Kalkulus 1 — Pertemuan 9
Aplikasi: Optimasi, Laju Terkait & L'Hopital
Menggunakan turunan untuk menyelesaikan masalah optimasi, laju terkait, aturan L'Hopital, aproksimasi linear, diferensial, dan metode Newton.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 3.5–3.7. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 4.4–4.7.
1. Masalah Optimasi (Optimization)
Panduan 3.5.1: Strategi Penyelesaian Optimasi (Purcell)
Langkah 1 — Gambar & Variabel: Gambar diagram, definisikan variabel, identifikasi apa yang di-maks/min-kan.
Langkah 2 — Fungsi Objektif: Tulis kuantitas yang ingin dioptimumkan sebagai fungsi satu variabel.
Langkah 3 — Constraint: Gunakan constraint (kendala) untuk eliminasi variabel sehingga objektif = f(satu variabel).
Langkah 4 — Domain: Tentukan domain fisik yang masuk akal (panjang > 0, dll.).
Langkah 5 — Diferensiasi: Hitung f', cari titik kritis, uji dengan turunan kedua atau ujung interval.
Langkah 6 — Jawab: Nyatakan jawaban dengan satuan, periksa masuk akal.
Contoh Klasik: Luas Maksimum dengan Pagar
Seorang petani memiliki 100 m pagar untuk memagari lahan persegi panjang yang satu sisinya berbatasan sungai. Berapa dimensi agar luas maksimum?
Constraint: x + 2y = 100 → y = (100 - x)/2
Objektif: A = xy = x(100 - x)/2 = 50x - x²/2
Domain: 0 < x < 100
A'(x) = 50 - x = 0 → x = 50, y = 25
A''(x) = -1 < 0 → maks ✓
Jawaban: x = 50 m, y = 25 m, A_max = 1250 m²
2. Laju Terkait (Related Rates)
Panduan 3.6.1: Strategi Related Rates (Purcell)
Langkah 1 — Gambar: Gambar diagram. Beri label variabel yang BERUBAH terhadap waktu t.
Langkah 2 — Identifikasi: Tuliskan informasi yang diberikan (rates yang diketahui: dx/dt, dll.) dan rate yang dicari.
Langkah 3 — Persamaan: Tulis persamaan yang menghubungkan variabel-variabel (geometri, fisika, dll.).
Langkah 4 — Diferensiasi Implisit: Diferensiasikan kedua ruas terhadap t (gunakan chain rule!).
Langkah 5 — Substitusi & Selesaikan: Masukkan nilai yang diketahui, selesaikan untuk rate yang dicari.
Contoh: Lingkaran Mengembang
Luas lingkaran bertambah 10 cm²/s. Berapa laju pertambahan jari-jari saat r = 5 cm?
3. Aturan L'Hopital (L'Hopital's Rule)
Teorema 3.7.1: Aturan L'Hopital (Purcell)
Jika limx→a f(x)/g(x) menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, dan jika:
Maka:
Berlaku juga untuk x → a⁺, x → a⁻, x → ∞, x → -∞.
Sketsa Bukti (untuk bentuk 0/0)
Andaikan f(a) = g(a) = 0 (setelah mendefinisikan ulang jika perlu).
limx→a f(x)/g(x) = limx→a [f(x) - f(a)] / [g(x) - g(a)]
= limx→a [f(x) - f(a)]/(x-a) · (x-a)/[g(x) - g(a)]
= limx→a [f(x) - f(a)]/(x-a) / limx→a [g(x) - g(a)]/(x-a)
= f'(a) / g'(a)
Bukti lengkap menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy (generalized MVT).
Bentuk Tak Tentu Lainnya
| Bentuk | Transformasi | Contoh |
|---|---|---|
| 0/0 | Langsung gunakan L'Hopital | lim sin x/x |
| ∞/∞ | Langsung gunakan L'Hopital | lim ln x/x |
| 0 · ∞ | Tulis sebagai f/(1/g) → 0/0 atau ∞/∞ | lim x·ln x |
| ∞ - ∞ | Samakan penyebut atau faktorkan | lim (1/sin x - 1/x) |
| 0⁰, 1^∞, ∞⁰ | Tulis y = f^g, ln y = g·ln f → L'Hopital | lim x^x, lim (1+1/x)^x |
4. Aproksimasi Linear (Linear Approximation)
Definisi 3.7.2: Linearisasi (Purcell)
Aproksimasi linear (linearisasi) dari f di x = a adalah:
Ini adalah garis singgung di x = a, digunakan sebagai "perkiraan terbaik" linear untuk f dekat a.
