purcell): Integral Test

Misalkan f kontinu, positif, dan turun monoton pada [1, ∞), dan a_n = f(n). Maka:

Σ_n=1^∞ a_n konvergen ⇔ ∫₁^∞ f(x) dx konvergen

Penting: Jumlah deret TIDAK sama dengan nilai integral, tetapi keduanya konvergen/divergen bersamaan.

Visualisasi: Hubungan Integral ↔ Deret

Luas persegi panjang = Σf(n). Luas di bawah kurva = ∫f(x)dx. Keduanya konvergen/divergen bersamaan.

6. Deret Berganti Tanda (Alternating Series)

Teorema 10.6.1 (Purcell): Alternating Series Test (Leibniz)

Deret berganti tanda Σ(−1)ⁿ⁺¹ a_n (dimana a_n > 0) konvergen jika:

1. a_n+1 ≤ a_n (monoton turun)

2. lim_n→∞ a_n = 0

Contoh: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … = ln 2 (konvergen bersyarat).

7. Konvergensi Absolut vs Bersyarat

Definisi: Konvergensi Absolut

Σa_n konvergen absolut jika Σ|a_n| konvergen.

Contoh: Σ(−1)ⁿ/n² konvergen absolut karena Σ1/n² konvergen.

Definisi: Konvergensi Bersyarat

Σa_n konvergen bersyarat jika Σa_n konvergen tetapi Σ|a_n| divergen.

Contoh: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n konvergen bersyarat.

Teorema 10.6.2: Konvergensi Absolut ⇒ Konvergensi

Jika Σ|a_n| konvergen, maka Σa_n konvergen.

Kebalikannya SALAH (lihat deret harmonik berganti tanda di atas).

8. Diagram Keputusan: Uji Mana yang Dipakai?

Animasi: alur keputusan akan menyala bergiliran (uji divergensi → uji rasio → hasil) untuk membantu mengingat urutan.

9. Alat Interaktif: Terapkan Uji Konvergensi

Deret:

Uji:

Cobalah menerapkan berbagai uji pada deret yang sama. Perhatikan uji mana yang efektif dan mana yang inconclusive!

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Uji Rasio

Tentukan konvergensi Σ_n=1^∞ n³/3ⁿ

Soal 2: Uji Perbandingan Limit

Tentukan konvergensi Σ_n=1^∞ 1/√(n³+1)

Soal 3: Uji Integral

Tentukan konvergensi Σ_n=2^∞ 1/(n ln n)

Soal 4: Deret Berganti Tanda

Tentukan konvergensi Σ_n=1^∞ (−1)ⁿ⁺¹ n/(n²+1)

Soal 5: Uji Akar

Tentukan konvergensi Σ_n=1^∞ (n/(2n+1))ⁿ

Soal 6: Strategi Pemilihan Uji

Tentukan konvergensi Σ_n=1^∞ (2n)!/(n!)²

← P8: Deret Tak Hingga P10: Deret Pangkat →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 10.5–10.6. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 11.4–11.6.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Referensi: Purcell 9e Bab 10.5–10.6 · Stewart 9e Bab 11.4–11.6

Mudah — Aplikasi Uji Langsung

Gunakan uji rasio pada Σ n/3ⁿ

Gunakan uji integral pada Σ 1/(n·ln n), n≥2

Uji p-series: apakah Σ 1/n^(3/2) konvergen?

Uji divergence test pada Σ n/(n+1)

Sedang — Pilihan Uji yang Tepat

Bandingkan Σ (sin n)/n² dengan Σ 1/n²

Uji akar pada Σ (n/(n+1))^(n²)

Uji Leibniz pada Σ (−1)ⁿ/(ln n), n ≥ 2

Terapkan uji perbandingan limit: Σ (3n²+2n)/(n⁴+5)

Sulit — Bukti & Analisis Mendalam + Visualisasi

Tentukan konvergensi Σ n!/(nⁿ) dan estimasi jumlah parsial S₅

Buktikan Σ 1/nᵖ konvergen ⟺ p > 1 (uji integral)

Kondisional vs absolut: Σ (−1)ⁿ/√n

Buktikan Σ 1/p atas semua prima p divergen (keterkaitan dengan Euler product)

Mixed / Aplikasi — Error Numerik & Kompleksitas

Error estimasi Σ (−1)ⁿ/(n!): berapa suku untuk akurasi 10⁻⁶?

Analisis kompleksitas: T(n) = Σₖ₌₁ⁿ k/2ᵏ. Cari batas atas tight.

Konvergensi numerik Newton–Raphson: error eₙ₊₁ ≈ C·eₙ². Jika e₀=0.1, berapa suku untuk e < 10⁻¹²?