Kalkulus 1 — Pertemuan 8
Aplikasi Turunan: Analisis Grafik Fungsi
Teknik lengkap menggambar kurva: nilai kritis, uji turunan pertama/kedua, concavity, titik belok, dan curve sketching.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 3.1–3.4. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 4.1–4.3.
1. Nilai Kritis (Critical Numbers)
Definisi 3.1.1 (Purcell)
Nilai Kritis
Bilangan c dalam domain f disebut nilai kritis (critical number) dari f jika:
Titik (c, f(c)) disebut titik kritis (critical point).
Mengapa penting? Semua nilai ekstrem lokal (maksimum/minimum lokal) hanya terjadi di titik kritis. Ini adalah konsekuensi dari Teorema Fermat.
Teorema 3.1.2: Teorema Fermat (Purcell)
Jika f mempunyai ekstrem lokal di c dan f'(c) ada, maka:
Kontraposisi: f'(c) ≠ 0 berarti c bukan titik ekstrem. Tetapi f'(c) = 0 TIDAK MENJAMIN c adalah titik ekstrem (contoh: f(x) = x³ di x = 0).
Tiga Jenis Titik Kritis
Contoh kasus ketiga: f(x) = |x| memiliki titik kritis di x = 0 karena f'(0) tidak ada (titik lancip/cusp).
2. Uji Turunan Pertama (First Derivative Test)
Teorema 3.1.3: Uji Turunan Pertama (Purcell)
Misalkan c adalah titik kritis dari f yang kontinu. Maka:
(a) Jika f' berubah dari positif → negatif di c, maka f memiliki maksimum lokal di c.
(b) Jika f' berubah dari negatif → positif di c, maka f memiliki minimum lokal di c.
(c) Jika f' tidak berubah tanda di c (tetap + atau tetap −), maka f tidak memiliki ekstrem di c.
Visualisasi Uji Turunan Pertama
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x+1)(x-1). Di x = -1: f' berubah + → − (maks lokal). Di x = 1: f' berubah − → + (min lokal).
3. Uji Turunan Kedua (Second Derivative Test)
Teorema 3.2.1: Uji Turunan Kedua (Purcell)
Misalkan f'' kontinu di sekitar c dan f'(c) = 0. Maka:
(a) Jika f''(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal di c.
(b) Jika f''(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal di c.
(c) Jika f''(c) = 0, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan — gunakan uji turunan pertama.
Intuisi: f''(c) > 0 artinya kurva cekung atas (seperti mangkuk ∪) di c → titik terendah = minimum. f''(c) < 0 artinya kurva cekung bawah (seperti bukit ∩) di c → titik tertinggi = maksimum.
Perbandingan: Uji Turunan Pertama vs Kedua
| Aspek | Uji Turunan Pertama | Uji Turunan Kedua |
|---|---|---|
| Apa yang diperiksa | Perubahan tanda f' | Tanda f'' di titik kritis |
| Selalu berhasil? | Ya | Tidak (gagal jika f''(c) = 0) |
| Kapan digunakan | Fallback / f'' sulit dihitung | f'' mudah dihitung |
| Info concavity? | Tidak | Ya |
4. Kecekungan (Concavity)
Definisi 3.3.1: Concavity (Purcell)
Cekung atas (concave up): f''(x) > 0 pada interval — kurva berada di atas garis singgungnya (bentuk ∪)
Cekung bawah (concave down): f''(x) < 0 pada interval — kurva berada di bawah garis singgungnya (bentuk ∩)
Visualisasi Kecekungan
5. Titik Belok (Inflection Point)
Definisi 3.3.2: Titik Belok (Purcell)
Titik (c, f(c)) disebut titik belok (inflection point) jika:
Artinya: kecekungan kurva berubah dari cekung atas → cekung bawah, atau sebaliknya.
Syarat perlu: f''(c) = 0 atau f''(c) tidak ada. Tapi ini bukan syarat cukup! Contoh: f(x) = x⁴, f''(0) = 0 tetapi x = 0 bukan titik belok (f'' tidak berubah tanda).
Visualisasi Titik Belok
6. Strategi Menggambar Kurva (Curve Sketching)
Panduan 3.4.1: Langkah Curve Sketching (Purcell)
Langkah 1 — Domain: Tentukan domain f. Di mana f terdefinisi?
Langkah 2 — Intercepts: Cari titik potong sumbu-x (f(x) = 0) dan sumbu-y (f(0)).
Langkah 3 — Simetri: Genap (f(-x) = f(x))? Ganjil (f(-x) = -f(x))? Periodik?
Langkah 4 — Asimtot: Vertikal (penyebut = 0), horizontal (x → ±∞), miring.
Langkah 5 — f' (turunan pertama): Titik kritis, interval naik/turun, ekstrem lokal.
