Kalkulus 1 — Pertemuan 3

Limit Fungsi

Konsep fundamental kalkulus: pendekatan, definisi formal (ε-δ), sifat aljabar limit, dan teorema-teorema kunci.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 1.4–1.6. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 2.2–2.5.

1. Konsep Intuitif: Apa Itu Limit?

Analogi Mudah: Mendekati Pintu Rumah

Bayangkan kamu mendekati pintu rumah. Kamu bisa berdiri sedekat mungkin — 1 meter, 10 cm, 1 mm — tanpa pernah harus menyentuh pintu. Limit f(x) saat x → a adalah seperti itu: kita peduli pada NILAI YANG DIDEKATI, bukan apakah kita betul-betul SAMPAI ke titik a. Bahkan jika "pintu" (yaitu f(a)) tidak ada — fungsi mungkin tidak terdefinisi di titik a — kita masih bisa bertanya: "ke mana arah f menuju?"

Intuisi ini akan kita formalisasikan dengan definisi ε-δ di Bagian 2 — tetapi gambar mental "mendekati pintu" adalah inti dari semua kalkulus.

Limit mendeskripsikan nilai yang didekati oleh f(x) ketika x mendekati suatu nilai a, tanpa harus x = a.

Notasi: lim_x→a f(x) = L

Artinya: "Nilai f(x) bisa dibuat sedekat mungkin ke L, asalkan x cukup dekat ke a (tapi x ≠ a)."

Penting: Limit TIDAK bergantung pada nilai f(a). Bahkan jika f(a) tidak terdefinisi (lubang di grafik), limit masih bisa ada. Yang penting adalah perilaku f(x) di sekitar a, bukan di a.

Eksplorasi: Mendekati Limit Secara Numerik

Lihat bagaimana f(x) = x² mendekati L saat x → a:

a =→ L = a² = 4.0000

Sisi	x	f(x) = x²	\|f(x) - L\|
kiri	1.5	2.25	1.75000000
kanan	2.5	6.25	2.25000000
kiri	1.9	3.61	0.39000000
kanan	2.1	4.41	0.41000000
kiri	1.99	3.9601	0.03990000
kanan	2.01	4.0401	0.04010000
kiri	1.999	3.996001	0.00399900
kanan	2.001	4.004001	0.00400100
kiri	1.9999	3.9996	0.00040000
kanan	2.0001	4.0004	0.00040000

Semakin x mendekati a, semakin |f(x) - L| mendekati 0. Ini adalah intuisi limit.

2. Definisi Formal Limit (ε-δ)

Definisi 1.4.1 (Purcell)

lim_x→a f(x) = L artinya:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sedemikian sehingga:
0 < |x − a| < δ ⟹ |f(x) − L| < ε

Dalam bahasa sehari-hari: Untuk SEBERAPA KECIL pun toleransi ε yang Anda tetapkan untuk f(x) terhadap L, saya SELALU bisa menemukan jarak δ dari a sehingga f(x) masuk dalam toleransi itu.

Visualisasi Interaktif: ε-δ

ε =0.50

δ =0.30

Geser slider ε (toleransi vertikal hijau) dan δ (toleransi horizontal biru). Perhatikan: semakin kecil ε, semakin kecil δ yang dibutuhkan agar f(x) tetap dalam band hijau.

3. Sifat-Sifat Aljabar Limit

Teorema 1.4.2: Sifat Aljabar Limit (Purcell)

Jika lim_x→a f(x) = L dan lim_x→a g(x) = M, maka:

1. Penjumlahan: lim_x→a [f(x) + g(x)] = L + M

2. Pengurangan: lim_x→a [f(x) − g(x)] = L − M

3. Perkalian konstanta: lim_x→a [c · f(x)] = c · L

4. Perkalian: lim_x→a [f(x) · g(x)] = L · M

5. Pembagian: lim_x→a [f(x) / g(x)] = L / M, asalkan M ≠ 0

6. Pangkat: lim_x→a [f(x)]ⁿ = Lⁿ

7. Akar: lim_x→a ⁿ√f(x) = ⁿ√L, asalkan L ≥ 0 jika n genap

Teorema 1.4.3: Limit Fungsi Polinomial & Rasional

Polinomial: lim_x→a p(x) = p(a) — cukup substitusi langsung!

Rasional: lim_x→a [p(x)/q(x)] = p(a)/q(a), asalkan q(a) ≠ 0

Ini berarti fungsi polinomial dan rasional (di titik di mana penyebutnya ≠ 0) bersifat kontinu — limit = substitusi langsung.

4. Limit Sepihak (One-Sided Limits)

Definisi 1.4.4: Limit Sepihak

Limit kiri: lim_x→a⁻ f(x) = L (x mendekati a dari kiri, x < a)

Limit kanan: lim_x→a⁺ f(x) = L (x mendekati a dari kanan, x > a)

Teorema 1.4.5: Syarat Eksistensi Limit

lim_x→a f(x) = L ⟺ lim_x→a⁻ f(x) = L DAN lim_x→a⁺ f(x) = L

Limit ada jika dan hanya jika limit kiri = limit kanan. Jika berbeda → limit tidak ada.

Contoh: Limit yang Tidak Ada

Fungsi tangga: f(x) = 1 jika x < 0, f(x) = 2 jika x ≥ 0. Limit kiri = 1, limit kanan = 2. Karena berbeda, limit di x=0 tidak ada.

