Kalkulus 1 — Pertemuan 12
Teknik Integrasi Lanjut
Lima teknik utama: substitusi lanjut, integral parsial, integral trigonometri, substitusi trigonometri, dan pecahan parsial.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 7.1–7.4. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 7.1–7.4.
1. Substitusi-u Lanjut
Substitusi-u dasar sudah dibahas di P10. Sekarang kita perluas ke kasus yang memerlukan manipulasi aljabar lebih lanjut.
Tips memilih u:
1. Fungsi "dalam" (argumen fungsi komposit)
2. Bagian yang pangkatnya tinggi atau paling rumit
3. Penyebut pada fungsi rasional sederhana
4. Kadang perlu manipulasi: ∫tan x dx → ∫(sin x/cos x)dx, u = cos x
Contoh: ∫tan x dx
∫tan x dx = ∫(sin x / cos x) dx
Substitusi: u = cos x, du = -sin x dx
= ∫(-1/u) du = -ln|u| + C = -ln|cos x| + C
= ln|sec x| + C
2. Integral Parsial (Integration by Parts)
Teorema 7.1.1: Integral Parsial (Purcell)
Jika u dan v terdiferensialkan, maka:
Asal usul: Dari aturan produk d(uv) = u·dv + v·du → u·dv = d(uv) - v·du → integralkan kedua ruas.
Aturan LIATE: Prioritas Pemilihan u
Pilih u berdasarkan prioritas (yang paling tinggi dipilih sebagai u):
L — Logarithmic: ln x, log x
I — Inverse trigonometric: arctan x, arcsin x
A — Algebraic: x², x³, polynomial
T — Trigonometric: sin x, cos x
E — Exponential: eˣ, 2ˣ
Mnemonik: u dipilih dari yang paling sulit diintegralkan (mudah didiferensiasikan).
Visualisasi: ∫u dv = uv - ∫v du
Contoh Lengkap: ∫x · eˣ dx
LIATE: u = x (A), dv = eˣ dx (E)
du = dx, v = eˣ
∫x·eˣ dx = x·eˣ - ∫eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C
= eˣ(x - 1) + C
Verifikasi: d/dx[eˣ(x-1)] = eˣ(x-1) + eˣ = eˣ·x ✓
3. Integral Fungsi Trigonometri
Teorema 7.2.1: Rumus Reduksi (Purcell)
∫sinⁿx dx:
n ganjil: pisahkan satu sin x, gunakan sin²x = 1 - cos²x, u = cos x
n genap: gunakan sin²x = (1 - cos 2x)/2
∫cosⁿx dx:
n ganjil: pisahkan satu cos x, gunakan cos²x = 1 - sin²x, u = sin x
n genap: gunakan cos²x = (1 + cos 2x)/2
∫sinᵐx cosⁿx dx:
Salah satu ganjil → pisahkan satu faktor, substitusi
Keduanya genap → gunakan identitas setengah sudut
Contoh: ∫sin³x dx
n = 3 (ganjil): pisahkan sin x
= ∫sin²x · sin x dx = ∫(1 - cos²x) sin x dx
u = cos x, du = -sin x dx
= -∫(1 - u²) du = -(u - u³/3) + C
= -cos x + cos³x/3 + C
4. Substitusi Trigonometri
Panduan 7.3.1: Tiga Substitusi Trigonometri (Purcell)
| Bentuk | Substitusi | Identitas | Hasil |
|---|---|---|---|
| √(a² - x²) | x = a sin θ | 1 - sin²θ = cos²θ | a cos θ |
| √(a² + x²) | x = a tan θ | 1 + tan²θ = sec²θ | a sec θ |
| √(x² - a²) | x = a sec θ | sec²θ - 1 = tan²θ | a tan θ |
Segitiga Referensi
5. Pecahan Parsial (Partial Fractions)
Teorema 7.4.1: Dekomposisi Pecahan Parsial (Purcell)
Setiap fungsi rasional P(x)/Q(x) (deg P < deg Q) dapat ditulis sebagai jumlah pecahan parsial:
Kasus 1 — Faktor linear berbeda:
1/((x-a)(x-b)) = A/(x-a) + B/(x-b)
Kasus 2 — Faktor linear berulang:
1/(x-a)² = A/(x-a) + B/(x-a)²
Kasus 3 — Faktor kuadratik tak tereduksi:
1/((x-a)(x²+bx+c)) = A/(x-a) + (Bx+C)/(x²+bx+c)
Kasus 4 — Kuadratik berulang:
1/(x²+1)² = (Ax+B)/(x²+1) + (Cx+D)/(x²+1)²
Langkah Dekomposisi Pecahan Parsial
Langkah 1: Pastikan derajat pembilang < penyebut. Jika tidak, bagi polinomial dulu.
