Kalkulus 3 — Pertemuan 2

Dot Product & Cross Product

Dua operasi perkalian vektor: dot product mengukur keselarasan arah, cross product menghasilkan vektor tegak lurus.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 11.3–11.4. — Marsden & Tromba, Vector Calculus 6th ed., Ch. 1.3–1.4.

Mengapa Dua Jenis Perkalian?

Bilangan real hanya memiliki satu perkalian. Vektor memiliki dua, masing-masing menjawab pertanyaan berbeda: dot product menjawab “seberapa searah?” (hasilnya skalar), cross product menjawab “apa vektor tegak lurusnya?” (hasilnya vektor). Kedua operasi ini digunakan secara intensif di fisika, grafika komputer, dan pengolahan sinyal.

1. Dot Product (Perkalian Titik)

Definisi (Dot Product / Inner Product)

Untuk a = ⟨a₁, a₂, a₃⟩ dan b = ⟨b₁, b₂, b₃⟩:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ (hasilnya SKALAR)

Teorema (Interpretasi Geometris)

a · b = ||a|| · ||b|| · cos θ

dimana θ ∈ [0, π] adalah sudut antara a dan b. Dari sini: cos θ = (a·b) / (||a|| ||b||).

Makna Mendalam: Proyeksi

Dot product mengukur “seberapa banyak a searah dengan b”:

Scalar projection: comp_ba = (a·b) / ||b||

Vector projection: proj_ba = [(a·b) / ||b||²] b

Bayangkan sinar matahari tegak lurus b: bayangan a pada garis b adalah proyeksi vektor.

Visualisasi: Sudut & Proyeksi

Teorema (Ortogonalitas)

a · b = 0 ⇔ a ⊥ b (untuk a, b ≠ 0)

Dua vektor non-zero ortogonal jika dan hanya jika dot product-nya nol (karena cos 90° = 0).

Sifat-sifat Dot Product

1. a·b = b·a (komutatif)

2. a·(b+c) = a·b + a·c (distributif)

3. (ca)·b = c(a·b) (homogen)

4. a·a = ||a||² ≥ 0

5. |a·b| ≤ ||a|| ||b|| (Cauchy–Schwarz)

2. Cross Product (Perkalian Silang)

Definisi (Cross Product) — Hanya di R³

Untuk a, b ∈ R³:

a×b = ⟨a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁⟩

Hasilnya adalah vektor yang tegak lurus terhadap KEDUA a dan b.

Teorema (Magnitude & Makna Geometris)

||a×b|| = ||a|| · ||b|| · sin θ

Makna: magnitude cross product = luas jajargenjang yang dibentuk oleh a dan b.

Arah ditentukan oleh right-hand rule: jari-jari curl dari a ke b, ibu jari menunjuk arah a×b.

Visualisasi: Cross Product & Luas Jajargenjang

Peringatan: Sifat yang BERBEDA dari Perkalian Biasa

ANTIKOMUTATIF: a×b = −(b×a) — urutan PENTING! Membalik urutan mengubah tanda.

BUKAN ASOSIATIF: (a×b)×c ≠ a×(b×c) pada umumnya.

Self-cross = 0: a×a = 0 karena sin 0° = 0.

Distributif OK: a×(b+c) = a×b + a×c

Determinan & Cross Product

Cross product dapat dihitung sebagai determinan formal:

a×b = | i j k | = i(a₂b₃−a₃b₂) − j(a₁b₃−a₃b₁) + k(a₁b₂−a₂b₁)

Tabel Cross Product Vektor Basis

×	i	j	k
i	0	k	−j
j	−k	0	i
k	j	−i	0

Cyclic: i×j=k, j×k=i, k×i=j. Anti-cyclic: tanda negatif.

3. Scalar Triple Product

Teorema (Scalar Triple Product)

a · (b×c) = det [a | b | c]

Hasilnya = volume parallelepiped yang dibentuk oleh a, b, c (dengan tanda).

Jika a·(b×c) = 0, maka a, b, c coplanar (terletak di satu bidang).

4. Aplikasi Penting

Kerja (Work)

W = F · d

Hanya komponen gaya yang searah perpindahan melakukan kerja.

Torsi (Torque)

τ = r × F

Momen gaya; arah torsi tegak lurus bidang r-F.

Luas Segitiga

A = ½ ||AB×AC||

Setengah luas jajargenjang dari dua sisi.

Normal Bidang

n = AB×AC

Vektor normal bidang yang memuat A, B, C.

5. Kalkulator Interaktif

Kalkulator Dot Product

a = ⟨,,⟩

b = ⟨,,⟩

a·b = 5

||a|| = 3.1623, ||b|| = 2.2361

cos θ = 0.707107, θ = 45.00°

comp_ba = 2.2361, comp_ab = 1.5811

Kalkulator Cross Product

a = ⟨,,⟩

b = ⟨,,⟩

a×b = ⟨0, 0, 1⟩

||a×b|| = 1.0000 (= luas jajargenjang)

Verifikasi ⊥: (a×b)·a = 0.0000, (a×b)·b = 0.0000

6. Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Sudut antara Dua Vektor

Tentukan sudut antara a = ⟨1, 2, 3⟩ dan b = ⟨4, −5, 6⟩.

