Kalkulus 3 — Pertemuan 8

Integral Ganda (Double Integrals)

Volume di bawah permukaan, integral iterasi, mengubah urutan integrasi — dari 1D ke 2D.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 13.1–13.3. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 15.1–15.3.

Dari Integral ke Integral Ganda

Di Kalkulus 1, ∫f(x)dx menghitung luas di bawah kurva. Di Kalkulus 3, ∫∫f(x,y)dA menghitung volume di bawah permukaan z = f(x,y) di atas region D di bidang xy.

Kunci: partisi region menjadi persegi-persegi kecil, jumlahkan f(x_i,y_j)ΔA, ambil limit — menghasilkan integral ganda.

1. Definisi Integral Ganda

Definisi

∫∫_D f(x,y) dA = lim_n→∞ ∑ f(x_i*, y_j*) ΔA

Makna: Jika f(x,y) ≥ 0, hasilnya adalah volume benda padat antara permukaan z = f(x,y) dan bidang xy di atas region D.

Visualisasi: Volume di Bawah Permukaan

2. Teorema Fubini (Iterated Integrals)

Teorema Fubini

Jika f kontinu pada region D:

Type I: ∫∫_D f dA = ∫_a^b ∫_g₁(x)^g₂(x) f(x,y) dy dx

Type II: ∫∫_D f dA = ∫_c^d ∫_h₁(y)^h₂(y) f(x,y) dx dy

Kunci: Integral ganda = dua integral tunggal berturut-turut. Urutan bisa ditukar (dengan menyesuaikan batas)!

Visualisasi: Type I vs Type II

3. Mengubah Urutan Integrasi

Mengapa Penting?

Kadang satu urutan integrasi tidak bisa dihitung (antiturunan tidak elementer), tetapi urutan lain bisa! Langkah: gambar region, tentukan batas baru, tulis integral ulang.

Demo: Mengubah Urutan Integrasi

∫₀¹ ∫ₓ¹ e^(y²) dy dx — sulit karena ∫e^(y²)dy tidak memiliki antiturunan elementer!

4. Eksplorasi Interaktif

Type I vs Type II

Type I (batas y adalah fungsi x)

∫ₐᵇ ∫_{g₁(x)}^{g₂(x)} f(x,y) dy dx

Integrate y first (inner), then x (outer). Batas y bergantung pada x.

∫₀¹ ∫₀ˣ xy dy dx = ∫₀¹ [xy²/2]₀ˣ dx = ∫₀¹ x³/2 dx = 1/8

Contoh Lengkap: ∫∫_D xy dA

D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x (segitiga bawah y=x)

= ∫₀¹ ∫₀^x xy dy dx

= ∫₀¹ [xy²/2]₀^x dx = ∫₀¹ x³/2 dx

= [x&sup4;/8]₀¹

= 1/8

Animasi: Partisi Menjadi Lebih Halus (n = 4 → 16 → 64)

Partisi semakin halus (n=4 → 16 → 64). Riemann sum mendekati integral ganda eksak saat ΔA → 0.

5. Sifat Integral Ganda

∫∫ [f+g] dA = ∫∫ f dA + ∫∫ g dA (linearitas)

∫∫ cf dA = c ∫∫ f dA (homogenitas)

f ≤ g pada D ⇒ ∫∫ f dA ≤ ∫∫ g dA (monotonitas)

D = D₁ ∪ D₂, D₁∩D₂ kosong ⇒ ∫∫_D = ∫∫_D1 + ∫∫_D2

∫∫_D 1 dA = Area(D)

6. Polar Coordinates Double Integrals

Transformation x = r cos θ, y = r sin θ

Saat region D atau integrand bersimetri radial, koordinat polar menyederhanakan integral secara dramatis. Jacobian transformasi:

|J| = |∂(x,y)/∂(r,θ)| = |cosθ (r cosθ) − (−r sinθ) sinθ| = r

⇒ dA = dx dy = r dr dθ. Faktor r sangat penting — sering kali kunci untuk membuat integral solvable.

Rumus Praktis

∫∫_D f(x,y) dA = ∫_α^β ∫_r₁(θ)^r₂(θ) f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ

Untuk disk D: 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π. Untuk anulus: a ≤ r ≤ b. Untuk sektor: 0 ≤ r ≤ a, α ≤ θ ≤ β.

