Kalkulus 2 — Pertemuan 4
Substitusi Trigonometri
Tiga kasus substitusi trigonometri untuk integral yang mengandung √(a²−x²), √(a²+x²), dan √(x²−a²), lengkap dengan segitiga referensi.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 7.4. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 7.3.
1. Motivasi: Mengapa Substitusi Trigonometri?
Banyak integral mengandung ekspresi √(a²−x²), √(a²+x²), atau √(x²−a²) yang tidak bisa diselesaikan dengan u-substitution biasa. Kuncinya: identitas Pythagoras!
sin²θ + cos²θ = 1 → 1 − sin²θ = cos²θ
1 + tan²θ = sec²θ
sec²θ − 1 = tan²θ
Dengan substitusi yang tepat, ekspresi akar berubah menjadi fungsi trigonometri biasa.
2. Kasus 1: √(a²−x²) — Substitusi x = a sin θ
Teorema 7.4.1: Substitusi untuk √(a²−x²)
Jika integran mengandung √(a²−x²), gunakan substitusi:
x = a sin θ, dx = a cos θ dθ, −π/2 ≤ θ ≤ π/2
√(a²−x²) = √(a²−a²sin²θ) = a√(1−sin²θ) = a cos θ
Segitiga Referensi: Kasus 1
Worked Example: ∫ √(4−x²) dx
a = 2. Substitusi: x = 2 sin θ, dx = 2 cos θ dθ
√(4−x²) = √(4−4sin²θ) = 2 cos θ
∫ 2 cos θ · 2 cos θ dθ = 4 ∫ cos²θ dθ
= 4 · (1/2)(θ + sin θ cos θ) + C
= 2θ + 2 sin θ cos θ + C
Kembali ke x: sin θ = x/2, θ = arcsin(x/2), cos θ = √(4−x²)/2
= 2 arcsin(x/2) + x√(4−x²)/2 + C
3. Kasus 2: √(a²+x²) — Substitusi x = a tan θ
Teorema 7.4.2: Substitusi untuk √(a²+x²)
x = a tan θ, dx = a sec²θ dθ, −π/2 < θ < π/2
√(a²+x²) = √(a²+a²tan²θ) = a√(1+tan²θ) = a sec θ
Segitiga Referensi: Kasus 2
Worked Example: ∫ dx/√(x²+9)
a = 3. Substitusi: x = 3 tan θ, dx = 3 sec²θ dθ
√(x²+9) = √(9tan²θ+9) = 3 sec θ
∫ 3sec²θ dθ / (3 sec θ) = ∫ sec θ dθ
= ln|sec θ + tan θ| + C
Kembali ke x: tan θ = x/3, sec θ = √(x²+9)/3
= ln|√(x²+9)/3 + x/3| + C = ln|√(x²+9) + x| + C₁
4. Kasus 3: √(x²−a²) — Substitusi x = a sec θ
Teorema 7.4.3: Substitusi untuk √(x²−a²)
x = a sec θ, dx = a sec θ tan θ dθ
0 ≤ θ < π/2 (jika x > a) atau π/2 < θ ≤ π (jika x < −a)
√(x²−a²) = √(a²sec²θ−a²) = a√(sec²θ−1) = a|tan θ|
Segitiga Referensi: Kasus 3
Worked Example: ∫ √(x²−25)/x dx
a = 5. Substitusi: x = 5 sec θ, dx = 5 sec θ tan θ dθ
√(x²−25) = √(25sec²θ−25) = 5 tan θ
∫ (5 tan θ)(5 sec θ tan θ dθ) / (5 sec θ) = 5 ∫ tan²θ dθ
= 5 ∫ (sec²θ − 1) dθ = 5(tan θ − θ) + C
Kembali ke x: sec θ = x/5, tan θ = √(x²−25)/5, θ = arcsec(x/5)
= √(x²−25) − 5 arcsec(x/5) + C
5. Ringkasan Tiga Kasus
Tabel Ringkasan Substitusi Trigonometri
| Ekspresi | Substitusi | Identitas | Hasil |
|---|---|---|---|
| √(a²−x²) | x = a sin θ | 1−sin²θ = cos²θ | a cos θ |
| √(a²+x²) | x = a tan θ | 1+tan²θ = sec²θ | a sec θ |
| √(x²−a²) | x = a sec θ | sec²θ−1 = tan²θ | a|tan θ| |
Peringatan
Setelah mengintegralkan dalam variabel θ, selalu kembalikan ke variabel x menggunakan segitiga referensi. Gambar segitiganya! Ini adalah langkah yang paling sering dilupakan mahasiswa.
