Kalkulus 3 — Pertemuan 14
Review & Sintesis: Teorema-Teorema Vektor Kalkulus
Unifikasi FTC → Green → Stokes → Divergensi sebagai satu pola "Teorema Stokes Umum" — beserta pengantar bentuk diferensial.
Ref: Marsden & Tromba, Vector Calculus 6th ed., Bab 8.4 (Generalized Stokes). — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 16.9. — Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 15.9.
Tema Besar: Satu Teorema yang Menyatukan Semua
FTC, Green, Stokes, dan Divergensi bukan empat teorema berbeda — mereka adalah satu teorema tunggal dalam dimensi berbeda. Tema yang sama selalu muncul: integral operator diferensial di interior = integral tanpa operator di batas.
Dalam bahasa differential forms: ∫Ω dω = ∫∂Ω ω. Ini adalah Generalized Stokes Theorem. Di sini d = operator exterior derivative, dan ∂Ω = batas oriented dari Ω.
Memahami pola ini mengubah cara pandang terhadap seluruh Kalkulus 3 — dan membuka pintu ke topologi diferensial, teori gauge, dan kriptografi berbasis topologi.
Analogi: Audit Keuangan Bertingkat
FTC (1D): Untuk mengetahui selisih saldo bank (batas = dua titik waktu), cukup lihat total arus masuk-keluar (integral turunan = integral interior).
Green (2D): Total sirkulasi di sepanjang tembok pabrik = jumlah seluruh "vortex" produksi di dalam pabrik.
Stokes (Surface): Sirkulasi di tepi "atap" = jumlah putaran lokal di seluruh permukaan atap.
Divergensi (3D): Total aliran keluar dari semua ventilasi gedung = jumlah total sumber udara di dalam gedung.
1. Generalized Stokes Theorem & Differential Forms
Teorema Stokes Umum (Cartan, 1945)
ω adalah differential k-form di manifold beroriented Ω (dimensi k+1)
dω adalah exterior derivative dari ω — generalisasi dari curl, div, dan gradient
∂Ω adalah oriented boundary dari Ω
Kunci: d² = 0 (turunan eksterior dua kali = nol) — ini setara dengan "batas dari batas = kosong". Contoh sederhananya: batas sebuah cakram adalah lingkaran, dan lingkaran itu sendiri sudah tidak punya ujung.
Interaktif: Perjalanan dari FTC ke Divergensi
Teorema Fundamental Kalkulus (1D)
2 titik: {a, b}
interval [a,b]
Dimensi: 1D
Diagram: Rantai FTC → Green → Stokes → Divergensi
2. Identitas Vektor Penting (Daftar Komprehensif)
Curl-Gradient = 0
curl(grad f) = ∇×(∇f) = 0
Gradient field selalu irrotasional
Div-Curl = 0
div(curl F) = ∇·(∇×F) = 0
Curl field selalu solenoid
Green's First Identity
∭ u∇²v dV = &oiint; u(∇v·n) dS − ∭ ∇u·∇v dV
Integrasi by-parts di R³
Green's Second Identity
∭(u∇²v − v∇²u)dV = &oiint;(u∂v/∂n − v∂u/∂n) dS
Simetri operator Laplacian
Laplacian & Harmonics
∇²f = div(grad f) = fxx+fyy+fzz
f harmonic ⇔ ∇²f = 0
Product Rules
div(fF) = f(div F) + ∇f·F
curl(fF) = f(curl F) + (∇f)×F
Animasi: Hubungan Antar Operator Vektor
3. Peta Lengkap Kalkulus 3: Semua Teorema
| Teorema | Formula | Kondisi | Penerapan |
|---|---|---|---|
| FTC (Kalkulus 1) | ∫f'dx = f(b)−f(a) | f differentiable | Akumulasi & prefix sum |
| Clairaut | fxy = fyx | Continuity C² | Simetri Hessian pada optimasi |