Contoh Klasik: Integral Gaussian via Polar

Hitung ∫∫_R² e^−(x²+y²) dA

Polar: x²+y² = r², dA = r dr dθ

= ∫₀^2π ∫₀^∞ e^−r² r dr dθ

Substitusi u = r², du = 2r dr:

= ∫₀^2π ½ ∫₀^∞ e^−u du dθ = ∫₀^2π ½ dθ

= π

Konsekuensi terkenal: (∫_−∞^∞ e^−x² dx)² = π ⇒ ∫_−∞^∞ e^−x² dx = √π (Gaussian integral).

Tanpa trick polar, integral Gaussian 1D tidak memiliki antiturunan elementer — namun via 2D + polar, hasilnya menjadi mudah!

7. Triple Integrals

Definisi (Triple Integral)

∫∫∫_E f(x,y,z) dV = lim_n→∞ ΣΣΣ f(x_i*, y_j*, z_k*) ΔV

Volume di R³ saat f = 1. Massa benda saat f = density ρ(x,y,z).

Cylindrical Coordinates (r, θ, z)

x = r cosθ, y = r sinθ, z = z

dV = r dr dθ dz

Cocok untuk: silinder, kerucut, paraboloid, dan benda dengan simetri sumbu z.

Contoh: V silinder R, tinggi h = ∫₀^2π∫₀^R∫₀^h r dz dr dθ = 2π · (R²/2) · h = πR²h ✓

Spherical Coordinates (ρ, φ, θ)

x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ

ρ ≥ 0 (radial), 0 ≤ φ ≤ π (polar), 0 ≤ θ ≤ 2π (azimuthal)

dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ

Cocok untuk: bola, sektor bola, region dengan simetri origin.

Contoh: V bola jari-jari R = ∫₀^2π∫₀^π∫₀^R ρ²sinφ dρ dφ dθ

= 2π · [−cosφ]₀^π · [ρ³/3]₀^R = 2π · 2 · R³/3 = (4/3)πR³ ✓

8. Aplikasi Integral Ganda

A. Center of Mass (Centroid)

Untuk lamina dengan density ρ(x,y) di region D, total mass:

M = ∫∫_D ρ(x,y) dA

Center of mass:

x̄ = (1/M) ∫∫_D x · ρ dA, ȳ = (1/M) ∫∫_D y · ρ dA

Untuk centroid geometris (ρ konstan): x̄ = (1/Area)∫∫ x dA, ȳ = (1/Area)∫∫ y dA.

B. Moments of Inertia

Resistance benda terhadap rotasi:

I_x = ∫∫_D y² · ρ dA (thd sumbu x)

I_y = ∫∫_D x² · ρ dA (thd sumbu y)

I₀ = I_x + I_y = ∫∫_D (x²+y²) ρ dA (polar moment)

Aplikasi: dinamika rotasi, teknik mesin (poros, balok), analisis robot manipulator.

C. Probabilitas: Joint PDF & Marginals

Untuk variabel random (X, Y) dengan joint PDF f(x,y) (f ≥ 0, ∫∫ f dA = 1):

P((X,Y) ∈ A) = ∫∫_A f(x,y) dA

Marginal distributions (integrasi salah satu variabel):

f_X(x) = ∫_−∞^∞ f(x,y) dy

f_Y(y) = ∫_−∞^∞ f(x,y) dx

Expected value:

E[g(X,Y)] = ∫∫ g(x,y) f(x,y) dA

Gaussian multivariabel (penting untuk statistika dan pembelajaran mesin):

f(x) = (2π)^−n/2 |Σ|^−1/2 exp(−½ (x−μ)^TΣ⁻¹(x−μ))

9. Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Integral atas Persegi Panjang

Hitung ∫∫_R (x²+y) dA, R = [0,2]×[0,1].

Soal 2: Region Segitiga

Hitung ∫∫_D x dA, D dibatasi y=0, y=x, x=2.

Soal 3: Ubah Urutan Integrasi

Ubah urutan dan hitung ∫₀¹ ∫_x¹ sin(y²) dy dx.

Soal 4: Volume

Hitung volume di bawah z = 4−x²−y² di atas bidang xy (z≥0).

