Kalkulus 2 — Pertemuan 10
Deret Pangkat
Power Series — definisi, radius konvergensi, interval konvergensi, dan operasi pada deret pangkat.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 10.7. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 11.8–11.9.
1. Definisi Deret Pangkat
Definisi 10.7.1 (Purcell): Deret Pangkat
Deret pangkat berpusat di a adalah deret berbentuk:
dimana c0, c1, c2, … adalah koefisien (konstanta) dan a adalah pusat deret.
Jika a = 0: Σcnxn = c0 + c1x + c2x² + …
Contoh Deret Pangkat yang Familiar
Deret geometri: Σn=0∞ xn = 1/(1−x), |x| < 1
cn = 1, a = 0, R = 1
ex = Σn=0∞ xn/n!, untuk semua x
cn = 1/n!, a = 0, R = ∞
ln(1+x) = Σn=1∞ (−1)n+1 xn/n, −1 < x ≤ 1
cn = (−1)n+1/n, a = 0, R = 1
2. Radius Konvergensi
Teorema 10.7.2 (Purcell): Radius Konvergensi
Untuk setiap deret pangkat Σcn(x−a)n, tepat satu dari tiga kemungkinan terjadi:
1. Deret hanya konvergen di x = a (R = 0)
2. Deret konvergen untuk semua x (R = ∞)
3. Ada bilangan positif R sehingga deret konvergen jika |x−a| < R dan divergen jika |x−a| > R
Bilangan R disebut radius konvergensi. Di titik |x−a| = R (endpoints), perlu diperiksa secara terpisah.
Visualisasi: Interval Konvergensi
3. Menentukan Radius Konvergensi
Teorema 10.7.3 (Purcell): Rumus Radius Konvergensi
Gunakan uji rasio pada deret pangkat. Jika limit berikut ada:
Alternatif (uji akar):
Cara kerja: Terapkan ratio test: |an+1/an| = |cn+1/cn| · |x−a| < 1 ⇒ |x−a| < |cn/cn+1| = R.
Langkah Menentukan Interval Konvergensi
Hitung R = lim |cn/cn+1| menggunakan uji rasio.
Interval terbuka: (a − R, a + R). Deret pasti konvergen di interior ini.
Periksa endpoint x = a − R dan x = a + R secara terpisah! Substitusi ke deret dan gunakan uji konvergensi (perbandingan, berganti tanda, dll.).
Tulis interval lengkap: bisa (a−R, a+R), [a−R, a+R), (a−R, a+R], atau [a−R, a+R].
4. Operasi pada Deret Pangkat
Teorema 10.7.4 (Purcell): Diferensiasi & Integrasi Deret Pangkat
Jika f(x) = Σcn(x−a)n dengan radius R > 0, maka di interval (a−R, a+R):
Turunan (suku per suku):
f'(x) = Σn=1∞ n · cn(x−a)n−1
Integral (suku per suku):
∫ f(x)dx = C + Σn=0∞ cn(x−a)n+1/(n+1)
Penting: Radius konvergensi tetap R setelah diferensiasi/integrasi, tetapi konvergensi di endpoint bisa berubah!
Teorema 10.7.5: Penjumlahan & Perkalian
Penjumlahan: Σanxn + Σbnxn = Σ(an+bn)xn, R = min(R1, R2)
Perkalian (Cauchy): (Σanxn)(Σbnxn) = Σdnxn dimana dn = Σk=0n akbn−k
Substitusi: Jika Σcnun konvergen untuk |u| < R, maka Σcn[g(x)]n konvergen saat |g(x)| < R.
Contoh Operasi Deret Pangkat
Diferensiasi: Turunkan 1/(1−x) = Σxn
1/(1−x)² = Σn=1∞ n xn−1 = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + …
Integrasi: Integralkan 1/(1+x) = Σ(−1)nxn
ln(1+x) = C + Σn=0∞ (−1)nxn+1/(n+1)
= Σn=1∞ (−1)n+1xn/n (karena ln(1+0) = 0 ⇒ C = 0)
Substitusi: Dari eu = Σun/n!, ganti u = −x²
e−x² = Σ(−1)nx2n/n! = 1 − x² + x4/2! − …
5. Eksplorasi Interaktif: Radius & Interval
Cari R dan Interval Konvergensi
Radius: R = 1
Interval: (-1, 1)
R = lim |cₙ/cₙ₊₁| = lim (n+1)/n = 1. Periksa endpoint secara terpisah.