Soal 2: Ortogonalitas

Tentukan c agar ⟨2, c, −1⟩ tegak lurus ⟨1, 3, 5⟩.

Soal 3: Proyeksi Vektor

Hitung proj_ba untuk a = ⟨3, −1, 2⟩ dan b = ⟨1, 1, 1⟩.

Soal 4: Cross Product

Hitung ⟨2, 3, 4⟩ × ⟨5, 6, 7⟩ dan verifikasi.

Soal 5: Luas Segitiga

Hitung luas segitiga vertices A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

Soal 6: Volume Parallelepiped

Volume parallelepiped oleh a=⟨1,0,−1⟩, b=⟨0,2,1⟩, c=⟨3,1,0⟩.

Koneksi ke Ilmu Komputer

Graphics: Dot product untuk lighting (Lambert cosine), cross product untuk surface normals dan backface culling.

ML / NLP: Cosine similarity = dot product of unit vectors. Digunakan di word embeddings, recommendation systems.

← P1: Vektor di R² dan R³ P3: Garis, Bidang, Permukaan →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 11.3–11.4. — Marsden, J.E. & Tromba, A.J. (2012). Vector Calculus, 6th ed. W.H. Freeman.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Ref: Purcell 9e Bab 11.3–11.4 • Stewart 9e Bab 12.3–12.4 • Marsden-Tromba 6e Ch. 1

Mudah — Dot & Cross Product Dasar

M1. Dot Product Standar

u=⟨2,−1,3⟩, v=⟨4,2,−1⟩. Hitung u·v.

M2. Cross Product Standar

a=⟨1,2,3⟩, b=⟨0,1,−1⟩. Hitung a×b.

M3. Sudut via Dot Product

Cari sudut antara p=⟨1,0,1⟩ dan q=⟨0,1,1⟩.

M4. Luas Segitiga via Cross Product

Segitiga: A(0,0,0), B(2,0,0), C(1,2,0). Hitung luas.

Sedang — Kombinasi Konsep

S1. Cosine Similarity (ML)

Word embedding: king=⟨3,1,0⟩, queen=⟨2,2,1⟩. Hitung cosine similarity.

S2. Triple Product Skalar

a=⟨1,0,0⟩, b=⟨0,2,0⟩, c=⟨0,0,3⟩. Hitung a·(b×c) dan interpretasi geometrisnya.

S3. Verifikasi Identitas BAC-CAB

Verifikasi a×(b×c) = b(a·c) − c(a·b) untuk a=i, b=j, c=k.

S4. Normal Bidang dan Jarak Titik

Bidang lewat A(1,0,0) dengan normal n=⟨2,3,−1⟩. Hitung jarak B(4,−1,2) ke bidang.

Sulit — Multi-Step Strategy

H1. Bidang dari Tiga Titik + Interseksi Garis

P(1,2,3), Q(4,0,1), R(2,1,0). Cari persamaan bidang. Apakah garis parametrik (t, 2t, 3t) memotong bidang ini?

H2. Bidang Sejajar & Jarak + Visualisasi SMIL

Dua bidang: 3x−y+2z=5 dan 3x−y+2z=14. Buktikan mereka sejajar dan hitung jaraknya.

H3. Garis Potong Dua Bidang

Cari persamaan parametrik garis persimpangan bidang x+y+z=6 dan 2x−y+3z=14.

H4. Ortogonalisasi Gram-Schmidt

Diberikan basis b₁=⟨2,1⟩, b₂=⟨3,5⟩. Hitung koefisien proyeksi μ = (b₂·b₁)/‖b₁‖², lalu bentuk b₂* = b₂ − μb₁. Tunjukkan bahwa b₂* tegak lurus b₁, lalu hitung luas jajaran genjangnya.

Aplikasi / Mixed

A1. Physics: Kerja dan Energi

Gaya F=⟨3,2,−1⟩ N mendorong objek dari (0,0,0) ke (2,3,1) m. Hitung kerja W = F·d.

A2. Computer Graphics: Backface Culling

Triangle normal n=⟨0,0,1⟩. Camera view direction v=⟨0.2,0.1,−0.9⟩. Apakah triangle visible (front-facing)?

A3. Kualitas Basis & Kestabilan Numerik

Bandingkan hasil kali norma terhadap luas jajaran genjang, δ = ‖b₁‖‖b₂‖/|det B|, untuk basis ⟨⟨1,0⟩,⟨0,1⟩⟩ dan ⟨⟨5,0⟩,⟨3,4⟩⟩. Basis mana yang lebih "baik" secara numerik, dan mengapa?