Kalkulus 2 — Pertemuan 8

Deret Tak Hingga

Infinite Series — definisi deret, konvergensi, deret geometri, deret harmonik, sifat aljabar deret, dan syarat perlu divergensi.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 10.2–10.4. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 11.2–11.3.

1. Definisi Deret Tak Hingga

Definisi 10.2.1 (Purcell): Deret Tak Hingga

Diberikan barisan {a_n}. Deret tak hingga adalah jumlah formal:

Σ_n=1^∞ a_n = a₁ + a₂ + a₃ + …

Barisan jumlah parsial (partial sums):

S_N = Σ_n=1^N a_n = a₁ + a₂ + … + a_N

Deret konvergen jika lim_N→∞ S_N = S (suatu bilangan riil finite). Nilai S disebut jumlah deret. Jika limit tidak ada atau tidak finite, deret divergen.

Contoh Motivasi: Paradoks Zeno

Untuk berjalan 1 meter, Anda harus melewati 1/2, lalu 1/4, lalu 1/8, dst. Total jarak:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = Σ_n=1^∞ (1/2)ⁿ

Jumlah parsial: S₁=0.5, S₂=0.75, S₃=0.875, S₄=0.9375, … mendekati 1.

Jadi Σ(1/2)ⁿ = 1. Perjalanan selesai! Paradoks terselesaikan oleh konsep limit.

2. Deret Geometri

Teorema 10.2.2 (Purcell): Deret Geometri

Deret geometri Σ_n=0^∞ arⁿ = a + ar + ar² + ar³ + … memiliki sifat:

Σ_n=0^∞ arⁿ = a / (1 − r), jika |r| < 1

Konvergen: |r| < 1 ⇒ jumlah = a/(1−r)

Divergen: |r| ≥ 1 ⇒ jumlah parsial S_N tidak memiliki limit finite

Bukti: S_N = a(1 − r^N)/(1 − r). Jika |r|<1 maka r^N→0, sehingga S_N→a/(1−r).

Contoh Deret Geometri

Σ_n=0^∞ (1/2)ⁿ = 1/(1−1/2) = 2

a = 1, r = 1/2. |r| = 0.5 < 1 ⇒ konvergen.

Σ_n=0^∞ 3(−1/3)ⁿ = 3/(1−(−1/3)) = 3/(4/3) = 9/4

a = 3, r = −1/3. |r| = 1/3 < 1 ⇒ konvergen.

0.999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … = (9/10)/(1−1/10) = 1

Bukti formal bahwa 0.999... = 1 menggunakan deret geometri!

Visualisasi: Jumlah Parsial Deret Geometri (r = 1/2)

ⁿ: SN → 2 saat N → ∞

3. Deret Harmonik

Teorema 10.3.1 (Purcell): Deret Harmonik DIVERGEN

Σ_n=1^∞ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = ∞

Bukti (Oresme, ~1350): Kelompokkan suku-suku:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + …

≥ 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + …

= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + … = ∞

Meskipun suku-sukunya 1/n → 0, deret tetap DIVERGEN. Ini contoh penting bahwa lim a_n = 0 TIDAK cukup menjamin konvergensi.

Deret-p (p-Series)

Teorema 10.3.2: Deret-p

Σ_n=1^∞ 1/n^p konvergen jika p > 1, divergen jika p ≤ 1

• p = 1: deret harmonik → DIVERGEN

• p = 2: Σ1/n² = π²/6 → KONVERGEN (Euler, 1735)

• p = 3: Σ1/n³ ≈ 1.202 (konstanta Apery) → KONVERGEN

• p = 1/2: Σ1/√n → DIVERGEN

4. Sifat Aljabar Deret

Teorema 10.2.3 (Purcell): Linearitas Deret

Jika Σa_n = A dan Σb_n = B (keduanya konvergen), maka:

1. Penjumlahan: Σ(a_n + b_n) = A + B

2. Pengurangan: Σ(a_n − b_n) = A − B

3. Perkalian skalar: Σ(c · a_n) = c · A (c konstanta)

Peringatan: Σ(a_n · b_n) ≠ A · B pada umumnya! Perkalian deret memerlukan konvolusi Cauchy.

Contoh Penerapan Sifat Aljabar

Σ_n=0^∞ [3(1/2)ⁿ + 2(1/3)ⁿ]

= 3 · Σ(1/2)ⁿ + 2 · Σ(1/3)ⁿ

= 3 · 1/(1−1/2) + 2 · 1/(1−1/3)

= 3 · 2 + 2 · 3/2 = 6 + 3 = 9

5. Syarat Perlu Divergensi (The Divergence Test)

Teorema 10.2.4 (Purcell): Syarat Perlu Konvergensi

Jika Σa_n konvergen, maka lim_n→∞ a_n = 0

Ekuivalen (kontraposisi): Jika lim a_n ≠ 0 (atau tidak ada), maka Σa_n divergen.

