Kalkulus 1 — Pertemuan 11

Integral Tentu & Teorema Fundamental Kalkulus

Dari jumlah Riemann ke integral tentu: definisi formal, sifat-sifat, dan teorema yang menghubungkan turunan dan integral.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 4.4–4.6. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 5.1–5.3.

1. Makna: Integral Tentu = Luas (Signed Area)

Pertanyaan: Bagaimana menghitung luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari x = a ke x = b?

Ide: Bagi daerah menjadi persegi panjang tipis, jumlahkan luasnya, lalu ambil limit saat persegi panjang semakin banyak (dan semakin tipis).

Signed area: Daerah di atas sumbu-x dihitung positif, di bawah sumbu-x dihitung negatif.

2. Jumlah Riemann (Riemann Sum)

Definisi 4.4.1 (Purcell)

Jumlah Riemann

Diberikan partisi [a, b] menjadi n sub-interval dengan lebar Δxᵢ, dan titik sampel xᵢ* di setiap sub-interval:

S_n = Σᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ*) · Δxᵢ

Jika partisi seragam (Δx = (b-a)/n): S_n = Σᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ*) · Δx

Analogi: Mengukur Luas Pizza dengan Irisan

Bayangkan menghitung luas pizza dengan irisan persegi panjang. Irisan tebal (sedikit irisan, mis. n = 4) → estimasi kasar dengan banyak ruang kosong/lebih. Irisan tipis-tipis (n = 100, 1000) → estimasi makin mendekati luas sebenarnya. Limit n → ∞ = irisan tak hingga tipisnya = luas eksak.

Inilah esensi integral tentu: ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ f(x_i*) Δx. Σ adalah penjumlahan irisan, ∫ adalah versi "tak hingga halus" dari Σ. Notasi ∫ sendiri (yang dipopulerkan Leibniz, 1675) adalah huruf "S" panjang yang berarti "Summa" — penjumlahan.

Visualisasi: Riemann Sum Semakin Halus (Animasi Auto-cycling n=4 → 8 → ∞)

3. Definisi Formal Integral Tentu

Definisi 4.4.2: Integral Tentu (Purcell)

Jika f terdefinisi pada [a, b], maka integral tentu dari f dari a ke b adalah:

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ*) · Δx

jika limit ini ada (tidak bergantung pada pilihan titik sampel xᵢ*).

Jika limit ada, f disebut terintegralkan (integrable) pada [a, b].

Teorema 4.4.3: Eksistensi Integral (Purcell)

Jika f kontinu pada [a, b], maka f terintegralkan pada [a, b].

Juga berlaku: f terintegralkan jika f bounded dan hanya memiliki jumlah diskontinuitas berhingga.

Interaktif: Riemann Sum untuk f(x) = x²

n =4

a =

b =

Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5

Riemann sum (midpoint) = 2.625

Nilai eksak ∫x² dx = x³/3 |_0^2 = 2.666667

Error = |approx - exact| = 0.041667

Geser slider n. Perhatikan: semakin besar n, semakin kecil error. Saat n → ∞, sum → integral eksak.

4. Sifat-Sifat Integral Tentu

Teorema 4.4.4: Sifat Integral Tentu (Purcell)

1. Linearitas: ∫_a^b [cf(x) + dg(x)] dx = c∫_a^b f dx + d∫_a^b g dx

2. Additivitas: ∫_a^c f dx = ∫_a^b f dx + ∫_b^c f dx

3. Tanda terbalik: ∫_a^b f dx = -∫_b^a f dx

4. Batas sama: ∫_a^a f dx = 0

5. Perbandingan: Jika f(x) ≥ g(x) pada [a,b], maka ∫_a^b f dx ≥ ∫_a^b g dx

6. Nilai mutlak: |∫_a^b f dx| ≤ ∫_a^b |f| dx

5. Teorema Fundamental Kalkulus (TFK)

Ini adalah teorema TERPENTING dalam seluruh kalkulus. TFK menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi invers satu sama lain. Dua proses yang tampak berbeda (kemiringan garis singgung vs luas di bawah kurva) ternyata saling terkait secara mendalam.

