Kalkulus — Bagian 3

Kalkulus 3: Kalkulus Multivariabel & Vektor

Multivariable & Vector Calculus — memperluas kalkulus ke dimensi lebih tinggi: permukaan, gradient, integral lipat, dan teorema fundamental.

Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson Education.

A. Fungsi Multivariabel

1. Fungsi Dua dan Tiga Variabel

Fungsi multivariabel memetakan beberapa input ke satu output:

Dua Variabel

f: ℝ² → ℝ

z = f(x, y) — grafiknya adalah permukaan dalam ruang 3D.

Contoh: f(x,y) = x² + y² (paraboloid)

Tiga Variabel

f: ℝ³ → ℝ

w = f(x, y, z) — tidak bisa divisualisasikan langsung, tetapi level sets (permukaan level) bisa.

Contoh: f(x,y,z) = x² + y² + z² (bola)

2. Turunan Parsial (Partial Derivatives)

Turunan parsial mengukur laju perubahan f terhadap satu variabel sementara variabel lain dianggap konstan:

∂f/∂x = lim_h→0 [f(x+h, y) − f(x, y)] / h

Diferensialkan terhadap x, y konstan

∂f/∂y = lim_h→0 [f(x, y+h) − f(x, y)] / h

Diferensialkan terhadap y, x konstan

Contoh 1:

f(x, y) = x³y + 2xy² − 5y

∂f/∂x = 3x²y + 2y² (y diperlakukan konstan)

∂f/∂y = x³ + 4xy − 5 (x diperlakukan konstan)

Contoh 2: Turunan Parsial Orde Dua

f(x, y) = x²y³

f_x = 2xy³, f_y = 3x²y²

f_xx = 2y³, f_yy = 6x²y

f_xy = 6xy² = f_yx (Teorema Clairaut)

Contoh 3: Chain Rule Multivariabel

z = f(x, y), x = g(t), y = h(t). Tentukan dz/dt.

dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

3. Bidang Singgung dan Linearisasi

Bidang singgung permukaan z = f(x,y) di titik (a, b, f(a,b)):

z = f(a,b) + f_x(a,b)(x−a) + f_y(a,b)(y−b)

Contoh:

f(x,y) = x² + y². Bidang singgung di (1, 1, 2):

f_x = 2x → f_x(1,1) = 2

f_y = 2y → f_y(1,1) = 2

z = 2 + 2(x−1) + 2(y−1) = 2x + 2y − 2

B. Gradient, Divergensi, dan Curl

1. Vektor Gradient

Gradient dari f(x, y, z) adalah vektor yang menunjuk ke arah kenaikan tercepat:

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

Sifat-sifat Gradient

∇f menunjuk ke arah kenaikan tercepat
|∇f| = laju perubahan maksimum
∇f tegak lurus terhadap kurva/permukaan level
Turunan berarah: D_uf = ∇f · u

Contoh

f(x,y) = 3x² − 2xy + y²

∇f = (6x − 2y, −2x + 2y)

∇f(1,2) = (6−4, −2+4) = (2, 2)

Visualisasi: Medan Gradient f(x,y) = x² + y²

2. Divergensi (Divergence)

Untuk medan vektor F = (P, Q, R), divergensi mengukur "net outflow" di suatu titik:

div F = ∇ · F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z

div F > 0 → source (sumber)

Fluida mengalir keluar dari titik tersebut

div F < 0 → sink (lubang)

Fluida mengalir masuk ke titik tersebut

Contoh:

F = (x², xy, z)

∇ · F = 2x + x + 1 = 3x + 1

3. Curl (Rotasi)

Curl mengukur kecenderungan rotasi medan vektor di suatu titik:

curl F = ∇ × F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y)

Contoh:

F = (y, −x, 0)

∇ × F = (0−0, 0−0, −1−1) = (0, 0, −2)

Medan vektor ini berputar (clockwise dilihat dari atas).