| Green | ∮ Pdx+Qdy = &iint;(Qx−Py)dA | Simple region D | Planimeter & luas poligon (GIS) |
| Stokes | ∮ F·dr = &iint; curl F·dS | Orientable surface S | Sirkulasi fluida & gaya angkat |
| Divergensi | &oiint; F·dS = ∭ divF dV | Compact V, normal luar | Fluks panas & hukum Gauss |
| Fubini | &iint; f dA = ∫(∫f dy) dx | f bounded, continuous | Integrasi numerik multidimensi |
| Change of Vars | &iint; f dA = &iint; f(T(u,v))|J| dudv | T diffeomorphism | Koordinat polar, silinder & bola |
| FTC Lintasan | ∫C ∇f·dr = f(B)−f(A) | F = ∇f konservatif | Medan konservatif & energi potensial |
4. Kalkulator Interaktif: Jacobian Transformasi
Jacobian Polar: x = r cosθ, y = r sinθ
J = | ∂x/∂r ∂x/∂θ | = | cosθ −r sinθ |
| ∂y/∂r ∂y/∂θ | | sinθ r cosθ |
det(J) = r cos²θ + r sin²θ
|J| = r = 2.0000
Inilah mengapa dA = r dr dθ dalam koordinat polar!
5. Soal Sintesis & Review
Soal 1 — Pilih Teorema yang Tepat
Hitung ∮C y² dx + x² dy, C = batas segitiga (0,0),(2,0),(0,2), CCW. Gunakan Teorema Green.
Soal 2 — Identitas div(curl F) = 0
Buktikan div(curl F) = 0 untuk F = (P,Q,R) dengan turunan parsial campuran kontinu.
Soal 3 — Konservatif + Potensial
Tunjukkan F=(2xy+z³, x², 3xz²) konservatif dan cari fungsi potensialnya f.
Soal 4 — Change of Variables (Spherical)
Tunjukkan Jacobian koordinat bola: |J| = ρ² sin φ dari (x,y,z) ke (ρ,φ,θ).
Soal 5 — Stokes + Conservative
Jika curl F = 0 di seluruh R³ dan S1, S2 adalah dua permukaan dengan batas yang sama C, tunjukkan &iint;S1 curl F·dS = &iint;S2 curl F·dS.
Soal 6 — Green's First Identity
Nyatakan Green's First Identity dan hubungkan dengan Divergensi Theorem.
Soal 7 — Laplacian & Harmonic Functions
Tunjukkan f(x,y) = excos y adalah harmonic (∇²f=0) dan hubungkan dengan teorema mean-value.
Soal 8 — Sintesis: Semua Teorema dalam Satu Soal
Evaluasi ∮C F·dr untuk F=(y,−x,z), C lingkaran x²+y²=4, z=3 (CCW ketika dilihat dari atas). Gunakan Stokes, pilih S paling mudah.
6. Ringkasan Visual: Operator Vektor & Teorema
Animasi: Aliran Informasi dari Lokal ke Global
Sintesis: Semua Teorema dalam Satu Kerangka
Identitas Green & Operator Self-Adjoint: Identitas Green kedua, ∭(u∇²v − v∇²u)dV = &oiint;(u∇v − v∇u)·dS, memindahkan Laplacian dari satu fungsi ke fungsi lain. Inilah dasar metode elemen hingga (FEM) yang dipakai untuk simulasi struktur, aliran panas, dan medan listrik.
7. Checklist Persiapan UTS & UAS
Skill Wajib Dikuasai Sebelum Ujian
Kalkulus Multivariabel (UTS)
Domain, limit, kontinuitas fungsi 2–3 variabel
Turunan parsial, Clairaut, chain rule
Gradient, turunan berarah, normal plane
Titik kritis, D-test, Lagrange multiplier
Integral ganda, Fubini, perubahan urutan
Koordinat polar & Jacobian transformasi
Vektor Kalkulus (UAS)
Integral lipat tiga: rectangular, silinder, bola
Integral garis skalar dan vektor
Medan konservatif & fungsi potensial
Teorema Green & aplikasi luas
Integral permukaan & flux
Teorema Stokes & Divergensi (Gauss)
Tips Strategi Ujian
- Identifikasi dimensi: Apakah soal 1D (FTC), 2D (Green), surface (Stokes), atau 3D (Divergensi)?
