Kalkulus 2 — Pertemuan 2
Integral Parsial (Integration by Parts)
Teknik integral dari product rule: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Metode LIATE, tabular method, dan integral parsial berulang.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 7.2. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 7.1.
1. Teorema Integral Parsial
Teorema 7.2.1: Integral Parsial (Purcell)
Jika u dan v adalah fungsi-fungsi yang differentiable, maka:
Bukti: Dari Product Rule
Step 1. Product rule: d/dx[u(x)·v(x)] = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)
Step 2. Integralkan kedua sisi:
∫ d[u·v] = ∫ v du + ∫ u dv
Step 3. Sisi kiri = u·v, maka:
u·v = ∫ v du + ∫ u dv
Step 4. Atur ulang:
∫ u dv = u·v − ∫ v du ∎
Teorema 7.2.2: Integral Parsial untuk Integral Tentu
2. Metode LIATE: Prioritas Memilih u
Aturan LIATE (Purcell)
Pilih u sebagai fungsi yang paling tinggi prioritasnya dalam daftar LIATE. Sisanya menjadi dv.
L — Logarithmic: ln x, log x, ln(x²+1)
I — Inverse Trigonometric: arcsin x, arctan x, arcsec x
A — Algebraic: x, x², x³, √x, 1/(x+1)
T — Trigonometric: sin x, cos x, tan x, sec x
E — Exponential: eˣ, 2ˣ, e^(3x)
Logika: Fungsi di atas mudah diturunkan tapi sulit diintegralkan. Fungsi di bawah mudah diintegralkan. Kita ingin u yang "menyederhanakan" saat diturunkan.
Diagram Prioritas LIATE
Contoh: ∫ x·eˣ dx → x adalah A, eˣ adalah E. Karena A > E dalam LIATE, pilih u = x, dv = eˣ dx.
Interaktif: LIATE Advisor
Prioritas: Masukkan fungsi
Contoh: x²·sin x, ln x, eˣ·cos x
3. Tabular Method (Integral Parsial Berulang)
Definisi: Tabular Method
Untuk integral parsial berulang (terutama ∫ xⁿ·eˣ dx atau ∫ xⁿ·sin x dx), gunakan tabel:
Langkah:
1. Kolom kiri: turunan berulang dari u (sampai 0)
2. Kolom kanan: integral berulang dari dv
3. Tanda bergantian: +, −, +, −, ...
4. Hubungkan diagonal: kalikan dan jumlahkan
Contoh Tabular: ∫ x²eˣ dx
4. Integral Parsial Berulang (Kasus Siklus)
Peringatan: Kasus Siklus
Beberapa integral kembali ke bentuk semula setelah dua kali parsial. Gunakan trik aljabar: pindahkan integral ke sisi kiri!
Contoh: I = ∫ eˣ sin x dx
Parsial 1: u = sin x, dv = eˣ dx → I = eˣ sin x − ∫ eˣ cos x dx
Parsial 2: u = cos x, dv = eˣ dx → I = eˣ sin x − [eˣ cos x + ∫ eˣ sin x dx]
Maka: I = eˣ sin x − eˣ cos x − I
2I = eˣ(sin x − cos x) → I = eˣ(sin x − cos x)/2 + C
Visualisasi: Siklus Integral Parsial
5. Kapan Menggunakan Integral Parsial?
Kasus 1: Produk dua "jenis" fungsi
∫ x·eˣ dx, ∫ x²·sin x dx, ∫ x·ln x dx → produk aljabar dengan trig/exp/log
Kasus 2: Fungsi tunggal yang sulit diintegralkan
∫ ln x dx, ∫ arctan x dx, ∫ arcsin x dx → pilih u = fungsi, dv = dx
Kasus 3: Siklus eˣ·trig
∫ eˣ sin x dx, ∫ eˣ cos x dx → parsial 2× lalu selesaikan aljabar
Kasus 4: Reduction formula
∫ sinⁿx dx, ∫ (ln x)ⁿ dx → parsial menghasilkan formula rekursif
Interaktif: Pilih u dan dv
u = x, du = dx
v = eˣ
Hasil: x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x−1) + C
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Integral Parsial Dasar
Hitung ∫ x cos x dx
Soal 2: Fungsi Tunggal
Hitung ∫ ln x dx
Soal 3: Tabular Method
Hitung ∫ x³ eˣ dx menggunakan tabular method
Soal 4: Kasus Siklus
Hitung ∫ eˣ cos x dx
Soal 5: Integral Parsial dengan Invers Trig
Hitung ∫ arctan x dx
Soal 6: Integral Parsial Tentu
Hitung ∫₀^π x sin x dx
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Referensi: Purcell 9e Bab 7.2 · Stewart 9e Bab 7.1 — Teknik: Integrasi Parsial (IBP)
Mudah — Satu Kali IBP
Hitung ∫ x·eˣ dx
Hitung ∫ x·cos x dx
Hitung ∫ ln x dx
Hitung ∫ arctan x dx
Sedang — IBP Berulang atau Kombinasi Substitusi
Hitung ∫ x²·sin x dx (IBP 2 kali)
Hitung ∫ eˣ·cos x dx (cyclic)
Hitung ∫ x·ln x dx
Hitung ∫₀¹ x·arcsin x dx
Sulit — Strategi Cyclic / Tabular + Visualisasi
Hitung ∫ x²·eˣ dx menggunakan metode tabular
Hitung ∫ eˣ·sin x dx dengan identifikasi cyclic IBP
Hitung ∫ (ln x)² dx
Hitung ∫ sec³x dx (reduces to itself — kritis!)
Mixed / Aplikasi Terpadu
Luas daerah di bawah y = x·ln x dari x=1 ke x=e
Nilai harapan E[X] jika X~Gamma(2,1): f(x)=x·e⁻ˣ, x≥0
Volume revolusi y = ln x sekitar sumbu-y dari x=1 ke x=e (disk method)