Kalkulus 3 — Pertemuan 13
Teorema Stokes & Teorema Divergensi (Gauss)
Dua teorema besar yang menghubungkan integral garis/permukaan dengan integral volume — fondasi elektromagnetisme, mekanika fluida, dan kriptografi modern.
Ref: Stewart, Calculus 9th ed., Bab 16.8–16.9. — Marsden & Tromba, Vector Calculus 6th ed., Bab 8.2–8.3. — Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 15.8–15.9.
Koneksi Besar: Boundary & Interior
Teorema Green menghubungkan kurva C (batas) dengan region D (interior) di R². Teorema Stokes meng-generalisasi ini ke permukaan S di R³: sirkulasi di tepi S = flux dari curl F melalui S. Teorema Divergensi pergi lebih jauh: flux total keluar dari volume V = integral divergensi di dalam V.
Keduanya adalah instansi dari prinsip agung: ∫...(∂) = ∮...(batas) — yang dalam bahasa matematika modern disebut Generalized Stokes Theorem pada differential forms.
Analogi: Air, Vortex, & Balon
Stokes: Aliran air di atas permukaan S berbentuk corong. Sirkulasi total di sepanjang tepi corong = jumlah seluruh "putaran lokal" (curl) di seluruh permukaan. Tak ada putaran di mana pun ⇒ aliran keluar masuk seimbang di tiap bagian tepi.
Divergensi: Sumber air di dalam balon — total air keluar dari permukaan balon = integral dari semua sumber lokal di dalam. Tak ada sumber sama sekali (div = 0) ⇒ tak ada net flux (incompressible flow, seperti air tak termampatkan).
1. Curl dari Medan Vektor
Definisi (Curl)
Untuk F = Pi + Qj + Rk:
curl F = ∇ × F
= (Ry−Qz)i − (Rx−Pz)j + (Qx−Py)k
determinan formal matriks 3×3 dengan baris pertama i,j,k
Makna fisik: curl F di titik P mengukur rotasi lokal medan vektor di sekitar P. Jika curl = 0 di mana-mana dalam domain simply-connected, medan disebut irrotasional dan konservatif.
Visualisasi: Curl = Rotasi Lokal (Paddle Wheel Test)
Analogi paddle wheel: medan radial tidak memutar kincir — curl = 0. Medan melingkar memutar kincir — curl ≠ 0.
2. Teorema Stokes: Pernyataan & Derivasi
Teorema Stokes
Syarat: S adalah permukaan orientabel licin-sepotong-demi-sepotong dengan batas kurva tertutup C = ∂S. Orientasi C konsisten dengan normal n di S via aturan tangan kanan.
Bacaan: Sirkulasi F di sepanjang batas C = total flux dari curl F melalui permukaan S. Intinya: "apa yang terjadi di batas" ditentukan oleh "apa yang terjadi di interior."
Derivasi Intuitif Teorema Stokes
Langkah 1 — Partisi: Bagi permukaan S menjadi kotak-kotak kecil ΔSij dengan batas ∂(ΔSij).
Langkah 2 — Lokal: Pada setiap kotak kecil, teorema Green lokal (berlaku untuk permukaan datar infinitesimal) memberikan:
Langkah 3 — Pembatalan: Jumlahkan semua kotak. Setiap edge interior muncul dua kali dengan orientasi berlawanan — saling membatalkan. Hanya tersisa edge di batas luar C.
Langkah 4 — Limit: Ambil ΔSij → 0, penjumlahan menjadi integral:
Animasi: Edge Interior Saling Menghilang → Hanya Batas yang Tersisa
3. Divergensi dari Medan Vektor
Definisi (Divergensi)
sumber (source) — keluar
solenoid — incompressible
sink — masuk / diserap
4. Teorema Divergensi (Teorema Gauss): Pernyataan & Derivasi
Teorema Divergensi
Syarat: V adalah region kompak di R³ dengan batas permukaan tertutup ∂V yang smooth sepotong-demi-sepotong. Normal n menunjuk keluar (outward-pointing).
Bacaan: Total flux keluar melalui permukaan tertutup ∂V = integral dari semua sumber/sink di dalam volume V. Ini adalah pernyataan tiga dimensi dari konservasi.
