Kalkulus 2 — Pertemuan 3

Integral Fungsi Trigonometri

Strategi integrasi sinᵐx cosⁿx berdasarkan paritas m dan n, reduction formulas, dan integral tan/sec.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 7.3. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 7.2.

1. Identitas Trigonometri Kunci

Identitas Penting untuk Integrasi Trigonometri

Pythagoras:

sin²x + cos²x = 1

1 + tan²x = sec²x

1 + cot²x = csc²x

Setengah Sudut (Half-Angle):

sin²x = (1 − cos 2x)/2

cos²x = (1 + cos 2x)/2

Sudut Ganda (Double-Angle):

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x

Produk-ke-Jumlah:

sin A cos B = ½[sin(A+B) + sin(A−B)]

sin A sin B = ½[cos(A−B) − cos(A+B)]

cos A cos B = ½[cos(A−B) + cos(A+B)]

Diagram Hubungan Identitas Trigonometri

2. Integral ∫ sinᵐx cosⁿx dx

Teorema 7.3.1: Strategi untuk ∫ sinᵐx cosⁿx dx (Purcell)

Kasus 1: m ganjil (m = 2k+1)

Pisahkan satu sin x. Ubah sin²ˣ = 1 − cos²x. Substitusi u = cos x.

∫ sin²ᵏ⁺¹x cosⁿx dx = ∫ (1−cos²x)ᵏ cosⁿx (−du), u = cos x

Kasus 2: n ganjil (n = 2k+1)

Pisahkan satu cos x. Ubah cos²x = 1 − sin²x. Substitusi u = sin x.

∫ sinᵐx cos²ᵏ⁺¹x dx = ∫ sinᵐx (1−sin²x)ᵏ du, u = sin x

Kasus 3: m dan n keduanya genap

Gunakan identitas setengah sudut berulang kali:

sin²x = (1−cos 2x)/2, cos²x = (1+cos 2x)/2

Interaktif: Strategi ∫ sinᵐx cosⁿx dx

m =

n =

∫ sin²x · cos³x dx

Kasus: n ganjil

Pisahkan satu cos x, ubah cos²x = 1 − sin²x, lalu substitusi u = sin x, du = cos x dx.

3. Integral ∫ sinⁿx dx dan ∫ cosⁿx dx

Teorema 7.3.2: Reduction Formula untuk sinⁿx (Purcell)

∫ sinⁿx dx = −(1/n) sinⁿ⁻¹x cos x + (n−1)/n ∫ sinⁿ⁻²x dx

Bukti: Tulis sinⁿx = sinⁿ⁻¹x · sin x. Integral parsial: u = sinⁿ⁻¹x, dv = sin x dx. Kemudian gunakan sin²x = 1 − cos²x dan selesaikan secara aljabar. ∎

Teorema 7.3.3: Reduction Formula untuk cosⁿx (Purcell)

∫ cosⁿx dx = (1/n) cosⁿ⁻¹x sin x + (n−1)/n ∫ cosⁿ⁻²x dx

Worked Example: n Ganjil — ∫ sin³x dx

∫ sin³x dx = ∫ sin²x · sin x dx

= ∫ (1 − cos²x) sin x dx

u = cos x, du = −sin x dx:

= −∫ (1 − u²) du = −u + u³/3 + C

= −cos x + cos³x/3 + C

Worked Example: n Genap — ∫ sin⁴x dx

∫ sin⁴x dx = ∫ (sin²x)² dx = ∫ [(1−cos 2x)/2]² dx

= (1/4) ∫ (1 − 2cos 2x + cos²2x) dx

= (1/4) ∫ [1 − 2cos 2x + (1+cos 4x)/2] dx

= (1/4) ∫ [3/2 − 2cos 2x + cos 4x/2] dx

= 3x/8 − sin 2x/4 + sin 4x/32 + C

4. Integral ∫ tanⁿx dx dan ∫ secⁿx dx

Teorema 7.3.4: Reduction Formula untuk tanⁿx

∫ tanⁿx dx = tanⁿ⁻¹x/(n−1) − ∫ tanⁿ⁻²x dx, n ≥ 2

Derivasi: Tulis tanⁿx = tanⁿ⁻²x · tan²x = tanⁿ⁻²x · (sec²x − 1). Maka: ∫ tanⁿ⁻²x sec²x dx − ∫ tanⁿ⁻²x dx. Integral pertama: u = tan x → u^(n-1)/(n-1). ∎

