Kalkulus 3 — Pertemuan 5

Turunan Parsial

Laju perubahan fungsi multivariabel saat hanya satu variabel berubah — fondasi untuk gradien, optimisasi, dan PDE.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 12.3–12.4. — Stewart, Calculus 9th ed., Bab 14.3–14.4.

Dari Turunan ke Turunan Parsial

Di Kalkulus 1, f′(x) mengukur laju perubahan f terhadap x. Untuk f(x,y), kita punya dua arah perubahan independen: sepanjang x (dengan y tetap) dan sepanjang y (dengan x tetap). Ini memberikan dua turunan parsial: ∂f/∂x dan ∂f/∂y.

Turunan parsial adalah building block untuk gradient, directional derivative, tangent plane, chain rule multivariabel, dan seluruh teori optimisasi.

1. Definisi Turunan Parsial

Definisi

∂f/∂x = f_x(x,y) = lim_h→0 [f(x+h, y) − f(x,y)] / h

∂f/∂y = f_y(x,y) = lim_h→0 [f(x, y+h) − f(x,y)] / h

Makna Mendalam

∂f/∂x = laju perubahan f saat kita bergerak di arah x sambil membekukan y. Secara geometris: kemiringan irisan permukaan oleh bidang y = konstan.

∂f/∂y = laju perubahan f saat kita bergerak di arah y sambil membekukan x. Secara geometris: kemiringan irisan permukaan oleh bidang x = konstan.

Visualisasi: Irisan Permukaan

Cara Menghitung: Praktis

Untuk ∂f/∂x:

Perlakukan y sebagai konstanta, lalu turunkan terhadap x menggunakan aturan turunan biasa.

Untuk ∂f/∂y:

Perlakukan x sebagai konstanta, lalu turunkan terhadap y menggunakan aturan turunan biasa.

Contoh: f(x,y) = x³y + 2xy² + y

∂f/∂x = 3x²y + 2y² (y sebagai konstanta)

∂f/∂y = x³ + 4xy + 1 (x sebagai konstanta)

2. Turunan Parsial Orde Tinggi

Empat Turunan Parsial Orde Dua

f_xx = ∂²f/∂x² = ∂/∂x(∂f/∂x)

f_yy = ∂²f/∂y² = ∂/∂y(∂f/∂y)

f_xy = ∂²f/∂y∂x = ∂/∂y(∂f/∂x)

f_yx = ∂²f/∂x∂y = ∂/∂x(∂f/∂y)

Teorema Clairaut (Kesamaan Mixed Partials)

f_xy = f_yx

asalkan f_xy dan f_yx kontinu di titik tersebut. Untuk fungsi-fungsi yang biasa ditemui (polinomial, eksponensial, trigonometri, dan komposisinya), teorema ini selalu berlaku.

Implikasi: Urutan diferensiasi tidak penting — sangat menyederhanakan perhitungan.

Counter-example Schwarz: Ketika Clairaut Gagal

Pertimbangkan fungsi piecewise klasik:

f(x,y) = xy(x² − y²)/(x² + y²), jika (x,y) ≠ (0,0)

f(0,0) = 0

Hitung di origin via definisi limit:

f_x(0,y) = −y (untuk y ≠ 0)

f_y(x,0) = x (untuk x ≠ 0)

∂/∂y[f_x(0,y)]|_y=0 = ∂/∂y(−y) = −1

∂/∂x[f_y(x,0)]|_x=0 = ∂/∂x(x) = +1

f_xy(0,0) = −1 ≠ +1 = f_yx(0,0) ✗

Mengapa? Mixed partials f_xy dan f_yx ada di setiap titik, tetapi tidak kontinu di (0,0). Hipotesis Clairaut gagal → kesimpulan tidak berlaku. Ini menunjukkan bahwa kekontinuan turunan kedua bukan formalitas — tanpanya, urutan diferensiasi benar-benar penting.

3. Bidang Singgung (Tangent Plane)

Teorema (Bidang Singgung)

Bidang singgung permukaan z = f(x,y) di titik (a, b, f(a,b)):

z = f(a,b) + f_x(a,b)(x−a) + f_y(a,b)(y−b)

Ini adalah linear approximation — analog Taylor orde-1 untuk dua variabel. Vektor normal bidang singgung = ⟨f_x, f_y, −1⟩.

Visualisasi: Bidang Singgung pada Permukaan

Diferensial Total

dz = f_x dx + f_y dy

Aproksimasi perubahan z ketika x berubah Δx dan y berubah Δy: Δz ≈ f_xΔx + f_yΔy.

Animasi: Tali-Busur → Garis Singgung saat h → 0

Saat h → 0, titik Q meluncur menuju P, dan garis sekan PQ berputar hingga berimpit dengan garis singgung. Slope sekan = [f(a+h, b) − f(a,b)]/h → f_x(a,b).

