Kalkulus 3 — Pertemuan 9
Integral Ganda di Koordinat Polar
Derivasi dA = r dr dθ via Jacobian, konversi integral ke koordinat polar, region-region polar khusus, dan penerapannya pada fungsi radial.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 13.4. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 15.3. — Marsden & Tromba, Vector Calculus 6th ed., Bab 5.4.
Mengapa Polar?
Jika region D berbentuk lingkaran, cincin, atau sektor, koordinat Cartesian menghasilkan batas yang rumit (melibatkan √). Koordinat polar (r, θ) membuat batas menjadi konstan, menyederhanakan integral secara dramatis.
Contoh: ∫∫{x²+y²≤4} √(x²+y²) dA di Cartesian memerlukan batas −√(4−x²) s.d. √(4−x²) yang sangat tidak nyaman. Di polar: 0≤r≤2, 0≤θ≤2π, dan integrand menjadi r sederhana.
Analogi: Pizza vs Kue Tartan
Bayangkan memotong pizza: cara Cartesian = memotong menjadi kotak-kotak (grid). Cara polar = memotong menjadi sektor-sektor seperti irisan pizza sesungguhnya. Untuk pizza lingkaran, irisan polar jauh lebih alami!
Kunci: tiap “irisan polar kecil” bukan persegi, tapi bentuk trapezoid-busur. Luasnya bukan dr·dθ, melainkan r dr dθ karena busur pada radius r punya panjang r dθ.
1. Review Koordinat Polar
Konversi Cartesian ↔ Polar
x = r cos θ, y = r sin θ
r = √(x²+y²), θ = arctan(y/x) (perhatikan kuadran!)
x² + y² = r²
r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π (atau −π ≤ θ ≤ π)
Kurva-kurva Polar Penting
2. Derivasi dA = r dr dθ via Jacobian
Elemen Luas Polar — Dua Cara
Cara geometri: Elemen polar adalah “sektor annular” dengan tinggi dr dan lebar busur r dθ. Luasnya = dr × r dθ = r dr dθ.
Cara Jacobian: Change of variables x=r cosθ, y=r sinθ. Jacobian = determinan matriks turunan parsial. |J| = r, sehingga dA = dx dy = |J| dr dθ = r dr dθ.
Step-by-Step: Derivasi Jacobian Polar
Jacobian J = ∂(x,y)/∂(r,θ) adalah determinan matriks turunan parsial.
Visualisasi: Elemen Luas Polar & Animasi Grid
Elemen polar berbentuk sektor-annular. Busur r dθ → faktor r. Tanpa faktor ini, hasil integral akan salah!
3. Rumus Integral Polar & Teknik Konversi
Teorema Utama (Konversi ke Polar)
Jangan lupa faktor r! Substitusi: x = r cosθ, y = r sinθ, x²+y² = r², dA = r dr dθ.
Identifikasi Region Polar
Animasi: Mengisi Region Polar (Sektor → Disk)
4. Contoh-Contoh Penting
A. Luas Disk (verifikasi πR²)
A = ∫∫disk 1 dA = ∫02π ∫0R r dr dθ
= ∫02π [r²/2]0R dθ = ∫02π R²/2 dθ
= R²/2 · 2π = πR² ✓
B. Volume Paraboloid z = 4−r² (di atas z=0)
z ≥ 0 ⇒ r² ≤ 4 ⇒ 0 ≤ r ≤ 2
V = ∫02π ∫02 (4−r²) · r dr dθ = ∫02π ∫02 (4r−r³) dr dθ
= ∫02π [2r²−r&sup4;/4]02 dθ = ∫02π (8−4) dθ
V = 4 × 2π = 8π
C. Integral Gaussian Klasik ∫∫ e−(x²+y²) dA
Dalam koordinat polar: x²+y² = r², dA = r dr dθ, batas: r∈[0,∞), θ∈[0,2π)
= ∫02π ∫0∞ e−r² r dr dθ
Substitusi u = r², du = 2r dr:
= ∫02π ½∫0∞ e−u du dθ = ∫02π ½ dθ
= π. Konsekuensi: ∫−∞∞ e−x² dx = √π (Integral Gaussian)
Tanpa trick polar, integral ini tidak punya antiturunan elementer di 1D!
D. Luas Cardioid r = 1+cosθ
A = ∫02π ∫01+cosθ r dr dθ = ∫02π [(1+cosθ)²/2] dθ
= ½∫02π (1+2cosθ+cos²θ) dθ
Gunakan cos²θ = (1+cos 2θ)/2:
= ½ [2π + 0 + π] = ½(3π)
A = 3π/2
5. Kalkulator Interaktif
Konversi Cartesian ↔ Polar
r = √(3²+4²) = 5.0000
θ = 53.13° = 0.9273 rad
Verifikasi: x = 5.0000×cos(53.13°) = 3, y = 5.0000×sin(53.13°) = 4
Setup Integral Polar per Jenis Region
Bounds: 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π
Luas: π(3)² = 28.2743
∫₀²π ∫₀^3 r dr dθ
Lingkaran penuh berpusat di origin.
6. Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Integral atas Disk Penuh
Hitung ∫∫D e−(x²+y²) dA, D: x²+y² ≤ 1.
Soal 2: Luas Cardioid
Hitung luas region di dalam cardioid r = 1 + cos θ.
Soal 3: Konversi dari Cartesian (Setengah Disk)
Konversi dan hitung ∫−11 ∫0√(1−x²) (x²+y²) dy dx.
Soal 4: Volume Kerucut z = r
Hitung volume di bawah z = √(x²+y²) dan di atas disk x²+y² ≤ 9.
Soal 5: Integral Annulus
Hitung ∫∫D 1/(x²+y²) dA, D: 1 ≤ x²+y² ≤ 4.
Soal 6: Bukti Integral Gaussian ∫−∞∞ e−x² dx = √π
Buktikan identitas ini menggunakan integral polar 2D.
Soal 7: Centroid Setengah Disk
Hitung centroid D = {(x,y) : x²+y² ≤ R², y ≥ 0}.
Soal 8: Rose 4-Kelopak
Hitung luas satu kelopak r = cos 2θ (kelopak di sektor −π/4 ≤ θ ≤ π/4).
Soal 9: Momen Inersia Disk via Polar
Hitung I0 = ∫∫D (x²+y²) dA, D = disk radius R, density = 1.
7. Sifat-Sifat Integral Polar
Simetri & Shortcut Polar
Animasi: Simetri Radial (Integrasi Berlapis)
Untuk integrand simetri radial, integrasi θ langsung menghasilkan 2π, mereduksi ke integral 1D.
Koneksi ke Ilmu Komputer — Simetri Radial
Computer Vision & ML: Gaussian blur kernel e−r²/2σ² memiliki simetri radial ⇒ separable 1D filter. Konvolusi 2D dengan Gaussian = dua konvolusi 1D terpisah, efisiensi O(n) vs O(n²). Ini dipakai di setiap CNN (Gaussian pyramid, Laplacian of Gaussian edge detection).
Probability Theory: Normal bivariate isotropik: f(x,y)=(1/2πσ²)e−(x²+y²)/2σ². Normalisasi ∫∫ f dA=1 bergantung pada integral Gaussian via polar. Distribusi jarak r dari origin: fR(r) = (r/σ²)e−r²/2σ² (Rayleigh distribution).
Insight Utama P9
Koordinat polar + Jacobian = kunci mengintegrasikan fungsi radial (yang hanya bergantung pada r = √(x²+y²)). Pola ini berulang di dimensi lebih tinggi: koordinat silinder (P10) dan koordinat bola (P10) memakai gagasan yang persis sama.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Purcell 9e Bab 13.4 · Stewart 9e Bab 15.3 · Marsden-Tromba 6e Bab 5.4
Mudah (Easy) — Setup Integral Polar Dasar
1. Konversikan ∫∫D (x²+y²) dA, D: x²+y²≤9, ke koordinat polar dan hitung.
2. Hitung luas annulus 1 ≤ r ≤ 3 menggunakan integral polar.
3. Nyatakan ∫∫D e−x²−y² dA, D: x²+y²≤4, sebagai integral polar (tanpa menghitung).
4. Hitung ∫0π/2∫02 r cosθ dr dθ.
Sedang (Medium) — Evaluasi Integral Polar dengan Teknik
1. Ubah ke polar dan hitung ∫01∫0√(1−x²) (x²+y²)3/2 dy dx.
2. Hitung luas satu kelopak rose r = sin(2θ) untuk θ ∈ [0, π/2].
3. Hitung luas cardioid r = 1 + cosθ (seluruh kurva).
4. Hitung volume kerucut z = √(x²+y²) di atas disk r ≤ 2 menggunakan polar.
Sulit (Hard) — Region Kompleks & Perubahan Variabel
1. Hitung luas daerah di dalam r = 3cosθ dan di luar r = 1+cosθ.
2. Hitung ∫∫D e−x²−y²dA di atas seluruh R² — buktikan nilainya π (gunakan polar + tak berhingga).
3. Ubah ke polar: ∫0a∫0√(a²−x²) ln(x²+y²+1) dy dx. Identifikasi region, tulis integral polar, dan sederhanakan (tidak perlu hitung akhir).
4. Hitung volume bola x²+y²+z² ≤ R² (gunakan integral ganda di polar, projeksikan ke bidang xy).
Aplikasi (Mixed) — Sentroid, Fisika & Geometri Sarang Lebah
1. Centroid Setengah Disk: Hitung centroid (x̄,ȳ) dari setengah disk atas r ≤ R, y ≥ 0 (densitas seragam).
2. Fisika — Fluks Magnet: Fluks Φ = ∫∫D B0e−r²/a² dA di atas disk r ≤ 2a. Hitung Φ (B0, a konstan).
3. Luas Sel Heksagonal: Sarang lebah dan susunan atom rapat membentuk sel heksagonal beraturan. Untuk sel dengan "jari-jari" a (jarak pusat ke titik sudut), hitung luasnya dengan membaginya menjadi enam sektor bersudut π/3.