PERINGATAN KRITIS: Kebalikannya SALAH!

SALAH: "Jika lim a_n = 0, maka Σa_n konvergen" — INI SALAH!

Contoh kontra: Deret harmonik Σ1/n memiliki lim(1/n) = 0, tetapi DIVERGEN.

Ini adalah salah satu kesalahan paling umum dalam matematika. lim a_n = 0 adalah syarat perlu tetapi BUKAN syarat cukup untuk konvergensi.

Diagram: Uji Divergensi

6. Deret Teleskopik

Deret teleskopik memiliki suku-suku yang saling menghapus (cancellation):

Σ_n=1^∞ 1/(n(n+1)) = Σ_n=1^∞ [1/n − 1/(n+1)]

S_N = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/N − 1/(N+1))

= 1 − 1/(N+1) → 1 saat N → ∞

Teknik: gunakan pecahan parsial untuk mengubah suku menjadi selisih (telescoping form).

7. Eksplorasi Interaktif: Jumlah Parsial

Kalkulator Jumlah Parsial

Deret:

r =0.50

N =10

S₁₀ = 1.99804688

Limit teoritis: 2.000000

Beberapa jumlah parsial terakhir:

S₆ = 1.96875 (a₆ = 0.03125)

S₇ = 1.984375 (a₇ = 0.015625)

S₈ = 1.9921875 (a₈ = 0.0078125)

S₉ = 1.99609375 (a₉ = 0.00390625)

S₁₀ = 1.99804688 (a₁₀ = 0.00195313)

Amati: Untuk deret geometri dengan |r|<1, S_N konvergen cepat. Deret harmonik tumbuh sangat lambat tapi tanpa batas. Deret 1/n² konvergen ke π²/6 ≈ 1.6449.

8. Preview: Uji Konvergensi Cepat

Tipe deret:

r =

|r| = 0.5 < 1 → KONVERGEN, jumlah = 2.0000

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Deret Geometri

Tentukan jumlah deret Σ_n=1^∞ 5/4ⁿ

Soal 2: Uji Divergensi

Tentukan konvergensi Σ_n=1^∞ n²/(2n² + 1)

Soal 3: Deret Teleskopik

Hitung Σ_n=1^∞ 1/(n² + 3n + 2)

Soal 4: Repeating Decimal

Nyatakan 0.272727... sebagai pecahan menggunakan deret geometri.

Soal 5: Bukti Syarat Perlu

Buktikan bahwa jika Σa_n konvergen, maka lim a_n = 0.

Soal 6: Deret Geometri dengan Parameter

Untuk nilai x apa deret Σ_n=0^∞ (x−3)ⁿ/2ⁿ konvergen? Hitung jumlahnya.

← P7: Integral Improper P9: Tes Konvergensi →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 10.2–10.4. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 11.2–11.3.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Referensi: Purcell 9e Bab 10.2–10.4 · Stewart 9e Bab 11.2–11.3

Mudah — Deret Geometri & Teleskop

Hitung jumlah deret geometri: Σ (2/3)ⁿ, n dari 0 ke ∞

Apakah Σ 1/√n divergen?

Tentukan apakah Σ (−1)ⁿ/(n+1) konvergen

Hitung Σₙ₌₁^∞ 1/(n(n+1)) menggunakan partial fractions

Sedang — Uji Konvergensi Kombinasi

Tentukan apakah Σ n/(2ⁿ) konvergen dan cari jumlahnya

Konvergensi Σ (n!)²/(2n)!

Jumlahkan Σₙ₌₁^∞ 3/((2n−1)(2n+1))

Apakah Σ (ln n)/n² konvergen?

Sulit — Bukti & Jumlah Eksplisit + Visualisasi

Tunjukkan Σ 1/n (harmonik) divergen menggunakan grouping Cauchy

Buktikan Σ aₙ konvergen ⟹ lim aₙ = 0 (Necessary condition)

Hitung Σₙ₌₁^∞ n²/2ⁿ

Buktikan deret Σ (−1)ⁿ⁺¹/n = ln 2 menggunakan Taylor

Mixed / Aplikasi — Kriptografi & Komputasi

Dalam kriptografi, probabilitas tertentu dinyatakan p = Σₙ₌₀^∞ (1/2)ⁿ · cₙ. Jika cₙ = 1 untuk semua n, berapa p?

Amortized analysis: total cost Σₙ₌₁^N cₙ dimana cₙ = 2ⁿ jika n kali lipat 2, else 1. Tunjukkan rata-rata O(1).

Bunga majemuk kontinu: nilai akhir = P·Σₙ₌₀^∞ (r/n!)ⁿ. Identifikasi deret ini.