Kalkulus 1 -- Pertemuan 7

Turunan Fungsi Khusus & Tingkat Tinggi

Turunan trigonometri (dengan bukti), eksponensial, logaritma, invers trigonometri, turunan implisit, dan turunan tingkat tinggi.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 2.7--2.9. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 3.3--3.6.

1. Turunan Fungsi Trigonometri

Teorema 2.7.1 (Purcell): Turunan Sinus

d/dx [sin x] = cos x

Bukti dari Definisi Limit:

d/dx[sin x] = lim_h->0 [sin(x+h) - sin x] / h

Gunakan identitas penjumlahan: sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h:

= lim_h->0 [sin x cos h + cos x sin h - sin x] / h

= lim_h->0 [sin x (cos h - 1) + cos x sin h] / h

= sin x * lim_h->0 [(cos h - 1)/h] + cos x * lim_h->0 [sin h / h]

Dari limit trigonometri fundamental (Pertemuan 3):

• lim_h->0 (sin h)/h = 1

• lim_h->0 (cos h - 1)/h = 0

Substitusi:

= sin x * 0 + cos x * 1 = cos x QED

Teorema 2.7.2: Turunan Kosinus

d/dx [cos x] = -sin x

Bukti sketsa: Analog dengan sinus, menggunakan cos(x+h) = cos x cos h - sin x sin h, lalu limit fundamental. Atau: cos x = sin(pi/2 - x), gunakan Chain Rule: d/dx[sin(pi/2-x)] = cos(pi/2-x)*(-1) = -sin x.

Teorema 2.7.3: Semua Turunan Trigonometri

1. d/dx [sin x] = cos x

2. d/dx [cos x] = -sin x

3. d/dx [tan x] = sec²x

4. d/dx [cot x] = -csc²x

5. d/dx [sec x] = sec x tan x

6. d/dx [csc x] = -csc x cot x

Penurunan (3)-(6): Gunakan Quotient Rule. Misalnya tan x = sin x / cos x:

d/dx[tan x] = [cos x * cos x - sin x * (-sin x)] / cos^2 x = [cos^2 x + sin^2 x] / cos^2 x = 1/cos^2 x = sec^2 x

Pola mnemonic: "Ko-fungsi" (cos, cot, csc) selalu memiliki tanda negatif.

Visualisasi: Hubungan sin x dan cos x sebagai Turunan

Ketika sin x mencapai maksimum/minimum, cos x = 0 (turunan = 0 di titik kritis). Ketika sin x naik paling cepat (di x=0), cos x = 1 (turunan maksimal).

2. Turunan Fungsi Eksponensial

Teorema 2.8.1 (Purcell): Turunan e^x

d/dx [e^x] = e^x

Mengapa e istimewa? Bilangan e (= 2.71828...) adalah SATU-SATUNYA basis a sehingga d/dx[a^x] = a^x. Untuk basis lain: d/dx[a^x] = a^x * ln a, dan hanya jika a = e, ln a = 1.

Bukti sketsa: Dari definisi: d/dx[e^x] = lim_h->0 [e^(x+h) - e^x]/h = e^x * lim_h->0(e^h - 1)/h. Bilangan e didefinisikan sedemikian rupa sehingga lim_h->0(e^h-1)/h = 1, jadi hasilnya = e^x.

Teorema 2.8.2: Turunan a^x (Basis Umum)

d/dx [a^x] = a^x * ln a (a > 0, a != 1)

Diperoleh dari a^x = e^(x*ln a) dan Chain Rule: d/dx[e^(x*ln a)] = e^(x*ln a) * ln a = a^x * ln a.

3. Turunan Fungsi Logaritma

Teorema 2.8.3 (Purcell): Turunan ln x

d/dx [ln x] = 1/x (x > 0)

Bukti: Karena ln x = invers dari e^x, gunakan turunan fungsi invers. Jika y = ln x, maka e^y = x. Diferensiasi implisit: e^y * dy/dx = 1, jadi dy/dx = 1/e^y = 1/x. QED

Teorema 2.8.4: Turunan log_a x

d/dx [log_a x] = 1 / (x * ln a)

Dari perubahan basis: log_a x = ln x / ln a, maka d/dx[log_a x] = (1/ln a) * (1/x).

4. Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Teorema 2.8.5: Turunan Invers Trigonometri

1. d/dx [arcsin x] = 1/sqrt(1 - x²)

2. d/dx [arccos x] = -1/sqrt(1 - x²)

3. d/dx [arctan x] = 1/(1 + x²)

4. d/dx [arccot x] = -1/(1 + x²)

5. d/dx [arcsec x] = 1/(|x|*sqrt(x²-1))

6. d/dx [arccsc x] = -1/(|x|*sqrt(x²-1))

Bukti (arcsin x):

Misalkan y = arcsin x, maka sin y = x (dengan -pi/2 ≤ y ≤ pi/2).

Diferensiasi implisit: cos y * dy/dx = 1, jadi dy/dx = 1/cos y.

Dari sin^2 y + cos^2 y = 1: cos y = sqrt(1 - sin^2 y) = sqrt(1 - x^2).

(cos y ≥ 0 karena y berada di [-pi/2, pi/2])

dy/dx = 1/sqrt(1 - x^2). QED

5. Turunan Implisit (Implicit Differentiation)

Definisi 2.9.1: Turunan Implisit

Jika hubungan antara x dan y diberikan secara implisit oleh persamaan F(x, y) = 0, maka dy/dx dapat diperoleh dengan:

Langkah 1: Diferensiasi kedua ruas terhadap x, anggap y sebagai fungsi dari x (sehingga d/dx[y] = dy/dx, d/dx[y^2] = 2y*dy/dx, dst.).