- Pilih teorema yang tepat: Konservatif? Gunakan potensial. Permukaan + batas? Pilih Stokes. Volume tertutup? Divergensi.
- Simetri: Integral di domain simetris seringkali 0 (x, y, xy di disk centred at origin).
- Koordinat: Bola → bola; silinder → silinder; umum → Cartesian atau polar.
- Verifikasi: div(curl F)=0 dan curl(grad f)=0 adalah identitas yang wajib hafal.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Marsden-Tromba 6e Bab 8.4 · Stewart 9e Bab 16.9 · Purcell 9e Bab 15.9
Mudah (Easy) — Identifikasi Teorema yang Tepat
1. Tentukan teorema mana (FTC/Green/Stokes/Divergence) yang paling tepat untuk: ∮CF·dr di mana C = closed curve di R².
2. Identifikasi: ∫∫S(curl F)·n dS = ? (teorema mana yang relevan?)
3. Semua teorema kalkulus vektor adalah kasus khusus dari apa? Tulis unified form.
4. Mengapa ∮∂Vcurl F·n dS = 0 untuk sembarang volume tertutup V?
Sedang (Medium) — Pilih Permukaan Lebih Mudah via Stokes
1. Hitung ∮CF·dr, F=⟨y,−z,x⟩, C = lingkaran x²+y²=4 di bidang z=1. Gunakan disk z=1 sebagai permukaan.
2. Konversi ∫∫SF·dS ke volume integral: F=⟨x³,y³,z³⟩, S=seluruh permukaan bola ρ=2.
3. Tunjukkan bahwa FTC adalah kasus khusus Green: ∫abf'(x)dx = f(b)−f(a) dengan memilih P=f(x), Q=0 pada interval [a,b].
4. Hitung flux F=⟨sin(y),cos(z),x²⟩ keluar kubus [0,1]3 menggunakan Divergence Theorem.
Sulit (Hard) — Generalized Stokes, Differential Forms, Synthesis
1. Tunjukkan bahwa semua teorema kalkulus vektor adalah ∫Mdω=∫∂Mω. Berikan ω untuk kasus Green (circulation form).
2. Synthesis: F=⟨2xy+z, x²+z², y+2xz⟩. Tunjukkan F konservatif, hitung ∫CF·dr dari (0,0,0) ke (2,1,3) dengan path apapun.
3. Buktikan: untuk F solenoidal (div F=0), flux F melalui dua permukaan berbeda dengan boundary yang sama adalah identik.
4. Hitung ∫∫∫V(x+y+z)dV, V=tetrahedron (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), menggunakan Divergence Theorem dengan F=(x²/2,xy,xz).
Aplikasi (Mixed) — Maxwell, Bentuk Diferensial & Topologi
1. Maxwell Unified: Empat persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial menggunakan Generalized Stokes. Tunjukkan bahwa Gauss (div E=ρ/ε0), Faraday (curl E=−∂B/∂t), Ampère (curl B=...) semuanya adalah ∫Mdω=∫∂Mω di atas manifold yang berbeda.
2. Bentuk Tertutup vs Eksak: Sebuah bentuk diferensial ω disebut tertutup bila dω = 0, dan eksak bila ω = dα untuk suatu α. Karena d² = 0, setiap bentuk eksak pasti tertutup. Berikan contoh bentuk tertutup yang tidak eksak, dan jelaskan apa yang dideteksinya.
3. Synthesis Challenge: Berikan contoh soal di mana harus memilih permukaan S berbeda untuk Stokes yang jauh lebih mudah. F=⟨eyz,xzeyz,xy(eyz+1)⟩, C=persegi (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0).