Periksa Endpoint:
6. Keunikan Representasi Deret Pangkat
Teorema 10.7.6: Keunikan
Jika Σan(x−c)n = Σbn(x−c)n untuk semua x dalam interval berpusat di c, maka an = bn untuk semua n.
Artinya: representasi deret pangkat suatu fungsi di sekitar titik tertentu adalah unik. Ini menjamin deret Taylor adalah satu-satunya representasi.
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Radius & Interval
Tentukan radius dan interval konvergensi Σn=1∞ xn/n
Soal 2: Deret Berpusat di a ≠ 0
Tentukan R dan interval untuk Σn=0∞ (x−3)n/(n+1)2n
Soal 3: Diferensiasi Deret
Gunakan 1/(1−x) = Σxn untuk menemukan representasi deret pangkat dari 1/(1−x)³.
Soal 4: Integrasi Deret
Ekspresikan arctan(x) sebagai deret pangkat.
Soal 5: Radius Nol & Tak Hingga
Tentukan R untuk: (a) Σn!xn dan (b) Σxn/n!
Soal 6: Aplikasi Substitusi
Tentukan deret pangkat untuk ∫0x e−t² dt (fungsi error).
7. Representasi Fungsi melalui Deret Pangkat
Tabel Deret Pangkat Penting
| Fungsi | Deret Pangkat | R |
|---|---|---|
| 1/(1−x) | Σxn | 1 |
| ex | Σxn/n! | ∞ |
| ln(1+x) | Σ(−1)n+1xn/n | 1 |
| arctan(x) | Σ(−1)nx2n+1/(2n+1) | 1 |
| (1+x)k | ΣC(k,n)xn (binomial) | 1 |
Empat Kemungkinan Interval Konvergensi
Lingkaran penuh = endpoint termasuk (konvergen). Lingkaran kosong = tidak termasuk (divergen).
CS Connection
Generating Functions: Deret pangkat Σanxn merepresentasikan barisan {an}. Operasi pada deret = operasi pada barisan → memecahkan recurrence (Fibonacci, Catalan).
Formal Power Series: Dalam algebra komputer (CAS), deret pangkat dimanipulasi secara simbolik tanpa memperhatikan konvergensi.
Analytic Combinatorics: Radius konvergensi R berhubungan dengan growth rate koefisien: an ~ C · (1/R)n. Ini menentukan kompleksitas algoritma.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Referensi: Purcell 9e Bab 10.7 · Stewart 9e Bab 11.8–11.9
Mudah — Radius & Interval Konvergensi
Cari radius konvergensi Σ xⁿ/n
Cari radius konvergensi Σ n!·xⁿ
Tentukan interval konvergensi Σ xⁿ/2ⁿ
Diferensiasi deret: jika f(x) = Σ xⁿ/n!, cari f'(x)
Sedang — Operasi pada Deret Pangkat
Cari deret pangkat untuk 1/(1+x²) dan tentukan R
Gunakan deret Σ xⁿ/n untuk cari ekspansi ln(1/(1−x))
Cari radius konvergensi Σ (2n)!/(n!)² · xⁿ
Integrasikan deret untuk mendapat arctan x = Σ (−1)ⁿ x^(2n+1)/(2n+1)
Sulit — Teorema & Aplikasi Mendalam + Visualisasi
Buktikan bahwa deret pangkat differentiable term-by-term dalam (a−R, a+R)
Cari representasi deret pangkat untuk f(x) = x/(1−x)² dan jumlahkan Σ n·(1/2)ⁿ
Tunjukkan Σ xⁿ/n² konvergen untuk |x| ≤ 1 termasuk endpoint
Differentiate the geometric series to prove Σ n·xⁿ⁻¹ = 1/(1−x)²
Mixed / Aplikasi — Fibonacci, Komputasi π, Hash
Generating function Fibonacci: F(x) = Σ Fₙ xⁿ = x/(1−x−x²). Cari R.
Komputasi π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ... Berapa suku untuk π/4 ± 0.001?
Hash function analysis: ekspansi 1/(1−p) = Σ pⁿ untuk collision probability p ∈ (0,1)