Visualisasi: Garis Singgung sebagai Aproksimasi
Interaktif: Aproksimasi √x dekat a
f(x) = √x, f'(x) = 1/(2√x)
f(a) = √1 = 1
f'(a) = 1/(2√1) = 0.5
Aproksimasi: 1.025
Nilai eksak: √1.05 = 1.024695
Error: 0.00030492
5. Diferensial (Differentials)
Definisi 3.7.3: Diferensial (Purcell)
Jika y = f(x) terdiferensialkan, maka:
di mana dx = Δx (perubahan kecil pada x), dan dy ≈ Δy (perkiraan perubahan pada y).
Visualisasi: dy vs Δy
dy = f'(x)dx adalah perubahan pada GARIS SINGGUNG, sedangkan Δy = f(x+dx) - f(x) adalah perubahan SEBENARNYA pada kurva. Untuk dx kecil, dy ≈ Δy.
6. Metode Newton (Newton's Method)
Algoritma 3.7.4: Metode Newton-Raphson (Purcell)
Untuk mencari akar f(x) = 0, mulai dari tebakan awal x₀, iterasi:
Interpretasi geometris: xn+1 adalah titik potong GARIS SINGGUNG di (xn, f(xn)) dengan sumbu-x.
Koneksi Metode Numerik: Metode Newton adalah topik utama di mata kuliah Metode Numerik (MetNum). Konvergensi kuadratik: error di iterasi berikutnya ≈ (error sekarang)². Sangat cepat jika x₀ dekat akar.
Visualisasi: Iterasi Newton untuk f(x) = x³ - 2
Interaktif: Iterasi Newton untuk f(x) = x³ - 2
| n | x_n | f(x_n) | f'(x_n) | x_{n+1} |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.5 | 1.375 | 6.75 | 1.2962963 |
| 1 | 1.2962963 | 0.17827567 | 5.0412 | 1.26093222 |
| 2 | 1.26093222 | 0.00481929 | 4.7699 | 1.25992186 |
| 3 | 1.25992186 | 0.00000386 | 4.7622 | 1.25992105 |
| 4 | 1.25992105 | 0 | 4.7622 | 1.25992105 |
| 5 | 1.25992105 | 0 | 4.7622 | 1.25992105 |
Perhatikan konvergensi kuadratik: jumlah digit benar kira-kira berlipat ganda setiap iterasi!
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Optimasi — Luas Maksimum
Dari selembar karton persegi 12×12 cm, dipotong persegi kecil di tiap sudut lalu dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Berapa ukuran potongan agar volume kotak maksimum?
Soal 2: Biaya Minimum
Sebuah kaleng silinder harus memiliki volume 1000 cm³. Biaya bahan tutup/alas 2x lipat dari badan. Tentukan dimensi agar biaya minimum.
Soal 3: Related Rates
Sebuah tangga 10 m bersandar di dinding. Kaki tangga bergeser 1 m/s. Berapa kecepatan puncak tangga turun saat kaki 6 m dari dinding?
Soal 4: L'Hopital
Hitung limx→0 (eˣ - 1 - x) / x²
Soal 5: L'Hopital Bentuk ∞/∞
Hitung limx→∞ (ln x) / √x
Soal 6: Newton's Method
Gunakan metode Newton dengan x₀ = 1 untuk mencari akar x³ + x - 3 = 0 (3 iterasi).
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Topik: Teknik Integrasi (Substitusi, IBP, Parsial) — Purcell 9e Bab 4.2–4.6 & Stewart 9e Bab 5.5–7.2
Mudah (Easy)
E1. Hitung ∫ (4x+3)⁵ dx menggunakan substitusi u = 4x+3
E2. Hitung ∫ cos(5x) dx
E3. Hitung ∫ 3x²·e^(x³) dx
E4. Hitung ∫ x/(x²+1) dx
Sedang (Medium)
M1. Hitung ∫₀¹ x·e^(−x²) dx (substitusi + batas)
M2. Hitung ∫ tan x dx
M3. Hitung ∫ x²·e^x dx menggunakan IBP dua kali
M4. Hitung ∫ sin³x dx menggunakan identitas
Sulit (Hard)
H1. Hitung ∫ 1/(x²+4x+5) dx menggunakan completing the square + arctan
H2. Hitung ∫ x³/(x²−1) dx menggunakan pembagian polinomial + partial fractions
H3. Hitung ∫ √(1−x²) dx menggunakan substitusi trigonometri x = sinθ
H4. Hitung ∫ eˣ·cos x dx (IBP siklis)
Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)
MX1. Volume benda putar — y=√x diputar mengelilingi sumbu x pada [0,4]
MX2. Fisika — Muatan listrik: q(t) = ∫₀² i(t)dt, i(t) = 3t² + 2t (Ampere)
MX3. Aplikasi — Panjang busur kurva y = x^(3/2) pada [0,1] (arc length)