Kalkulus 3 — Pertemuan 10
Integral Lipat Tiga (Triple Integrals)
Dari integral ganda ke R³: Fubini 3D, koordinat silinder, koordinat bola, aplikasi massa/momen, dan volume bola berdimensi-n.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 13.5–13.7. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 15.6–15.8. — Marsden & Tromba, Vector Calculus 6th ed., Bab 5.5.
Dari 2D ke 3D — dan Melampaui
Integral ganda ∫∫ f dA menghitung volume di bawah permukaan. Integral lipat tiga ∫∫∫ f dV menghitung:
- Volume benda 3D (saat f=1)
- Massa benda (saat f = density ρ(x,y,z))
- Momen inersia, centroid, charge total
- Normalization constant distribusi probabilitas 3D
Kunci: pilih sistem koordinat yang tepat. Cartesian untuk kotak, silinder untuk tabung/kerucut, bola untuk sphere. Pilihan salah membuat integral jauh lebih sulit!
Analogi: Menimbang Objek 3D
Bayangkan sebuah bola besi tidak seragam — density lebih tinggi di inti. Untuk menghitung massanya:
1. Potong menjadi ribuan elemen kecil dV. 2. Kalikan density ρ(x,y,z) dengan dV untuk dapat dm. 3. Jumlahkan semua dm → integral triple.
Koordinat bola alami: dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ sudah mencerminkan geometri bola. Menggunakan Cartesian untuk bola = memotong durian dengan silet — bisa, tapi sangat tidak efisien!
1. Definisi & Teorema Fubini 3D
Definisi Integral Lipat Tiga
Makna: Jika f = 1, hasilnya = volume E. Jika f = ρ(x,y,z), hasilnya = massa. Jika f = muatan per unit volume, hasilnya = total muatan.
Teorema Fubini 3D
Untuk region E yang dapat dideskripsikan: a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x,y) ≤ z ≤ u2(x,y):
Ada 6 urutan integrasi yang mungkin (3! = 6). Pilih urutan yang membuat batas paling sederhana. Untuk kotak [a,b]×[c,d]×[e,f], semua 6 urutan setara.
2. Koordinat Silinder (r, θ, z)
Definisi & Elemen Volume
x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
x² + y² = r² (z tidak berubah)
dV = r dz dr dθ
Jacobian = r (sama seperti polar 2D). Koordinat z tetap. Ideal untuk: tabung (x²+y²≤R²), kerucut (z²≥x²+y²), paraboloid (z=x²+y²).
Visualisasi: Koordinat Silinder & Elemen Volume
Contoh: Volume Silinder x²+y² ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3
Cylindrical: 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 3
V = ∫02π ∫02 ∫03 r dz dr dθ
= ∫02π ∫02 3r dr dθ = ∫02π [3r²/2]02 dθ
= ∫02π 6 dθ
= 12π = π(2)²(3) ✓
3. Koordinat Bola (ρ, φ, θ)
Definisi & Elemen Volume Bola
x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ
ρ = √(x²+y²+z²), ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π
dV = ρ² sinφ · dρ dφ dθ
φ = sudut dari sumbu z positif (0 = arah atas, π = arah bawah). θ = sudut azimuthal di bidang xy.
INGAT: φ diukur dari sumbu z, BUKAN dari bidang xy! Range φ: [0, π], bukan [0, 2π].
Visualisasi: Koordinat Bola & Animasi Jacobian
4. Volume Bola (Step-by-Step)
Bola: x²+y²+z² ≤ R². Pilih spherical: ρ=jarak, φ=sudut dari z, θ=azimuthal.
Derivasi Lengkap Jacobian Spherical
x = ρsinφcosθ, y = ρsinφsinθ, z = ρcosφ
J = det[∂(x,y,z)/∂(ρ,φ,θ)]
= det | sinφcosθ ρcosφcosθ −ρsinφsinθ |
| sinφsinθ ρcosφsinθ ρsinφcosθ |
| cosφ −ρsinφ 0 |
Setelah ekspansi kofaktor: |J| = ρ² sinφ
Catatan: sinφ ≥ 0 untuk φ∈[0,π], jadi |J| = ρ²sinφ tanpa nilai absolut.
5. Pemilih Sistem Koordinat
Variabel: (x, y, z)
Elemen volume: dV = dx dy dz
Jacobian: 1
Konversi: Langsung — tidak perlu substitusi
Terbaik untuk: Region kotak/balok, tidak ada simetri khusus
Contoh: ∫₀¹ ∫₀² ∫₀³ xyz dz dy dx = 9/2
6. Volume Bola Berdimensi-n
Volume n-Ball (n-Dimensi)
Contoh: V1=2R, V2=πR², V3=4πR³/3, V4=π²R&sup4;/2, Vn→0 saat n→∞!
Paradoks: Volume bola unit maksimum di n=5 (≈5.264), lalu menurun ke 0 saat dimensi meningkat!
Kalkulator Volume n-Ball
V3(1) ≈ 6.28338
Formula menggunakan aproksimasi Γ. Volume n=5 unit ball ≈ 5.264 (maksimum global).