5. Teorema Apit (Squeeze Theorem)

Teorema 1.4.6: Squeeze Theorem (Teorema Apit)

Jika g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) untuk semua x di sekitar a (kecuali mungkin di a), dan:

lim_x→a g(x) = L DAN lim_x→a h(x) = L

Maka: lim_x→a f(x) = L

f(x) "diapit" oleh g(x) dan h(x) yang keduanya menuju L → f(x) juga harus menuju L.

Contoh klasik: lim_x→0 x²sin(1/x) = 0. Diapit oleh -x² ≤ x²sin(1/x) ≤ x², dan lim(-x²) = lim(x²) = 0.

6. Limit-Limit Penting

Teorema 1.4.7: Limit Trigonometri Fundamental

lim_x→0 (sin x / x) = 1

lim_x→0 ((1 − cos x) / x) = 0

Limit pertama dibuktikan dengan Squeeze Theorem menggunakan geometri unit circle. Kedua limit ini fundamental untuk menurunkan turunan sin dan cos.

Limit Euler

lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e ≈ 2.71828...

Bilangan e muncul secara alami dari konsep limit. Ini fondasi fungsi eksponensial eˣ.

7. Limit Tak Hingga & Limit di Tak Hingga

Limit Tak Hingga

lim_x→a f(x) = ∞

"f(x) tumbuh tanpa batas saat x → a." Contoh: lim_x→0 1/x² = ∞. Grafik: asimtot vertikal di x = a.

Limit di Tak Hingga

lim_x→∞ f(x) = L

"f(x) mendekati L saat x → ∞." Contoh: lim_x→∞ 1/x = 0. Grafik: asimtot horizontal y = L.

8. Metode Menghitung Limit

Metode 1: Substitusi Langsung

Jika f kontinu di a → lim f(x) = f(a). Coba ini dulu!

lim_x→3 (x² + 1) = 9 + 1 = 10 ✓

Metode 2: Faktorisasi (untuk bentuk 0/0)

Faktorkan pembilang/penyebut, coret faktor yang sama.

lim_x→2 (x²−4)/(x−2) = lim (x+2)(x−2)/(x−2) = lim (x+2) = 4

Metode 3: Rasionalisasi (untuk bentuk akar)

Kalikan dengan sekawan: (√a − √b)(√a + √b) = a − b

Metode 4: Squeeze Theorem

Apit f(x) antara dua fungsi yang limitnya sama.

Metode 5: Metode Bagi Dua (Bisection) — Pendekatan Numerik

Jika f kontinu dan f(a)·f(b) < 0, maka ada akar di (a,b). Bagi interval menjadi dua, ulangi. Ini digunakan di metode numerik (MetNum Bab 2).

Koneksi: Newton-Raphson method di MetNum adalah pengembangan konsep limit (turunan) untuk mencari akar persamaan.

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Substitusi Langsung

Hitung lim_x→3 (2x² − 5x + 1)

Soal 2: Faktorisasi (0/0)

Hitung lim_x→−1 (x³ + 1)/(x + 1)

Soal 3: Squeeze Theorem

Buktikan lim_x→0 x² sin(1/x) = 0

Soal 4: ε-δ Proof

Buktikan dengan definisi ε-δ bahwa lim_x→3 (2x + 1) = 7

Soal 5: Limit Sepihak

Tentukan apakah lim_x→0 |x|/x ada.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Topik: Limit — Purcell 9e Bab 1.4–1.6 & Stewart 9e Bab 2.2–2.5

Mudah (Easy)

E1. Hitung lim_x→3 (x² + 2x − 3)

E2. Hitung lim_x→−1 (x³ − 5x + 2)

E3. Hitung lim_x→2 (3x − 7)

E4. Tentukan apakah f(x) = (x−2)/(x²−4) kontinu di x = 2

Sedang (Medium)

M1. Hitung lim_x→3 (x²−9)/(x−3)

M2. Hitung lim_x→0 (√(x+4) − 2)/x

M3. Tentukan lim_x→0⁺ dan lim_x→0⁻ dari f(x) = |x|/x

M4. Tentukan nilai k agar f(x) = {kx+1, x≤2; x²−1, x>2} kontinu di x=2

Sulit (Hard)

H1. Buktikan dari definisi ε-δ bahwa lim_x→2 (3x−1) = 5

H2. Hitung lim_x→0 sin(x)/x (gunakan Squeeze Theorem)

H3. Hitung lim_x→∞ (3x² + 2x) / (5x² − 1)

H4. Tentukan semua titik diskontinuitas f(x) = (x²−1)/(x²−3x+2) dan jenisnya

Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)

MX1. Fisika — Kecepatan sesaat dari posisi

Posisi benda: s(t) = 4t² − 3t + 1 (meter). Tentukan kecepatan sesaat pada t = 2 s menggunakan definisi limit.

MX2. Ekonomi — Analisis kontinuitas tarif pajak

Tarif pajak: T(x) = {0.15x, x≤50000; 7500+0.25(x−50000), x>50000}. Apakah T kontinu di x=50000?

MX3. Populasi — Limit pertumbuhan logistik

Model logistik: P(t) = 1000 / (1 + 9e^(−0.5t)). Hitung lim_t→∞ P(t).

← P2: Fungsi P4: Kontinuitas →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 1.4–1.6. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 2.2–2.5.