Langkah 6 — f'' (turunan kedua): Interval cekung atas/bawah, titik belok.
Langkah 7 — Gambar: Satukan semua informasi. Plot titik-titik kunci, hubungkan sesuai perilaku.
Contoh Lengkap: Sketsa f(x) = x³ - 3x
Domain: (-∞, ∞). Intercepts: x = 0, ±√3; y = 0.
Simetri: f(-x) = -f(x) → fungsi ganjil (simetri terhadap origin).
f'(x) = 3x² - 3: kritis x = ±1. Naik di (-∞,-1) ∪ (1,∞), turun di (-1,1).
f''(x) = 6x: cekung bawah di (-∞,0), cekung atas di (0,∞). Titik belok di x = 0.
7. Analisis Interaktif: Pilih Fungsi & Klasifikasi
Analisis Titik Kritis & Kecekungan
f(x) = x³ - 3x
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)
f''(x) = 6x
Titik Kritis:
- x = -1 (f'=0)
- x = 1 (f'=0)
Ekstrem:
- x = -1: maks lokal, f(-1) = 2
- x = 1: min lokal, f(1) = -2
Tanda f' (naik/turun):
| Interval | Tanda f' | Perilaku |
|---|---|---|
| (-∞, -1) | + | naik |
| (-1, 1) | - | turun |
| (1, ∞) | + | naik |
Tanda f'' (kecekungan):
| Interval | Tanda f'' | Kecekungan |
|---|---|---|
| (-∞, 0) | - | cekung bawah |
| (0, ∞) | + | cekung atas |
Titik Belok:
- x = 0: titik belok, f(0) = 0
8. Teorema Nilai Ekstrem & Teorema Rolle
Teorema 3.1.4: Teorema Nilai Ekstrem (Extreme Value Theorem)
Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum absolut dan nilai minimum absolut di [a, b].
Nilai ekstrem absolut terjadi di titik kritis interior ATAU di titik ujung a atau b.
Teorema 3.1.5: Teorema Rolle (Purcell)
Jika f kontinu pada [a, b], terdiferensialkan pada (a, b), dan f(a) = f(b), maka:
Interpretasi geometris: jika nilai awal = nilai akhir, pasti ada titik di tengah di mana garis singgung horizontal.
Teorema 3.1.6: Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value Theorem)
Jika f kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada (a, b), maka:
Ada titik c di mana kemiringan garis singgung = kemiringan garis secant dari (a,f(a)) ke (b,f(b)).
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Titik Kritis & Klasifikasi
Tentukan semua titik kritis f(x) = 2x³ + 3x² - 12x + 1 dan klasifikasikan sebagai maks/min lokal.
Soal 2: Interval Naik/Turun
Tentukan interval naik dan turun dari f(x) = x⁴ - 4x³.
Soal 3: Titik Belok
Tentukan titik belok dari f(x) = x⁴ - 6x² + 8x + 10.
Soal 4: Curve Sketching Lengkap
Buat sketsa lengkap f(x) = x/(x² - 1). Tentukan domain, asimtot, intercepts, naik/turun, dan kecekungan.
Soal 5: Mean Value Theorem
Tunjukkan bahwa f(x) = x³ - x memenuhi syarat MVT di [0, 2] dan cari c yang memenuhi teorema.
Soal 6: Ekstrem Absolut di Interval Tertutup
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x³ - 3x + 1 pada [-3, 2].
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Topik: Integral Tentu (Riemann, FTC) — Purcell 9e Bab 4.3–4.5 & Stewart 9e Bab 5.2–5.4
Mudah (Easy)
E1. Hitung ∫₀² x² dx menggunakan FTC
E2. Hitung ∫₀^π sin x dx
E3. Hitung ∫₁³ (2x + 1) dx
E4. Hitung ∫₀¹ eˣ dx
Sedang (Medium)
M1. Hitung ∫₀¹ x·√(1+x²) dx
M2. Gunakan FTC Bagian 1: d/dx [∫₀ˣ t³ dt]
M3. Hitung ∫₀² |x − 1| dx
M4. Estimasi ∫₀¹ x² dx dengan Riemann sum kanan, n=4
Sulit (Hard)
H1. Hitung d/dx [∫₀^(x²) sin(t²) dt] menggunakan FTC + Chain Rule
H2. Hitung ∫₀¹ x²·ln x dx (IBP + batas)
H3. Luas area antara y=x² dan y=x pada [0,1]
H4. Hitung ∫₀^(π/2) sin²x·cos x dx
Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)
MX1. Fisika — Kerja W = ∫₀⁴ F(x)dx, F(x) = 3x² + 2 N (x dalam meter)
MX2. Ekonomi — Consumer surplus: D(q)=100−q², p*=75, q*=5
MX3. Probabilitas — P(1 ≤ X ≤ 3) untuk f(x) = 1/4 pada [0,4]