Derivasi Teorema Divergensi (Sketch Resmi)
Langkah 1 — Pisahkan komponen:
Langkah 2 — Komponen R: Jika V diapit z=g1(x,y) (bawah) dan z=g2(x,y) (atas):
(integral di atas tutup atas minus tutup bawah, karena orientasi normal luar)
Langkah 3 — Argumen serupa: untuk komponen P (integral ∂P/∂x dV) dan Q (∂Q/∂y dV).
Langkah 4 — Jumlahkan:
Animasi: Flux Keluar = Integral Sumber Dalam Volume
5. Stokes vs Divergensi: Perbandingan Lengkap
| Aspek | Teorema Stokes | Teorema Divergensi |
|---|---|---|
| Dimensi objek | Surface S (2D) dan batas kurva C (1D) | Volume V (3D) dan batas permukaan ∂V (2D) |
| Operator diferensial | curl (∇×) | divergence (∇·) |
| Formula inti | ∮ F·dr = &iint; curl F·dS | &oiint; F·dS = ∭ div F dV |
| Generalisasi dari | Teorema Green di R² | Stokes umum (volume = bentuk 3D) |
| Aplikasi fisika | Faraday, Ampère (Maxwell) | Gauss flux listrik, persamaan kontinuitas |
| Syarat kunci | S orientable, C = ∂S (aturan tangan kanan) | V compact, ∂V closed, normal keluar |
| Identitas terkait | div(curl F) = 0 | curl(grad f) = 0 |
6. Kalkulator Interaktif
Kalkulator Divergensi Numerik di Titik (x,y,z)
∂Fx/∂x = 1.0000
∂Fy/∂y = 1.0000
∂Fz/∂z = 1.0000
div F = 3.0000
Flux via Teorema Divergensi: F = (x,y,z) pada Bola Radius R
div F = 1+1+1 = 3
Volume bola = (4/3)πR³ = 33.5103
Flux = ∭ 3 dV = 3 × Vol = 100.5310
Cek langsung: &oiint; r·n dS = &oiint; R dS = R×4πR² = 4πR³ = 100.5310 ✓
7. Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1 — Curl
Hitung curl F untuk F = (xy, yz, xz).
Soal 2 — Teorema Stokes
Gunakan Teorema Stokes: ∮C F·dr, F=(y,z,x), C = lingkaran x²+y²=1, z=0 (CCW).
Soal 3 — Teorema Divergensi (Bola)
Hitung flux F=(x³,y³,z³) melalui permukaan bola x²+y²+z²=4.
Soal 4 — Divergensi Nol (Solenoid)
Tunjukkan F=(y,x,0) adalah solenoid dan hitung flux melalui silinder x²+y²≤1, 0≤z≤2.
Soal 5 — Stokes pada Paraboloid
Hitung &iint;S curl F·dS di mana F=(z,x,y), S: z=9−x²−y², z≥0.
Soal 6 — Divergensi pada Kubus
Hitung flux F=(x²,y²,z²) melalui permukaan kubus [0,1]³.
8. Aplikasi Fisika: Persamaan Maxwell
Persamaan Maxwell dalam Notasi Vektor Kalkulus
Gauss Listrik (Divergensi)
div E = ρ/ε0
Sumber medan listrik = distribusi muatan. ρ=0 ⇒ div E=0.
Gauss Magnetik (Divergensi)
div B = 0
Tidak ada monopol magnetik. Garis B selalu tertutup.
Faraday (Curl)
curl E = −∂B/∂t
Medan magnet berubah ⇒ EMF (sirkulasi listrik).
Ampère-Maxwell (Curl)
curl B = μ0J + μ0ε0∂E/∂t
Arus + medan listrik berubah ⇒ medan magnet berputar.
Seluruh elektromagnetisme klasik dikodekan dalam empat persamaan ini — semuanya menggunakan curl dan div yang kita pelajari hari ini.
9. Aplikasi Mekanika Fluida
Persamaan Kontinuitas & Navier-Stokes
Persamaan Kontinuitas (Incompressible Flow)
div v = 0
Fluida tak termampatkan: tidak ada sumber/sink. Volume elemen fluida konstan. Inilah mengapa div = 0 disebut "solenoid" (solenoidal field).
Vortisitas (Vorticity)
ω = curl v = ∇×v
Mengukur rotasi lokal fluida. ω = 0 di seluruh domain ⇒ aliran irrotasional (potential flow). Turbulensi = daerah dengan vortisitas tinggi.