Langkah 2: Faktorkan penyebut sepenuhnya.
Langkah 3: Tulis dekomposisi dengan koefisien A, B, C, ... yang belum ditentukan.
Langkah 4: Kalikan kedua ruas dengan penyebut → samakan koefisien atau substitusi nilai x yang tepat.
Langkah 5: Integralkan setiap pecahan parsial.
Contoh Lengkap: ∫(2x + 1)/((x-1)(x+2)) dx
(2x+1)/((x-1)(x+2)) = A/(x-1) + B/(x+2)
2x + 1 = A(x+2) + B(x-1)
Substitusi x = 1: 3 = 3A → A = 1
Substitusi x = -2: -3 = -3B → B = 1
= ∫[1/(x-1) + 1/(x+2)] dx
= ln|x-1| + ln|x+2| + C
6. Latihan Interaktif: Pilih Teknik
Substitusi-u Lanjut
∫ tan x dx = ∫ sin x / cos x dx
1. u = cos x, du = -sin x dx
2. = ∫ (-1/u) du = -ln|u| + C
3. = -ln|cos x| + C = ln|sec x| + C
7. Panduan Memilih Teknik Integrasi
Flowchart Pemilihan Teknik
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: By Parts
Hitung ∫x² · ln x dx
Soal 2: By Parts (dua kali)
Hitung ∫eˣ · sin x dx
Soal 3: Substitusi Trigonometri
Hitung ∫√(9 - x²) dx
Soal 4: Pecahan Parsial
Hitung ∫(5x - 4)/(x² - x - 2) dx
Soal 5: Integral Trigonometri
Hitung ∫sin⁴x dx
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Purcell 9e Bab 7.1–7.4 & Stewart 9e Bab 7.1–7.4 — Teknik integrasi: per bagian, trigonometri, substitusi trig, pecahan parsial.
Mudah — Konsep Dasar Tunggal
E1. Hitung ∫x·sin x dx (integrasi per bagian)
E2. Hitung ∫sin²x dx menggunakan identitas pangkat setengah
E3. Pecahan parsial sederhana: ∫2/(x² − 1) dx
E4. Hitung ∫ln x dx (per bagian)
Sedang — Kombinasi 2+ Konsep
M1. Hitung ∫x²·cos x dx (per bagian berulang / tabular)
M2. Hitung ∫sin³x cos²x dx
M3. Hitung ∫1/√(9−x²) dx menggunakan substitusi x = 3 sinθ
M4. Hitung ∫(3x²+2x+1)/((x+1)(x²+1)) dx via pecahan parsial
Sulit — Strategi Multi-Step
H1. Hitung ∫e^x sin x dx (siklus per bagian)
H2. Hitung ∫√(x²+4) dx menggunakan substitusi x = 2tanθ
H3. Hitung ∫x³/√(4−x²) dx (kombo substitusi trig + power)
H4. Hitung ∫sec³x dx (diperlukan dalam panjang kurva)
Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)
MX1. Fisika — Kerja oleh Gaya Variabel
Gaya F(x) = x·e^(−x) N bekerja sepanjang 0 ≤ x ≤ 2 m. Hitung kerja W = ∫₀² F(x) dx.
MX2. Biologi — Pertumbuhan Logistik Terintegrasi
Model separable: dP/dt = 0.2P(1 − P/1000). Gunakan pecahan parsial untuk menyelesaikan ODE dan cari P(t) jika P(0) = 100.
MX3. Aplikasi — Integral Gaussian & Kendali Mutu
Diameter komponen hasil produksi berdistribusi normal dengan rerata μ dan simpangan baku σ. Proporsi produk cacat (di bawah batas bawah) adalah P = (1/σ√(2π))∫_{-∞}^{μ-t} e^(−(x−μ)²/(2σ²)) dx. Hitung P untuk t = 2σ.