Langkah 2: Selesaikan untuk dy/dx.

Contoh Terperinci: x^2 + y^2 = 25 (lingkaran)

Langkah 1: Diferensiasi kedua ruas terhadap x:

d/dx[x^2] + d/dx[y^2] = d/dx[25]

2x + 2y*(dy/dx) = 0

Langkah 2: Selesaikan untuk dy/dx:

2y*(dy/dx) = -2x

dy/dx = -2x/(2y) = -x/y

Interpretasi: kemiringan garis singgung lingkaran di (x,y) adalah -x/y. Di (3,4): slope = -3/4. Di (0,5): slope = 0 (titik teratas).

Visualisasi: Garis Singgung pada Lingkaran x^2 + y^2 = 25

6. Turunan Tingkat Tinggi

Definisi 2.9.2: Turunan Tingkat-n

Turunan pertama: f'(x) = dy/dx

Turunan kedua: f''(x) = d²y/dx² = turunan dari f'

Turunan ketiga: f'''(x) = d³y/dx³ = turunan dari f''

Turunan ke-n: f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿy/dxⁿ = turunan dari f^(n-1)

Makna Fisis Turunan Tingkat Tinggi

Jika s(t) = posisi benda pada waktu t, maka:

s'(t) = v(t) = kecepatan (velocity) -- seberapa cepat posisi berubah

s''(t) = v'(t) = a(t) = percepatan (acceleration) -- seberapa cepat kecepatan berubah

s'''(t) = a'(t) = j(t) = jerk -- seberapa cepat percepatan berubah

Contoh: gerak jatuh bebas s(t) = -1/2 * g * t^2 + v_0*t + s_0. Maka v(t) = -g*t + v_0, a(t) = -g (konstanta gravitasi).

Sifat Aljabar: Linearitas Turunan Tingkat Tinggi

dⁿ/dxⁿ [af(x) + bg(x)] = a * f⁽ⁿ⁾(x) + b * g⁽ⁿ⁾(x)

Operator turunan bersifat linear di SETIAP orde. Turunan ke-n dari kombinasi linear = kombinasi linear turunan ke-n.

Pola Istimewa: Turunan Berulang sin x (Periodik!)

f(x) = sin x

f'(x) = cos x

f''(x) = -sin x

f'''(x) = -cos x

f⁽⁴⁾(x) = sin x ← kembali ke awal!

Siklus dengan periode 4: f⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + n*pi/2). Hal serupa untuk cos x.

7. Eksplorasi Interaktif

Hubungan sin x dan cos x sebagai Turunan

x (radian) =0.00

sin(0.00) = 0

cos(0.00) = 1

d/dx[sin x] di x=0.00 = cos(x) = 1

d/dx[cos x] di x=0.00 = -sin(x) = 0

Turunan Tingkat Tinggi: f(x) = x^n

n =

Orde turunan k =

x =

f(x) = x^5

f⁽¹⁾(x) = 5x^4

f⁽¹⁾(2) = 80

Pola Periodik: Turunan ke-n dari sin x

n =

d¹/dx¹ [sin x] = cos x

n mod 4 = 1 (siklus: 0=sin, 1=cos, 2=-sin, 3=-cos)

Turunan Implisit: x^2 + y^2 = 5

x =

Pada x = 1: y = sqrt(5 - x^2) = 2

dy/dx = -x/y = -0.5

Garis singgung: y - 2 = -0.5(x - 1)

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Turunan Trigonometri + Chain Rule

Cari dy/dx untuk y = sin(3x^2 + 1).

Soal 2: Turunan Eksponensial

Cari f'(x) untuk f(x) = x^2 * e^(3x).

Soal 3: Turunan Logaritma

Cari dy/dx untuk y = ln(x^2 + 4x + 1).

Soal 4: Turunan Implisit

Cari dy/dx dari x^3 + y^3 = 6xy.

Soal 5: Turunan Tingkat Tinggi

Cari f'''(x) untuk f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x.

Soal 6: Invers Trigonometri

Cari dy/dx untuk y = arctan(e^x).

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Topik: Integral Tak Tentu (Antiderivative) — Purcell 9e Bab 3.8–4.1 & Stewart 9e Bab 4.9–5.1

Mudah (Easy)

E1. Hitung ∫ x⁴ dx

E2. Hitung ∫ (3x² − 6x + 2) dx

E3. Hitung ∫ sin x dx dan ∫ cos x dx

E4. Hitung ∫ (1/x) dx dan ∫ eˣ dx

Sedang (Medium)

M1. Hitung ∫ 2x·cos(x²) dx menggunakan substitusi u = x²

M2. Hitung ∫ x·eˣ² dx

M3. Hitung ∫ (x+1)/√(x²+2x+5) dx

M4. Tentukan f(x) jika f'(x) = 3x² − 4 dan f(1) = 2

Sulit (Hard)

H1. Hitung ∫ x·sin x dx menggunakan integrasi by parts

H2. Hitung ∫ ln x dx

H3. Hitung ∫ sin²x dx menggunakan identitas setengah sudut

H4. Hitung ∫ 1/(x²−1) dx menggunakan partial fractions

Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)

MX1. Mekanika — Posisi dari percepatan a(t) = 6t − 4, v(0)=2, s(0)=0

MX2. Ekonomi — Total cost dari MC: MC(q) = 3q²−10q+20, FC=500

MX3. Pertumbuhan penduduk — Cari P(t) dari dP/dt = 0.03P, P(0)=1000

← P6: Aturan Turunan P8: Aplikasi Turunan →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 2.7--2.9. -- Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 3.3--3.6.