Identitas Penting:

∇ × (∇f) = 0 — curl of gradient = zero
∇ · (∇ × F) = 0 — divergence of curl = zero

C. Integral Ganda dan Lipat Tiga

1. Integral Ganda (Double Integrals)

Integral ganda menghitung volume di bawah permukaan z = f(x,y) di atas daerah D:

∫∫_D f(x,y) dA = ∫_a^b ∫_g₁(x)^g₂(x) f(x,y) dy dx

Contoh 1: Integral Ganda Sederhana

∫∫_R (x + 2y) dA, R = [0,1] × [0,2]

= ∫₀¹ ∫₀² (x + 2y) dy dx

= ∫₀¹ [xy + y²]₀² dx = ∫₀¹ (2x + 4) dx

= [x² + 4x]₀¹ = 5

Contoh 2: Daerah Non-Persegi

∫∫_D x dA, D dibatasi y = 0, y = x, x = 1

= ∫₀¹ ∫₀^x x dy dx = ∫₀¹ x² dx

= [x³/3]₀¹ = 1/3

2. Koordinat Polar, Silinder, dan Bola

Polar (2D)

x = r cos θ

y = r sin θ

dA = r dr dθ

Silinder (3D)

x = r cos θ

y = r sin θ, z = z

dV = r dz dr dθ

Bola (3D)

x = ρ sin φ cos θ

y = ρ sin φ sin θ

z = ρ cos φ

dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ

Contoh: Integral Polar

Hitung ∫∫ e^−(x²+y²) dA atas cakram x²+y² ≤ 1

= ∫₀^2π ∫₀¹ e^−r² · r dr dθ

= 2π · [−(1/2)e^−r²]₀¹

= 2π · (1/2)(1 − 1/e) = π(1 − 1/e)

3. Integral Lipat Tiga (Triple Integrals)

∫∫∫_E f(x,y,z) dV

Contoh 1: Volume Bola

Hitung volume bola dengan radius R menggunakan koordinat bola.

V = ∫₀^2π ∫₀^π ∫₀^R ρ² sin φ dρ dφ dθ

= 2π · [−cos φ]₀^π · [ρ³/3]₀^R

= 2π · 2 · R³/3 = (4/3)πR³

Contoh 2: Integral Kartesian

∫₀¹ ∫₀^x ∫₀^y xyz dz dy dx

= ∫₀¹ ∫₀^x xy · [z²/2]₀^y dy dx = ∫₀¹ ∫₀^x xy³/2 dy dx

= ∫₀¹ x[y&sup4;/8]₀^x dx = ∫₀¹ x&sup5;/8 dx

= [x&sup6;/48]₀¹ = 1/48

D. Teorema Green, Stokes, dan Gauss

Ketiga teorema ini menghubungkan integral pada batas dengan integral pada interior — generalisasi dari Teorema Dasar Kalkulus ke dimensi lebih tinggi.

Teorema Green (2D)

Menghubungkan integral garis di kurva tertutup C dengan integral ganda atas daerah D yang dibatasinya:

∮_C (P dx + Q dy) = ∫∫_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA

Intuisi: "sirkulasi di sepanjang batas = total curl di interior"

Teorema Stokes (3D, Permukaan)

Generalisasi Green ke 3D — menghubungkan integral garis di batas permukaan S dengan integral permukaan curl F:

∮_C F · dr = ∫∫_S (∇ × F) · dS

Teorema Gauss / Divergence Theorem (3D, Volume)

Menghubungkan fluks melalui permukaan tertutup S dengan integral volume divergensi F:

∫∫_S F · dS = ∫∫∫_E (∇ · F) dV

Intuisi: "total fluks keluar dari permukaan = total source di dalam volume"

Hierarki: Teorema Dasar Kalkulus (1D) → Green (2D) → Stokes & Gauss (3D). Semuanya menyatakan prinsip yang sama: integral di batas = integral turunan di interior.

Contoh Soal: Teorema

Soal 1: Teorema Green

Hitung ∮_C (y dx − x dy) di mana C adalah lingkaran x² + y² = 4 (berlawanan arah jarum jam).

P = y, Q = −x → ∂Q/∂x − ∂P/∂y = −1 − 1 = −2

= ∫∫_D (−2) dA = −2 · π(2)²

= −8π

Soal 2: Divergence Theorem

Hitung fluks F = (x, y, z) melalui bola x²+y²+z² = 9.