7. Aplikasi: Massa, Centroid, Momen Inersia
A. Massa Benda 3D
Untuk benda E dengan density ρ(x,y,z):
Centroid (center of mass):
B. Momen Inersia 3D
Aplikasi: rotasi benda tegar, giroskop, flywheel, analisis robot.
8. Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Triple Integral Cartesian (Box)
Hitung ∫01∫02∫03 xyz dz dy dx.
Soal 2: Volume Setengah Bola (Spherical)
Hitung volume setengah bola atas x²+y²+z² ≤ 9, z ≥ 0.
Soal 3: Massa Silinder dengan Density z (Cylindrical)
Massa silinder x²+y² ≤ 1, 0≤z≤2 dengan ρ(x,y,z) = z.
Soal 4: Volume Kerucut di Dalam Bola (Spherical)
Volume di dalam kerucut z = √(x²+y²) dan di dalam bola x²+y²+z² ≤ 4.
Soal 5: Volume antara Paraboloid dan Bidang (Cylindrical)
Volume antara z = x²+y² dan z = 4.
Soal 6: Momen Inersia Bola Padat (Spherical)
Hitung Iz = ∫∫∫E (x²+y²) dV untuk bola unit x²+y²+z² ≤ 1, density=1.
Soal 7: Integral Lipat Tiga dengan Batas Kompleks
Hitung ∫∫∫E z dV dimana E dibatasi x²+y²+z²≤4 dan z≥1.
Soal 8: Centroid Setengah Bola (Spherical)
Hitung z-coordinate centroid hemispere x²+y²+z²≤R², z≥0, density=1.
Koneksi ke Ilmu Komputer — Geometri Dimensi Tinggi
Monte Carlo 3D: Untuk integral lipat tiga kompleks (model 3D, distribusi fisik), Monte Carlo sampling lebih efisien: V ≈ (fraction sampled inside E) × bounding box volume. Dasar untuk ray-marching di computer graphics dan simulasi fisika.
Insight Utama P10
Integral lipat tiga = alat menghitung besaran fisik di ruang 3D. Pilihan koordinat (Cartesian/silinder/bola) sangat memengaruhi tingkat kesulitan. Di dimensi tinggi, volume bola satuan justru menyusut menuju nol — fenomena yang membuat algoritma pencarian tetangga terdekat kehilangan ketajaman.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Purcell 9e Bab 13.5–13.7 · Stewart 9e Bab 15.6–15.8 · Marsden-Tromba 6e Bab 5.5
Mudah (Easy) — Setup Integral Lipat Tiga
1. Hitung ∫01∫02∫03 xyz dz dy dx.
2. Hitung volume balok [0,2]×[0,3]×[0,4] menggunakan integral lipat tiga.
3. Setup (tanpa hitung) integral lipat tiga untuk volume tetrahedron x+y+z ≤ 1, x,y,z ≥ 0.
4. Hitung ∫∫∫E 2 dV, E: 0≤x≤1, 0≤y≤x, 0≤z≤y.
Sedang (Medium) — Evaluasi 3D dengan Koordinat Silinder/Bola
1. Hitung volume silinder x²+y² ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 5 menggunakan koordinat silinder.
2. Hitung ∫∫∫E z dV, E: bola x²+y²+z² ≤ 4, z ≥ 0 (setengah bola atas).
3. Setup integral lipat tiga di koordinat bola untuk daerah antara bola ρ=1 dan ρ=2, dengan φ∈[0,π/3].
4. Hitung nilai rata-rata f(x,y,z) = x²+y²+z² di atas bola ρ ≤ R.
Sulit (Hard) — Region 3D Kompleks, Perubahan Variabel
1. Hitung volume di antara paraboloid z = x²+y² dan bidang z = 4. Gunakan koordinat silinder.
2. Hitung massa bola x²+y²+z² ≤ a², densitas ρ(x,y,z) = √(x²+y²+z²) = ρ (koordinat bola).
3. Gunakan substitusi u=x/a, v=y/b, w=z/c untuk menghitung volume ellipsoid x²/a²+y²/b²+z²/c² ≤ 1.
4. Hitung ∫∫∫E z² dV, E: di dalam kerucut z=√(x²+y²) dan di bawah bola ρ=2 (koordinat bola).
Aplikasi (Mixed) — Massa 3D, Fisika & Bola Dimensi-n
1. Massa & Centroid 3D: Kerucut z = 1 − √(x²+y²), 0≤z≤1, densitas ρ=z. Hitung massa M.
2. Fisika — Momen Inersia Bola: Bola padat ρ≤R, densitas seragam ρ0. Hitung Iz = ∫∫∫(x²+y²)ρ0 dV.
3. Volume Bola Dimensi-n: Volume bola Bn(R) = πn/2Rn/Γ(n/2+1). Hitung rasio volume bola satuan terhadap kubus [−1,1]n yang membungkusnya untuk n = 2, 3, 10, dan 100. Apa yang terjadi saat n membesar?