Kalkulus 1 — Pertemuan 13

Aplikasi Integral: Luas, Volume, Panjang Kurva

Menggunakan integral tentu untuk menghitung luas antar kurva, volume benda putar (disk, washer, shell), panjang kurva, luas permukaan, dan kerja.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 5.1–5.4. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 6.1–6.4.

1. Luas Daerah antara Dua Kurva

Teorema 5.1.1: Luas antara Dua Kurva (Purcell)

Jika f(x) ≥ g(x) pada [a, b], maka luas daerah antara kedua kurva:

A = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

Jika kurva saling berpotongan, bagi menjadi sub-interval dan gunakan |f - g| atau tentukan mana yang di atas pada tiap sub-interval.

Visualisasi: Luas antara f(x) dan g(x)

2. Volume Benda Putar: Metode Disk

Teorema 5.2.1: Volume — Metode Disk (Purcell)

Volume benda putar yang dihasilkan dengan memutar daerah di bawah y = f(x) ≥ 0 terhadap sumbu-x:

V = ∫_a^b π [f(x)]² dx

Setiap irisan melintang tegak lurus sumbu putar = disk (cakram) dengan jari-jari r = f(x) dan luas π·r².

Visualisasi: Metode Disk (Benda Putar)

3. Volume: Metode Washer (Ring)

Teorema 5.2.2: Volume — Metode Washer (Purcell)

Volume benda putar dari daerah antara f(x) dan g(x), dengan f(x) ≥ g(x) ≥ 0, diputar terhadap sumbu-x:

V = ∫_a^b π [R(x)² - r(x)²] dx

R(x) = jari-jari luar = f(x), r(x) = jari-jari dalam = g(x). Irisan = washer (ring/cincin).

Visualisasi: Washer — Irisan Melintang

4. Volume: Metode Shell (Kulit Tabung)

Teorema 5.3.1: Volume — Metode Shell (Purcell)

Volume benda putar terhadap sumbu-y dari daerah di bawah y = f(x) ≥ 0, x ∈ [a, b] (a ≥ 0):

V = ∫_a^b 2πx · f(x) dx

Setiap irisan = kulit tabung tipis (cylindrical shell) dengan jari-jari x, tinggi f(x), ketebalan dx.

Visualisasi: Metode Shell

Interaktif: Bandingkan Metode Volume

Metode Disk

V = ∫ₐᵇ π [f(x)]² dx

Putar daerah di bawah y = f(x) terhadap sumbu-x. Irisan melintang = disk (cakram) dengan jari-jari f(x).

Contoh: f(x) = √x, [0,4]: V = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π

Kapan Menggunakan Metode Apa?

Situasi	Metode Terbaik	Alasan
Putar thd sumbu-x, f(x) mudah dikuadratkan	Disk / Washer	Irisan tegak lurus sumbu putar
Putar thd sumbu-y, sulit invers f	Shell	Tidak perlu menginvers fungsi
Daerah antara dua kurva, putar thd sumbu-x	Washer	R = atas, r = bawah
Putar thd garis y = k atau x = k	Sesuaikan jari-jari	R, r diukur dari sumbu putar

5. Panjang Kurva (Arc Length)

Teorema 5.4.1: Panjang Kurva (Purcell)

Jika f' kontinu pada [a, b], maka panjang kurva y = f(x):

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

Visualisasi: Elemen Panjang Kurva ds

6. Luas Permukaan Benda Putar

Teorema 5.4.2: Luas Permukaan (Purcell)

Luas permukaan benda putar yang dihasilkan dengan memutar y = f(x) terhadap sumbu-x:

S = ∫_a^b 2πf(x) · √(1 + [f'(x)]²) dx

= ∫ 2πf(x) ds, di mana ds = elemen panjang kurva. Keliling band × lebar band.

7. Kerja (Work)

Definisi 5.4.3: Kerja oleh Gaya Variabel (Purcell)

Jika gaya F(x) bekerja pada benda yang bergerak dari x = a ke x = b:

W = ∫_a^b F(x) dx

Untuk gaya konstan: W = F · d. Untuk gaya variabel: gunakan integral!

Contoh: Kerja Pegas (Hukum Hooke)

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Luas antara Dua Kurva

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x.

Soal 2: Volume — Disk

Hitung volume benda putar dari y = √x, x ∈ [0, 4], diputar terhadap sumbu-x.

Soal 3: Volume — Washer

Hitung volume benda putar dari daerah antara y = x² dan y = x, diputar terhadap sumbu-x.

Soal 4: Volume — Shell

Hitung volume benda putar dari y = x - x², y = 0, diputar terhadap sumbu-y menggunakan metode shell.

Soal 5: Panjang Kurva

Hitung panjang kurva y = x^(3/2) dari x = 0 ke x = 4.

Soal 6: Kerja (Pegas)

Pegas dengan k = 40 N/m diregangkan dari posisi alami 0.1 m ke 0.3 m. Hitung kerja yang dilakukan.

← P12: Teknik Integrasi P14: Review Komprehensif →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 5.1–5.4. — Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 6.1–6.4.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Ref: Purcell 9e Bab 5.1–5.4 & Stewart 9e Bab 6.1–6.4 — Luas, volume (disk/washer/shell), panjang kurva.

Mudah — Konsep Dasar Tunggal

E1. Hitung luas daerah antara y = x + 2 dan sumbu-x pada [0, 3]

E2. Volume putar y = √x, [0,4] terhadap sumbu-x (metode disk)

E3. Hitung luas daerah antara y = x² dan y = x pada [0,1]

E4. Panjang kurva y = (2/3)x^(3/2) dari x=0 ke x=4

Sedang — Kombinasi 2+ Konsep

M1. Cari titik potong y=x² dan y=2x, lalu hitung luas daerah di antara keduanya.

M2. Volume washer: putar daerah antara y=√x dan y=x² terhadap sumbu-x

M3. Metode shell: putar y=x³, [0,2] terhadap sumbu-y

M4. Hitung luas permukaan putar y = x², [0,1] terhadap sumbu-x

Sulit — Strategi Multi-Step

H1. Hitung luas daerah yang dibatasi y = sin x, y = cos x, pada [π/4, 5π/4]. Visualisasikan.

H2. Putar daerah antara y=1/x, y=0, x=1, x=2 terhadap y=3. Gunakan washer.

H3. Panjang kurva parametrik: x=t², y=t³, 0≤t≤1

H4. Hitung volume torus dengan jari-jari mayor R dan jari-jari minor r menggunakan Pappus atau integral.

Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)

MX1. Arsitektur — Volume Kubah Parabola

Kubah dengan profil y = 10 − x²/10 (meter), diputar terhadap sumbu-y, dari y=0 ke y=10. Hitung volumenya.

MX2. Fisika — Momen Inersia Disk Merata

Disk seragam massa M, jari-jari R. Momen inersia: I = ∫₀ᴿ r² dM, di mana dM = (2M/R²)r dr. Hitung I.

MX3. Aplikasi — Volume Bola Berdimensi Tinggi (Curse of Dimensionality)

Volume bola satuan di ℝⁿ adalah Vₙ = π^(n/2)/Γ(n/2+1). Hitung V₁, V₂, V₃, V₄ dan tunjukkan bahwa Vₙ → 0 saat n → ∞. Jelaskan implikasinya bagi algoritma pencarian tetangga terdekat.