Teorema 7.3.5: Reduction Formula untuk secⁿx

∫ secⁿx dx = secⁿ⁻²x tan x/(n−1) + (n−2)/(n−1) ∫ secⁿ⁻²x dx, n ≥ 2

Integral Dasar tan dan sec (Referensi)

∫ tan x dx = ln|sec x| + C

∫ sec x dx = ln|sec x + tan x| + C

∫ tan²x dx = tan x − x + C

∫ sec²x dx = tan x + C

∫ sec³x dx = (1/2)[sec x tan x + ln|sec x + tan x|] + C

5. Strategi ∫ tanᵐx secⁿx dx

Panduan Strategi

n genap: Pisahkan sec²x (untuk dv). Ubah sec²x = 1+tan²x. Substitusi u = tan x.

m ganjil: Pisahkan sec x tan x (untuk dv). Ubah tan²x = sec²x−1. Substitusi u = sec x.

m genap, n ganjil: Ubah tan²x = sec²x−1 berulang kali, lalu gunakan reduction formula sec.

Interaktif: Reduction Formula

Tipe:

n =

∫ sin⁴x dx = −(1/4) sin³x cos x + 3/4 ∫ sin²x dx

Terapkan formula secara rekursif sampai pangkat menjadi 0 atau 1.

6. Integral Produk sin(mx)cos(nx), sin(mx)sin(nx), cos(mx)cos(nx)

Teorema 7.3.6: Produk ke Jumlah (Purcell)

Untuk integral yang mengandung sin(mx)cos(nx), sin(mx)sin(nx), atau cos(mx)cos(nx) dengan m ≠ n, gunakan identitas produk-ke-jumlah:

∫ sin(mx)cos(nx) dx: gunakan sin A cos B = ½[sin(A+B) + sin(A−B)]

∫ sin(mx)sin(nx) dx: gunakan sin A sin B = ½[cos(A−B) − cos(A+B)]

∫ cos(mx)cos(nx) dx: gunakan cos A cos B = ½[cos(A−B) + cos(A+B)]

Tabel Strategi Lengkap ∫ sinᵐx cosⁿx dx

Bonus: Wallis' Integrals (Integral Tentu)

Untuk integral tentu ∫₀^(π/2) sinⁿx dx = ∫₀^(π/2) cosⁿx dx:

n genap: [(n-1)(n-3)···1] / [n(n-2)···2] · π/2

n ganjil: [(n-1)(n-3)···2] / [n(n-2)···3] · 1

Contoh: ∫₀^(π/2) sin⁶x dx = (5·3·1)/(6·4·2) · π/2 = 5π/32.

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: m ganjil

Hitung ∫ sin⁵x cos²x dx

Soal 2: Keduanya genap

Hitung ∫ sin²x cos²x dx

Soal 3: Reduction formula tan

Hitung ∫ tan⁴x dx

Soal 4: ∫ sec⁴x dx

Hitung ∫ sec⁴x dx

Soal 5: Produk ke jumlah

Hitung ∫ sin 3x cos 5x dx

Soal 6: ∫ cos⁶x dx

Hitung ∫ cos⁶x dx (semua genap)

← P2: Integral Parsial P4: Substitusi Trigonometri →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 7.3. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 7.2.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Referensi: Purcell 9e Bab 7.3 · Stewart 9e Bab 7.2 — Integrasi Parsial (By Parts)

Mudah — Identifikasi LIATE Langsung

Hitung ∫ sin²x dx menggunakan half-angle identity

Hitung ∫ cos²x dx

Hitung ∫ sin x·cos x dx (dua cara)

Hitung ∫ tan x dx

Sedang — LIATE + Teknik Lanjut

Hitung ∫ sin³x dx

Hitung ∫ sin²x·cos³x dx

Hitung ∫ tan²x dx

Hitung ∫ sin x·cos(2x) dx menggunakan product-to-sum

Sulit — Multi-Step + Identitas Integral + Visualisasi

Hitung ∫ sin⁴x dx dengan formula reduksi

Hitung ∫ sin⁵x dx dengan teknik odd power

Hitung ∫₀^(π/2) sin⁶x dx menggunakan Wallis formula

Hitung ∫ sec⁴x·tan x dx

Mixed / Aplikasi Terpadu

Panjang busur y = ln(cos x) dari x=0 ke x=π/4 (arc length)

Luas satu lengkungan (arch) kurva y = sin²x dari x=0 ke x=π

Kerja (work) mendorong benda dengan F(x) = sin²(πx) N dari 0 ke 2 m