Teorema Fundamental Kalkulus — Bagian 1 (Purcell 4.5.1)

Jika f kontinu pada [a, b], dan kita definisikan fungsi area:

A(x) = ∫_a^x f(t) dt

maka A terdiferensialkan pada (a, b) dan:

A'(x) = d/dx [∫_a^x f(t) dt] = f(x)

Artinya: Turunan dari "fungsi luas" adalah fungsi integrand itu sendiri. Diferensiasi membatalkan integrasi!

Teorema Fundamental Kalkulus — Bagian 2 (Purcell 4.5.2)

Jika f kontinu pada [a, b] dan F adalah sembarang antiderivatif dari f (F' = f), maka:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Notasi: F(b) - F(a) sering ditulis F(x)|_a^b atau [F(x)]_a^b

Revolusioner: Sebelum TFK, menghitung luas memerlukan limit jumlah Riemann yang rumit. TFK menyederhanakan: cari antiderivatif, substitusi batas atas dan bawah, selesai! Ini mengubah integral tentu dari masalah limit menjadi masalah antiderivatif.

Mengapa TFK Menghubungkan Turunan dan Integral?

Turunan mengukur laju perubahan sesaat (kemiringan).

Integral tentu mengukur akumulasi total (luas).

TFK Bagian 1 mengatakan: laju perubahan akumulasi = nilai fungsi saat itu. Jika A(x) = total area dari a ke x, maka pertambahan area per unit x = tinggi fungsi di x = f(x). Ini masuk akal secara geometris!

TFK Bagian 2 mengatakan: total akumulasi = antiderivatif dievaluasi di batas. Karena F' = f, maka F "mengukur" akumulasi f. Total dari a ke b = F(b) - F(a).

Analogi: Jika f(t) = kecepatan, maka ∫f dt = jarak tempuh. Turunan posisi = kecepatan. Posisi = antiderivatif kecepatan. Jarak dari waktu a ke b = posisi(b) - posisi(a).

Visualisasi: Fungsi Area A(x) = ∫₀ˣ f(t) dt

Saat x bertambah sedikit (dx), luas bertambah ≈ f(x) · dx (persegi panjang tipis). Maka dA/dx = f(x). Inilah inti TFK Bagian 1.

Interaktif: TFK Bagian 1 untuk f(t) = t²

x =1.5

A(x) = ∫₀ˣ t² dt = x³/3 = 1.125

A'(x) = d/dx[x³/3] = x² = 2.25

f(x) = x² = 2.25

A'(x) = f(x) ✓ TFK terkonfirmasi!

6. Substitusi-u pada Integral Tentu

Teorema 4.6.1: Substitusi pada Integral Tentu (Purcell)

Jika u = g(x) dan g' kontinu pada [a, b], maka:

∫_a^b f(g(x)) · g'(x) dx = ∫_g(a)^g(b) f(u) du

Penting: UBAH BATAS INTEGRASI! Saat x = a → u = g(a). Saat x = b → u = g(b). Tidak perlu kembali ke variabel x.

Contoh: ∫₀¹ 2x · eˣ² dx

u = x², du = 2x dx

Batas: x = 0 → u = 0; x = 1 → u = 1

= ∫₀¹ eᵘ du = eᵘ |₀¹ = e¹ - e⁰ = e - 1 ≈ 1.718

7. Teorema Nilai Rata-Rata Integral

Teorema 4.4.5: Mean Value Theorem for Integrals (Purcell)

Jika f kontinu pada [a, b], maka ∃c ∈ [a, b] sehingga:

∫_a^b f(x) dx = f(c) · (b - a)

