Kalkulus 3 — Pertemuan 12

Integral Garis & Teorema Green

Teorema Green: menghubungkan integral garis di boundary (1D) dengan integral ganda di interior (2D). Pertama dari “trinitas besar” — Green, Stokes, Divergence.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 14.3. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 16.4. — Marsden & Tromba, Vector Calculus 6th ed., Bab 8.1–8.2.

Ide Besar: Boundary ↔ Interior

Teorema Green adalah generalisasi 2D dari Fundamental Theorem of Calculus. FTC 1D: ∫_a^b f′(x) dx = f(b)−f(a). Boundary = dua titik; “integral” di boundary = selisih nilai fungsi.

Green 2D: ∮_C = ∫∫_D. Boundary = kurva tertutup C; integral di boundary = line integral; interior = double integral “curl”.

Pola ini berulang di dimensi lebih tinggi: Green (2D) → Stokes (3D surface) → Divergence (3D volume). Semua mengatakan hal yang sama: integral di boundary = integral derivatif di interior.

Analogi: Audit Keuangan vs Saldo Akhir

Bayangkan audit keuangan: untuk tahu total perubahan uang di seluruh organisasi (interior D), Anda bisa melakukan dua cara:

1. Audit setiap divisi: hitung ∫∫ (aliran masuk − aliran keluar) per unit area di D.

2. Cek hanya pintu masuk/keluar: hitung ∮ aliran melewati boundary C.

Teorema Green: kedua cara menghasilkan angka yang sama! Ini adalah prinsip konservasi: apa yang terjadi di interior terekam sepenuhnya di boundary.

1. Teorema Green (Circulation Form)

Teorema Green

Jika C adalah kurva tertutup sederhana positif (CCW) yang membatasi region D, dan F = ⟨P, Q⟩ memiliki turunan parsial kontinu di D∪C:

∮_C P dx + Q dy = ∫∫_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA

Kiri: Line integral searah CCW di boundary C. Kanan: Double integral “curl 2D” = (∂Q/∂x − ∂P/∂y) di interior D.

Syarat & Batasan Teorema Green

Simple: C tidak memotong dirinya sendiri (bukan simpul).

Closed: C kembali ke titik awal (kurva tertutup).

Positif (CCW): Berjalan di C ⇒ D selalu di sebelah kiri.

P, Q smooth: Turunan parsial kontinu di D ∪ C.

Region berlubang: Jika D memiliki lubang (hole), tambahkan kurva batas dalam dengan orientasi searah jarum jam (CW).

Visualisasi: Boundary C ↔ Interior D

C bergerak CCW. Teorema Green = “semua informasi interior D terekam di boundary C”.

2. Sketsa Bukti Teorema Green

Ide Bukti (Type I Region)

Ide: buktikan untuk region sederhana (Type I & II), lalu gabungkan via aditifitas.

3. Curl 2D: Interpretasi Fisik

Curl 2D = Sirkulasi per Unit Area

Dari Teorema Green, untuk lingkaran kecil D_ε radius ε berpusat di (x₀, y₀):

(∂Q/∂x − ∂P/∂y)(x₀,y₀) = lim_ε→0 ∮_{C_ε} F·dr / (πε²)

Makna: Curl 2D = sirkulasi per satuan luas. Positif = fluida berputar CCW di sekitar titik (pusar). Nol = tidak ada rotasi (irrotational). Kunci untuk memahami aliran fluida dan medan elektromagnetik.

Visualisasi: Curl Positif vs Negatif vs Nol

4. Aplikasi Teorema Green

Menghitung Luas via Green

Area(D) = ∮_C x dy = −∮_C y dx = ½∮_C (x dy − y dx)

Pilih P=0, Q=x: ∂Q/∂x−∂P/∂y = 1. Maka ∮ x dy = ∫∫ 1 dA = Area(D). Hanya perlu informasi di boundary!

Flux Form (Divergence Theorem 2D)

∮_C F·n ds = ∫∫_D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dA = ∫∫_D div F dA

Total flux (aliran keluar) melalui boundary = integral divergensi di interior. Divergensi = “sumber” atau “sink” per unit area. Versi 2D dari Divergence Theorem (P13).