4. Differentiability vs Continuity vs Existence of Partials

Definisi Formal Differentiability

f(x,y) differentiable di (a,b) jika terdapat konstanta A, B sehingga:

f(a+h, b+k) = f(a,b) + A·h + B·k + ε(h,k)·√(h²+k²)

dengan ε(h,k) → 0 saat (h,k) → (0,0). Jika ada, A = f_x(a,b) dan B = f_y(a,b).

Intuisi: error linear approximation harus mengecil lebih cepat daripada jarak ke (a,b) — ini lebih kuat daripada sekadar “eksis turunan parsial”.

Hierarchy (Implikasi Searah)

Differentiable ⇒ Continuous & Partials Exist

Tetapi: sebaliknya tidak benar! Eksistensi partial derivatives tidak menjamin kekontinuan, apalagi differentiability.

Counter-example: Partials Exist tapi f Tidak Kontinu

f(x,y) = xy/(x²+y²), (x,y) ≠ (0,0)

f(0,0) = 0

Partials di origin (sepanjang sumbu):

f_x(0,0) = lim_h→0 [f(h,0) − 0]/h = lim_h→0 0/h = 0 ✓

f_y(0,0) = lim_k→0 [f(0,k) − 0]/k = 0 ✓

Tetapi f tidak kontinu di (0,0):

Jalur y = x: f(x,x) = x²/(2x²) = 1/2 ≠ f(0,0) = 0

Eksis kedua partials, tetapi f bahkan tidak kontinu — apalagi differentiable!

Pelajaran: turunan parsial hanya “melihat” perilaku f sepanjang sumbu. Untuk differentiability, kita butuh approximation linier yang baik di semua arah simultaneously.

Teorema Kondisi Cukup (Sufficient Condition)

Jika f_x dan f_y eksis dan kontinu di neighborhood (a,b), maka f differentiable di (a,b).

Catatan: Sebagian besar fungsi praktis (polinomial, exp, log, trig dan komposisinya) memiliki partials kontinu → otomatis differentiable. Tapi konstruksi piecewise patologis dapat menggagalkan kondisi ini.

5. Aplikasi: Persamaan Diferensial Parsial (PDE)

Mengapa PDE Penting?

PDE adalah persamaan yang melibatkan turunan parsial fungsi yang tidak diketahui — bahasa alam untuk mendeskripsikan medan, gelombang, aliran panas, difusi, dan dinamika fluida. Tiga PDE klasik menjadi contoh utamanya.

Persamaan Laplace: ∇²f = 0

f_xx + f_yy = 0 (2D) atau f_xx + f_yy + f_zz = 0 (3D)

Solusi disebut fungsi harmonik. Aplikasi:

Elektrostatika: potensial listrik V di ruang bebas muatan memenuhi ∇²V = 0.
Aliran fluida tak-mampat tak-rotasional: potensial kecepatan harmonik.
Heat equation steady-state: jika ∂u/∂t = 0, persamaan panas direduksi ke Laplace.
Mean Value Property: nilai f di pusat bola = rata-rata pada permukaan bola.

Contoh harmonik: e^xcos y, e^xsin y, ln(x²+y²), x³ − 3xy².

Persamaan Panas (Heat Equation): ∂u/∂t = α∇²u

∂u/∂t = α ∂²u/∂x² (1D)

Interpretasi: u(x,t) = suhu pada posisi x dan waktu t. α > 0 = difusivitas termal. Persamaan ini parabolik — memuluskan ketidakteraturan seiring waktu.

Solusi fundamental (Gaussian):

u(x,t) = (1/√(4παt)) exp(−x²/(4αt))

Suhu impuls Dirac di t=0 menyebar membentuk lonceng Gaussian yang melebar ∝ √t.

Aplikasi modern: diffusion models (Stable Diffusion, DALL·E), image denoising (anisotropic diffusion), heat-flow regularization.

Persamaan Gelombang (Wave Equation): ∂²u/∂t² = c²∇²u

u_tt = c² u_xx (1D, c = kecepatan rambat)

Interpretasi: u(x,t) = perpindahan gelombang. Hyperbolic PDE — mempertahankan informasi (tidak seperti heat equation yang menghapusnya).

Solusi d’Alembert (1D):

u(x,t) = F(x − ct) + G(x + ct)

Superposisi gelombang ke kanan (F) dan ke kiri (G) dengan kecepatan c.

Aplikasi: getaran senar (musik), akustik, propagasi cahaya (Maxwell → wave equation), seismik, EEG/MEG dynamics.

6. Kalkulator Interaktif

Turunan Parsial Otomatis

Pilih fungsi

f(x,y) = x²y³

∂f/∂x = 2xy³

∂f/∂y = 3x²y²

∂²f/∂x² = 2y³

∂²f/∂y² = 6x²y

∂²f/∂x∂y = 6xy²

∂²f/∂y∂x = 6xy² ✓ (Clairaut)

Tangent Plane untuk z = x² + y²

Titik singgung: a =, b =

f(1,1) = 2

f_x(1,1) = 2(1) = 2

f_y(1,1) = 2(1) = 2

z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1)

7. Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Turunan Parsial Dasar

Hitung f_x dan f_y untuk f(x,y) = x³sin y + ye^x.