Teorema Kelvin (Circulation)
dΓ/dt = 0 jika ρ=const, F konservatif
Sirkulasi Γ = ∮ v·dr = &iint; ω·dS (via Stokes) dikonservasi dalam fluida ideal — dasar teori sayap pesawat (Kutta-Joukowski).
Animasi: Garis Medan Listrik (div E ≠ 0) vs Garis Medan Magnet (div B = 0)
Soal 7 — Identitas div(curl F) = 0
Buktikan bahwa div(curl F) = 0 untuk sembarang F ∈ C². Interpretasikan secara fisik.
Soal 8 — Stokes + Konservatif
Jika F=∇f (gradient field), buktikan ∮C F·dr=0 untuk setiap kurva tertutup C yang merupakan batas suatu permukaan.
Koneksi Lanjutan: Curl, Divergensi & Fisika
Curl ↔ Rotasi Fluida: Curl mengukur kecenderungan berputar suatu medan. Bila sebuah roda dayung kecil diletakkan di aliran fluida, ia berputar tepat ketika curl ≠ 0. Medan dengan curl = 0 disebut irrotasional.
Persamaan Maxwell: curl E = −∂B/∂t (Faraday) dan div B = 0 (tidak ada monopol magnet) adalah dua dari empat persamaan Maxwell — seluruh teori elektromagnetik ditulis dalam bahasa curl dan divergensi.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Stewart 9e Bab 16.8–16.9 · Marsden-Tromba 6e Bab 8.2–8.3 · Purcell 9e Bab 15.8–15.9
Mudah (Easy) — Divergence & Curl Dasar
1. Hitung div F untuk F=⟨x²,y²,z²⟩.
2. Hitung curl F untuk F=⟨yz, xz, xy⟩.
3. Gunakan Divergence Theorem untuk hitung flux F=⟨x,y,z⟩ keluar bola x²+y²+z²≤1.
4. Gunakan Stokes untuk ∮CF·dr, F=⟨y,−x,0⟩, C=lingkaran x²+y²=1 di bidang z=0 (CCW dari atas).
Sedang (Medium) — Stokes & Divergence dengan Surface
1. Flux F=⟨x²,y²,z²⟩ keluar kubus [0,1]3 menggunakan Divergence Theorem.
2. Stokes: ∮CF·dr, F=⟨z²,x²,y²⟩, C = boundary of triangle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) (CCW dari atas).
3. Flux F=⟨x,y,z⟩ keluar silinder x²+y²≤1, 0≤z≤2 (termasuk tutup).
4. Stokes: ∮CF·dr, F=⟨y,z,x⟩, C=lingkaran x²+y²=1 di bidang z=2 (CCW dari atas).
Sulit (Hard) — Surface Integral, Curl Visualization, Torus
1. Flux F=⟨x³+y³, y³+z³, z³+x³⟩ keluar bola ρ=R menggunakan Divergence Theorem.
2. Gunakan Stokes untuk ∮CF·dr, F=⟨xz,yz,xy⟩, C=boundary of paraboloid z=1−x²−y² di atas z=0 (CCW dari atas).
3. Buktikan div(curl F) = 0 untuk sembarang F dengan menggunakan definisi curl dan divergence secara eksplisit.
4. Flux F=⟨0,0,z⟩ melalui hemisfer x²+y²+z²=R², z≥0 (outward). Gunakan Divergence Theorem dengan "menutup" dengan disk z=0.
Aplikasi (Mixed) — Maxwell, Stokes Topologis, Fluid Divergence
1. Maxwell — Gauss Law: ∇·E = ρ/ε0. Flux E keluar dari bola radius R yang mengandung muatan total Q. Buktikan E=Q/(4πε0R²) untuk bola simetris menggunakan Divergence Theorem.
2. Faraday (Stokes): ∇×E = −∂B/∂t. Integral Stokes memberikan EMF: ∮CE·dr = −dΦB/dt. Jelaskan mengapa Stokes adalah jembatan antara bentuk lokal (curl) dan global (EMF loop) hukum Faraday.
3. Aliran Fluida & Teorema Divergensi: Medan kecepatan fluida v = ⟨x, y, z⟩ mengalir keluar dari pusat. Hitung fluks total yang menembus permukaan bola berjari-jari R dengan dua cara — langsung lewat integral permukaan, dan lewat Teorema Divergensi — lalu tafsirkan hasilnya secara fisis.