∇ · F = 1 + 1 + 1 = 3

Fluks = ∫∫∫ 3 dV = 3 · (4/3)π(3)³

= 3 · 36π = 108π

E. Koneksi ke Ilmu Komputer

1. Gradient Descent Multi-Parameter

Dalam ML, model memiliki jutaan parameter. Loss function L(θ₁, θ₂, ..., θ_n) — gradient descent menggunakan vektor gradient:

θ ← θ − α · ∇L(θ)

Setiap komponen gradient ∂L/∂θ_i menunjukkan bagaimana parameter ke-i mempengaruhi loss. Ini persis turunan parsial dari Kalkulus 3!

2. Matriks Jacobian dalam Neural Networks

Jacobian adalah matriks semua turunan parsial dari transformasi vektor f: ℝⁿ → ℝ^m:

J = [∂f_i/∂x_j]_m×n

Setiap layer neural network adalah transformasi vektor. Backpropagation menghitung produk Jacobian secara efisien (Jacobian-vector products).

3. Matriks Hessian & Optimasi Orde Dua

Hessian H = [∂²f/∂x_i∂x_j] memberikan informasi kelengkungan (curvature) loss surface.

Newton's method: θ ← θ − H⁻¹ ∇L — konvergensi lebih cepat
Saddle points: Hessian mendeteksi titik pelana (eigenvalue campuran positif/negatif)
Digunakan di optimizer seperti L-BFGS dan natural gradient

4. Kalkulus Vektor dalam Simulasi Fisika

Game engine dan simulasi ilmiah menggunakan kalkulus vektor secara intensif:

Fluid Dynamics (Navier-Stokes)

Divergensi & curl aliran fluida

Electromagnetics (Maxwell)

∇ × E = −∂B/∂t

Computer Graphics

Normal vectors, surface shading

Robotics

Jacobian untuk inverse kinematics

5. Koneksi ke Bidang Lain

Kalkulus multivariabel dipakai luas di berbagai bidang:

Grafika & robotika: gradien, normal permukaan, dan Jacobian untuk transformasi koordinat
Continuous relaxation: Masalah diskret diaproksimasi di ruang kontinu untuk analisis keamanan
Statistika & pembelajaran mesin: distribusi Gaussian multivariabel, gradient descent, dan pengali Lagrange untuk optimasi berkendala

Contoh Soal Tambahan

Soal 1: Gradient & Directional Derivative

f(x,y) = x²y − 3xy³. Tentukan turunan berarah di (2, −1) ke arah u = (3/5, 4/5).

∇f = (2xy − 3y³, x² − 9xy²)

∇f(2,−1) = (−4 − (−3), 4 − 18) = (−1, −14)

D_uf = (−1)(3/5) + (−14)(4/5) = −3/5 − 56/5 = −59/5

Soal 2: Titik Kritis Multivariabel

f(x,y) = x² + y² − 2x − 4y + 8. Tentukan titik kritis dan klasifikasikan.

f_x = 2x − 2 = 0 → x = 1

f_y = 2y − 4 = 0 → y = 2

Titik kritis: (1, 2)

f_xx = 2, f_yy = 2, f_xy = 0

D = f_xx·f_yy − (f_xy)² = 4 > 0, f_xx > 0

Minimum lokal di (1, 2), f(1,2) = 3

Soal 3: Lagrange Multipliers

Maksimumkan f(x,y) = xy dengan kendala x + y = 10.

∇f = λ∇g → (y, x) = λ(1, 1)

y = λ, x = λ → x = y

x + y = 10 → x = y = 5

f(5, 5) = 25 (maksimum)

Soal 4: Integral Ganda Polar

Hitung ∫∫ √(x² + y²) dA atas cakram x²+y² ≤ 4.

= ∫₀^2π ∫₀² r · r dr dθ = 2π ∫₀² r² dr

= 2π [r³/3]₀² = 16π/3

Referensi

Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th Edition. Pearson Education. Chapters 11–16.
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage Learning. Chapters 14–16.
Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep Learning. MIT Press. Ch. 4–6.
Marsden, J. E. & Tromba, A. J. (2012). Vector Calculus, 6th ed., W. H. Freeman.