5. Eksplorasi Interaktif

Bentuk-Bentuk Teorema Green

Circulation Form (Curl 2D)

∮_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA

Sirkulasi F sepanjang boundary = integral curl F atas interior D

Jika ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 0 di D (konservatif), maka ∮ = 0.

Step-by-Step: Aplikasi Teorema Green

∮_C (y² dx + 3xy dy), C = boundary of [0,2]×[0,3] (CCW)

6. Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Terapkan Green Langsung

Hitung ∮_C (x²y dx + xy² dy), C = boundary lingkaran x²+y²=4 (CCW).

Soal 2: Luas Ellipse via Green

Hitung luas ellipse x²/a²+y²/b²=1 menggunakan Green’s theorem.

Soal 3: Menyederhanakan Integral Garis Sulit

∮_C (e^xsin y + 3y) dx + (e^xcos y + 2x) dy, C = boundary persegi [0,1]×[0,1].

Soal 4: Flux via Green (Divergence 2D)

Hitung flux ∮ F·n ds untuk F=⟨x², y²⟩ melalui lingkaran x²+y²=R².

Soal 5: Verifikasi Green — Kedua Sisi

Verifikasi Green untuk ∮ (2y dx + 5x dy), C = segitiga (0,0),(2,0),(0,2) CCW.

Soal 6: Luas Cardioid via Green

Hitung luas cardioid r = 1+cosθ menggunakan rumus Green A = ½∮(x dy−y dx).

Soal 7: Shoelace Formula

Hitung luas poligon dengan vertices (0,0), (4,0), (4,3), (1,3), (1,1), (0,1) menggunakan shoelace.

Soal 8: Green di Region Berlubang (Annulus)

Hitung ∮_C ⟨−y, x⟩·dr untuk C = C_out(r=2, CCW) − C_in(r=1, CW).

Koneksi ke Ilmu Komputer — Batas vs Interior & Geometri Komputasi

Shoelace & Computational Geometry: A = ½|∑(x_iy_i+1−x_i+1y_i)| adalah kasus diskret dari Green. Digunakan di: GIS (luas kawasan), collision detection, scan-line rendering, menentukan apakah titik di dalam polygon (ray casting).

Discrete Green’s Theorem (Graph): Pada Graf G = (V, E), analog diskret: ∑_{tepi di boundary} f ≈ ∑_{simpul interior} (∇²f). Digunakan di discrete calculus, mesh rendering, spectral graph theory.

Preview P13: Stokes & Divergence

Pola Teorema Green berulang di dimensi lebih tinggi:

Green (2D): ∮_∂D F·dr = ∫∫_D curl_z(F) dA

Stokes (3D surface): ∮_∂S F·dr = ∫∫_S (curl F)·dS

Divergence (3D vol): &oiint;_∂E F·dS = ∫∫∫_E div F dV

Semua adalah manifestasi dari teorema tunggal: generalized Stokes theorem ∫_∂M ω = ∫_M dω, dimana ω adalah differential form dan d adalah operator eksterior derivative.

7. Rangkuman & Checklist Penggunaan

Kapan Pakai Teorema Green?

✓Integral garis sepanjang kurva tertutup (CCW) yang batasnya region sederhana D.

✓Integrand “rumit” di line integral tapi curl-nya sederhana (atau konstan).

✓Menghitung luas region via batas (shoelace, area formula).

✗Kurva tidak tertutup — Green tidak langsung berlaku (perlu menutup kurva lebih dulu).

✗Region berlubang atau tidak simply connected — perlu boundary dalam dengan orientasi CW.

Generalisasi Penting

Teorema	Boundary	Interior	Formula
FTC 1D	2 titik {a,b}	[a,b]	∫f′=f(b)−f(a)
Green (2D)	Kurva C (1D)	Region D (2D)	∮=∬(Q_x−P_y)
Stokes (3D)	Kurva ∂S (1D)	Surface S (2D)	∮=∬curl F·dS
Divergence	Surface ∂E (2D)	Volume E (3D)	∯=∭div F dV

Insight Utama P12

Teorema Green adalah salah satu hasil paling fundamental di matematika: informasi di interior terekam di batas (boundary). Ini bukan kebetulan — prinsip yang sama muncul di fisika (elektromagnetisme Maxwell), geometri diferensial, topologi, dan geometri komputasi. Dari FTC 1D → Green 2D → Stokes 3D: semuanya satu teorema, hanya berbeda dimensi.