Soal 2: Verifikasi Clairaut

Untuk f(x,y) = x²e^y + cos(xy), verifikasi f_xy = f_yx.

Soal 3: Bidang Singgung

Tentukan persamaan bidang singgung z = x²y + xy³ di (1,1,2).

Soal 4: Diferensial Total

Gunakan diferensial untuk estimasi perubahan f(x,y) = x²y dari (3,4) ke (3.01, 3.98).

Soal 5: PDE Sederhana

Verifikasi bahwa f(x,y) = e^xsin y memenuhi Laplace equation: f_xx + f_yy = 0.

Soal 6: Turunan Parsial Implisit

Jika x² + y² + z² = 25, hitung ∂z/∂x.

Soal 7: Verifikasi Wave Equation

Verifikasi bahwa u(x,t) = sin(x − ct) memenuhi wave equation u_tt = c²u_xx.

Soal 8: Mixed Partial Counter-example

Untuk f(x,y) = xy(x²−y²)/(x²+y²) jika (x,y)≠(0,0), 0 jika (0,0). Hitung f_x(0,y) untuk y≠0.

Soal 9: Differentiability Check

Apakah f(x,y) = √(|xy|) differentiable di (0,0)? Hitung f_x(0,0), f_y(0,0), lalu uji along y=x.

Koneksi ke Ilmu Komputer

Backpropagation: Training neural network = menghitung ∂Loss/∂w_i untuk setiap weight w_i. Ini adalah turunan parsial dalam ruang berdimensi jutaan!

Automatic Differentiation: PyTorch/TensorFlow menghitung turunan parsial secara otomatis menggunakan chain rule dan computational graph.

← P4: Fungsi Multivariabel & Limit P6: Gradient & Turunan Berarah →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 12.3–12.4. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 14.3–14.4.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Ref: Purcell 9e Bab 12.3–12.4 • Stewart 9e Bab 14.3–14.4 • Marsden-Tromba 6e Ch. 3

Mudah — Turunan Parsial Dasar

M1. Parsial Polinom

f(x,y) = 3x²y − xy³ + 5y. Hitung f_x, f_y.

M2. Parsial Fungsi Eksponensial

g(x,y) = e^xy. Hitung g_x, g_y, g_xx.

M3. Chain Rule Satu Rantai

z = x² + y², x = cos t, y = sin t. Hitung dz/dt.

M4. Bidang Singgung Dasar

f(x,y) = x² + y². Bidang singgung di (1,2,5)?

Sedang — Kombinasi Konsep

S1. Turunan Parsial Campuran + Clairaut

Verifikasi f_xy = f_yx untuk f(x,y) = x³y² − ln(xy).

S2. Chain Rule Dua Parameter (s,t)

w = x²+2yz, x=s+t, y=st, z=s−t. Hitung ∂w/∂s di (s,t)=(1,2).

S3. Diferensial Total + Estimasi Error

Volume silinder V = πr²h. Jika r diukur 5 cm ±0.05 cm dan h = 10 cm ±0.1 cm, estimasi error maksimum dV.

S4. Parsial Implisit

F(x,y,z) = x²yz + e^z − 1 = 0. Hitung ∂z/∂x menggunakan implicit differentiation.

Sulit — Multi-Step + Visualisasi Bidang Singgung

H1. Bidang Singgung + SVG Visualization

z = sin(πx/2) cos(πy/2). Hitung bidang singgung di (1,0,0). Visualisasikan.

H2. Higher-Order Partial + PDE

Verifikasi f(x,t) = sin(x)e^−t memenuhi heat equation f_t = f_xx.

H3. Chain Rule Komposisi Kompleks

u = f(x,y,z), x = r sinφ cosθ, y = r sinφ sinθ, z = r cosφ. Hitung ∂u/∂r secara umum.

H4. Jacobian Matrix Neural Network

Layer: f(x,y)=(x+y, xy). Hitung Jacobian J = ∂(f₁,f₂)/∂(x,y) di (2,3).

Aplikasi / Mixed

A1. Backpropagation (Chain Rule)

Loss L = (a−y)², a = σ(z), z = wx + b. Hitung ∂L/∂w via chain rule (backprop 1 neuron).

A2. Sensitivity Analysis Econometrics

Revenue R(p,q) = p·q(p) dengan elasticity ∂q/∂p = −2. Jika p = 10 dan q = 100, hitung ∂R/∂p (marginal revenue).

A3. Jacobian Transformasi Linear

Transformasi f(a,b) = (a+wb, a−wb) dipakai pada tahap "butterfly" algoritma FFT. Hitung matriks Jacobian-nya. Mengapa determinannya menentukan apakah transformasi ini dapat dibalik?