Soal 5: Luas Region

Hitung luas region D dibatasi oleh y = x² dan y = x.

Soal 6: Nilai Rata-rata

Hitung nilai rata-rata f(x,y) = xy pada persegi [0,2]×[0,2].

Soal 7: Polar Coordinates

Hitung ∫∫_D √(x²+y²) dA, D = disk radius 2 berpusat di origin.

Soal 8: Triple Integral — Spherical

Hitung ∫∫∫_E (x²+y²+z²) dV dengan E = bola unit (x²+y²+z² ≤ 1).

Soal 9: Centroid Setengah Disk

Hitung centroid setengah disk D = {(x,y) : x²+y² ≤ R², y ≥ 0}.

Koneksi ke Ilmu Komputer

Image Processing: Konvolusi 2D — (I ∗ K)(x,y) = ∫∫ I(u,v) K(x−u, y−v) du dv — adalah integral ganda. Gaussian blur, Sobel edge detection, dan setiap CNN layer mengaplikasikan integral ganda diskrit.

Probability & Marginalization: P(X∈D) = ∫∫_D f(x,y) dA. Marginal distributions diperoleh via integration. Bayesian inference: posterior ∝ likelihood × prior, normalized via integral di parameter space.

Monte Carlo Integration: Untuk integral berdimensi tinggi (n ≳ 6), MC sampling lebih efisien daripada quadrature: I ≈ (V/N)Σ f(x_i) dengan x_i sampel uniform — dasar untuk path tracing (graphics), policy gradient (RL), dan stochastic variational inference.

← P7: Max/Min & Lagrange P9: Integral Ganda di Polar →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 13.1–13.3. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 15.1–15.3.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Ref: Purcell 9e Bab 13.1–13.3 · Stewart 9e Bab 15.1–15.3 · Marsden-Tromba 6e Bab 5.1–5.3

Mudah (Easy) — Setup Integral Dasar

1. Hitung ∫∫_R 6xy dA, R = [1,2]×[0,1].

2. Hitung ∫∫_R (x + 2y) dA, R = [0,3]×[0,2].

3. Hitung luas daerah segitiga T: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x menggunakan integral iterasi.

4. Nyatakan volume di bawah z = 4 − x² − y² di atas R = [0,1]×[0,1] sebagai integral iterasi (tanpa menghitung).

Sedang (Medium) — Evaluasi dengan Teknik

1. Hitung ∫₀¹ ∫₀^x e^x² dy dx.

2. Hitung ∫∫_D y² dA, D adalah daerah antara y = x dan y = x² (0 ≤ x ≤ 1).

3. Tukar urutan integrasi: ∫₀¹ ∫_y¹ sin(x²) dx dy, lalu hitung.

4. Hitung nilai rata-rata f(x,y) = x²+y di atas R = [0,2]×[0,3].

Sulit (Hard) — Multi-step, Perubahan Variabel, Region Kompleks

1. Hitung ∫∫_D (x+y)² dA, D adalah disk x²+y² ≤ 1, menggunakan substitusi u=x+y, v=x−y.

2. Tukar urutan ∫₀¹∫_x^√x f(x,y) dy dx dan gambarkan region (SVG di bawah).

3. Hitung volume solid di bawah z = √(x²+y²) di atas daerah x²+y² ≤ 4 menggunakan integral iterasi Cartesian.

4. Gunakan Teorema Fubini untuk membalik urutan integrasi ∫₀^π∫_x^π (sin y)/y dy dx, lalu selesaikan.

Aplikasi (Mixed) — Massa, Fisika, Statistika

1. Massa & Centroid: Plat segitiga D: 0≤x≤1, 0≤y≤1−x, densitas ρ(x,y)=x+y. Hitung massa M dan koordinat centroid (x̄,ȳ).

2. Fisika — Momen Inersia: Lempengan persegi [0,a]×[0,a], densitas seragam ρ₀. Hitung momen inersia I_z = ∫∫(x²+y²)ρ₀ dA terhadap sumbu z.

3. Normalisasi Distribusi Gaussian: Konstanta normalisasi Gaussian 2D adalah ∫_−∞^∞∫_−∞^∞e^{−(x²+y²)/s²}dx dy. Hitung nilainya dengan mengubah ke koordinat polar, lalu simpulkan nilai integral Gauss 1D.