Quick Reference: Bentuk Berguna

Circulation: ∮ P dx+Q dy = ∫∫ (Q_x−P_y) dA

Flux: ∮ F·n ds = ∫∫ (P_x+Q_y) dA

Area: A = ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy−y dx)

Shoelace: A = ½|∑(x_iy_i+1−x_i+1y_i)|

Conservative: ∂Q/∂x = ∂P/∂y ⇒ ∮=0

Orientasi positif: D selalu di kiri saat jalan di C (CCW)

← P11: Integral Garis P13: Stokes & Divergence →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 14.3. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 16.4. — Marsden, J. & Tromba, A. (2012). Vector Calculus, 6th ed. W.H. Freeman, Bab 8.1–8.2.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Ref: Purcell 9e Bab 14.3 · Stewart 9e Bab 16.4 · Marsden-Tromba 6e Bab 8.1–8.2

Mudah (Easy) — Setup Green Dasar

1. Gunakan Green untuk hitung ∮_C y dx − x dy, C = boundary kotak [0,1]×[0,1] (CCW).

2. Hitung luas disk x²+y² ≤ R² menggunakan rumus Green A=(1/2)∮(x dy−y dx).

3. Verifikasi Green untuk ∮_C e^xcos y dx − e^xsin y dy dengan C any closed curve di R². Berapa nilainya?

4. Hitung luas ellipse x²/4+y²/9=1 menggunakan Green.

Sedang (Medium) — Green dengan Berbagai Region

1. Hitung ∮_C (y²dx+3xy dy) di mana C = boundary [0,2]×[0,3] (CCW).

2. Hitung ∮_C (−y³dx+x³dy), C=lingkaran x²+y²=4 (CCW). Gunakan Green.

3. Hitung flux ∮_CF·n ds, F=⟨x²,y²⟩, C=boundary segitiga (0,0),(1,0),(0,1) (CCW).

4. Gunakan Green untuk menghitung ∮_CF·dr, F=⟨x²y,xy²⟩, C=boundary segitiga (0,0),(2,0),(0,2) (CCW).

Sulit (Hard) — Green Terbalik, Region Berlubang, Orientasi

1. Gunakan Green TERBALIK: hitung ∫∫_D(e^{sin x}+y)dA, D=disk x²+y²≤1, dengan mengubah ke integral garis.

2. Green pada region berlubang: D adalah annulus 1≤r≤2, F=⟨y,x⟩. Hitung ∮_∂DF·dr (CCW luar, CW dalam).

3. Hitung ∮_C(x²y dx−xy²dy), C = lingkaran x²+y²=a² (CCW). Hasilkan dalam a.

4. Buktikan bahwa ∮_Cf ∇g·dr = ∫∫_D(fΔg+∇f·∇g)dA (Green's identity pertama) menggunakan Green's theorem (flux form).

Aplikasi (Mixed) — Fluks Vektor, Planimeter & Luas Jajaran Genjang

1. Fluid Flow: Medan kecepatan v=⟨x,−y⟩. Hitung flux keluar melalui persegi [0,1]×[0,1] menggunakan Green (flux form).

2. Planimeter Amsler: Instrumen mekanik menghitung luas dengan menelusuri boundary. Teori: A=(1/2)|∮(x dy−y dx)|. Hitung luas segiempat (0,0),(3,0),(3,2),(0,2) secara manual.

3. Luas Jajaran Genjang lewat Teorema Green: Jajaran genjang dibangun oleh vektor b₁=⟨a,b⟩ dan b₂=⟨c,d⟩. Buktikan dengan rumus shoelace (bentuk diskret Teorema Green) bahwa luasnya = |ad − bc| = |det B|.