Interaktif: Identifikasi Substitusi yang Tepat
Masukkan ekspresi
Substitusi: Contoh: a2-x2, x2+1, x2-9
dx: —
Hasil: —
6. Kapan Substitusi Trigonometri vs Metode Lain?
Gunakan Substitusi Trigonometri
Ketika integran mengandung √(a²−x²), √(a²+x²), atau √(x²−a²) dan u-substitusi biasa tidak bisa menghilangkan akar.
Gunakan u-Substitusi Biasa
Ketika turunan dari ekspresi dalam akar muncul sebagai faktor lain. Contoh: ∫ x√(x²+1) dx → u = x²+1 cukup.
Completing the Square Dulu
Jika ekspresi kuadrat tidak dalam bentuk standar, lengkapkan kuadrat sempurna dulu. Contoh: √(x²+4x+5) = √((x+2)²+1).
7. Completing the Square sebelum Substitusi Trig
Teorema 7.4.4: Completing the Square (Purcell)
Jika integran mengandung ax² + bx + c (bukan bentuk standar), lengkapkan kuadrat sempurna dulu:
ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a²]
Kemudian substitusi t = x + b/2a untuk mendapatkan bentuk t² ± k².
Worked Example: ∫ dx/√(x² + 6x + 13)
Langkah 1: Completing the square
x² + 6x + 13 = (x + 3)² + 4
Langkah 2: Substitusi t = x + 3
∫ dt/√(t² + 4). Kasus 2: a = 2, t = 2 tan θ
= ∫ 2sec²θ dθ / (2secθ) = ∫ secθ dθ = ln|secθ + tanθ| + C
Kembali ke x: tanθ = t/2 = (x+3)/2, secθ = √(t²+4)/2
= ln|√(x²+6x+13) + x + 3| + C₁
Perbandingan Tiga Segitiga Referensi
Selalu gambar segitiga referensi saat kembali ke variabel x!
Catatan Lanjut: Substitusi Hiperbolik (Alternatif)
√(a²+x²): x = a sinh t, √(a²+x²) = a cosh t
√(x²−a²): x = a cosh t, √(x²−a²) = a sinh t
Substitusi hiperbolik kadang lebih sederhana karena tidak perlu kembali ke variabel melalui segitiga.
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Kasus 1
Hitung ∫ x²/√(9−x²) dx
Soal 2: Kasus 2
Hitung ∫ dx/(x²+4)^(3/2)
Soal 3: Kasus 3
Hitung ∫ dx/(x²√(x²−1))
Soal 4: Completing the Square + Trig Sub
Hitung ∫ dx/√(x²+4x+8)
Soal 5: Integral Tentu
Hitung ∫₀² √(4−x²) dx
Soal 6: Kasus tanpa akar eksplisit
Hitung ∫ dx/(x²+1)²
CS Connection
Elliptic Integrals: Integral yang melibatkan √(polinomial derajat 3-4) tidak punya closed form → menggunakan teknik substitusi trig sebagai building block.
Computer Algebra: CAS seperti Mathematica menggunakan Risch algorithm yang secara otomatis menentukan substitusi optimal — termasuk substitusi trigonometri.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Referensi: Purcell 9e Bab 7.4 · Stewart 9e Bab 7.3 — Substitusi Trigonometri
Mudah — Kenali Bentuk dan Substitusi Baku
Hitung ∫ dx/√(1−x²) dengan substitusi x = sin θ
Hitung ∫ dx/(1+x²)
Hitung ∫ dx/(x√(x²−1)), x>1
Hitung ∫ √(4−x²) dx
Sedang — Substitusi + Simplifikasi Trigonometri
Hitung ∫ x²/√(4−x²) dx
Hitung ∫ dx/(x²√(1+x²))
Hitung ∫₀² x³/√(16−x²) dx (definite)
Hitung ∫ dx/(x²+2x+5) dengan complete the square
Sulit — Geometric Triangle + Visualisasi
Hitung ∫ x²/√(x²+9) dx — gambar segitiga trig
Hitung ∫ dx/(x²−4)^(3/2) — sisi x > 2, x = 2 sec θ
Hitung ∫ √(x²−16)/x dx, x > 4
Hitung ∫₀^2 √(4+x²) dx (panjang busur parabola)
Mixed / Aplikasi Terpadu
Luas setengah lingkaran r=3: A = ∫₋₃³ √(9−x²) dx — verifikasi dengan sub trig
Kerja memompa air dari tangki hemisphere radius R (pakai sub trig)
Panjang busur ellips x=3cos t, y=2sin t sekitar (perkiraan, sub numerik)