Nilai rata-rata:

f_avg = (1/(b-a)) · ∫_a^b f(x) dx

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Integral Tentu Dasar

Hitung ∫₁³ (2x² + 3x - 1) dx

Soal 2: TFK Bagian 1

Cari F'(x) jika F(x) = ∫₂ˣ √(t³ + 1) dt

Soal 3: TFK Bagian 1 dengan Chain Rule

Cari G'(x) jika G(x) = ∫₀^(x²) sin(t) dt

Soal 4: Integral Tentu Trigonometri

Hitung ∫₀^π (sin x + cos x) dx

Soal 5: Substitusi pada Integral Tentu

Hitung ∫₀² x · √(x² + 1) dx

Soal 6: Nilai Rata-Rata

Cari nilai rata-rata f(x) = x² pada [0, 3].

8. Koneksi: Riemann Sum dan Integrasi Numerik

Jumlah Riemann adalah dasar dari semua metode integrasi numerik yang akan dipelajari di mata kuliah Metode Numerik:

Metode	Pendekatan	Order Error
Riemann (Left/Right)	Persegi panjang	O(h)
Midpoint	Persegi panjang (titik tengah)	O(h²)
Trapezoid	Trapesium	O(h²)
Simpson's 1/3	Parabola	O(h⁴)

h = Δx = (b-a)/n. Semakin kecil h (semakin banyak partisi), semakin akurat. Simpson's rule sangat akurat karena menggunakan interpolasi parabola, bukan garis lurus.

← P10: Integral Tak Tentu P12: Teknik Integrasi →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 4.4–4.6. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 5.1–5.3.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Ref: Purcell 9e Bab 4.4–4.6 & Stewart 9e Bab 5.1–5.3 — Integral tentu, Riemann sum, TFK.

Mudah — Konsep Dasar Tunggal

E1. Hitung ∫₀³ (2x + 1) dx menggunakan TFK Bagian 2

E2. Nyatakan ∑ᵢ₌₁ⁿ (3i − 1)/n² sebagai integral Riemann saat n→∞

E3. Hitung d/dx[∫₀ˣ t² dt] menggunakan TFK Bagian 1

E4. Hitung ∫₁⁴ (3/√x) dx

Sedang — Kombinasi 2+ Konsep

M1. Hitung ∫₀^π |sin x| dx (perhatikan tanda!)

M2. Hitung d/dx[∫₁^(x²) √(t³+1) dt] menggunakan Chain Rule + TFK

M3. Gunakan sifat integral untuk evaluasi: ∫₋₂² (x³ + 5x) dx

M4. Hitung ∫₀² x·e^(x²) dx menggunakan substitusi dalam integral tentu

Sulit — Strategi Multi-Step

H1. Hitung ∫₀¹ x²·√(1−x²) dx menggunakan substitusi trigonometri

H2. Tunjukkan nilai rata-rata f(x) = x² pada [0,3] dan gambarkan interpretasinya

H3. Buktikan: ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a+b−x) dx (simetri integral)

H4. Hitung lim_{n→∞} ∑ᵢ₌₁ⁿ (i³/n⁴) dengan mengenali sebagai integral Riemann

Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)

MX1. Fisika — Perpindahan vs Jarak Tempuh

Kecepatan v(t) = t² − 4t + 3 m/s pada t ∈ [0,4]. Hitung (a) perpindahan dan (b) total jarak tempuh.

MX2. Ekonomi — Surplus Konsumen

Fungsi permintaan: p = D(q) = 50 − q². Harga pasar p* = 14. Hitung surplus konsumen.

MX3. Aplikasi — Akumulasi Biaya Pertumbuhan

Biaya pemeliharaan sebuah sistem tumbuh mengikuti c(n) = n·ln(n)/ln(2) satuan per unit kapasitas n. Hitung total biaya kumulatif saat kapasitas tumbuh dari n=100 ke n=400 menggunakan integral tentu.