Kalkulus 1 -- Pertemuan 5

Turunan: Definisi & Makna

Makna geometris dan fisis turunan, definisi formal via limit, notasi, hubungan keterdiferensialan dan kontinuitas, serta penurunan dari definisi.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 2.1--2.3. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 2.7--2.8.

1. Makna Turunan: Dua Interpretasi Fundamental

Interpretasi Geometris

f'(a) = kemiringan garis singgung (tangent line) terhadap grafik y = f(x) di titik (a, f(a)).

Garis singgung adalah limit dari garis-garis potong (secant lines) saat titik kedua mendekati titik pertama.

Interpretasi Fisis

f'(a) = laju perubahan sesaat (instantaneous rate of change) dari f terhadap x di x = a.

Jika s(t) = posisi, maka s'(t) = kecepatan sesaat. Jika v(t) = kecepatan, maka v'(t) = percepatan sesaat.

2. Dari Garis Potong ke Garis Singgung

Proses Limit: Secant --> Tangent saat h -> 0

Kemiringan garis potong PQ = [f(a+h) - f(a)] / h. Saat h -> 0, Q mendekati P, dan garis potong "berputar" menjadi garis singgung. Kemiringan garis singgung = limit kemiringan secant = turunan. Garis hijau di atas menunjukkan animasi PROSES limit ini secara dinamis.

Analogi: Speedometer Mobil

Turunan f'(t) = kecepatan sesaat — apa yang dibaca speedometer mobil pada detik t. Berbeda dari kecepatan rata-rata (jarak total ÷ waktu total), turunan menangkap apa yang TERJADI saat ini juga.

Bayangkan Anda menempuh perjalanan Bandung-Jakarta (150 km) dalam 3 jam. Kecepatan rata-rata = 50 km/jam. Tetapi pada momen tertentu — misalnya saat menyalip di tol — speedometer mungkin menunjukkan 100 km/jam. Itulah turunan: nilai sesaat di satu titik waktu, hasil dari proses limit dari kecepatan rata-rata pada interval yang semakin pendek.

Inilah mengapa Newton (1665) dan Leibniz (1684) menemukan kalkulus: untuk menjawab pertanyaan fisika "berapa kecepatan PADA SAAT INI?" — pertanyaan yang aljabar dasar tidak bisa jawab.

3. Definisi Formal Turunan

Definisi 2.1.1 (Purcell): Turunan Fungsi

Turunan f di titik x adalah:

f'(x) = lim_h->0 [f(x + h) - f(x)] / h

asalkan limit tersebut ada. Jika limit ada, f dikatakan terdiferensialkan (differentiable) di x.

Definisi Alternatif 2.1.2: Turunan di Titik a

f'(a) = lim_x->a [f(x) - f(a)] / (x - a)

Diperoleh dengan substitusi x = a + h, sehingga h = x - a dan h -> 0 setara dengan x -> a.

4. Notasi Turunan

Turunan y = f(x) terhadap x ditulis dalam berbagai notasi yang setara:

f'(x) -- notasi Lagrange

Paling umum untuk fungsi bernama

dy/dx -- notasi Leibniz

Menekankan "perubahan y per perubahan x"

Df(x) atau D_xf

Notasi operator (D = d/dx)

d/dx [f(x)]

Operator eksplisit pada ekspresi

y' atau y-dot

Singkatan (y-dot untuk waktu: fisika)

Notasi Leibniz di titik: dy/dx |_x=a atau (dy/dx)(a) berarti f'(a). Simbol dy/dx BUKAN pecahan biasa -- ini adalah satu simbol untuk limit, meskipun berperilaku mirip pecahan dalam aturan rantai.

5. Hubungan Keterdiferensialan dan Kontinuitas

Teorema 2.2.1 (Purcell): Differentiable ==> Continuous

Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.

Differentiable at a ==> Continuous at a

Bukti:

Perlu ditunjukkan: lim_x->a f(x) = f(a), yaitu lim_x->a [f(x) - f(a)] = 0.

Tulis: f(x) - f(a) = [(f(x) - f(a))/(x - a)] * (x - a)

Ambil limit:

lim_x->a [f(x) - f(a)] = lim_x->a [(f(x)-f(a))/(x-a)] * lim_x->a(x-a)

= f'(a) * 0 = 0

Jadi lim_x->a f(x) = f(a), sehingga f kontinu di a. QED

PERINGATAN: Kebalikannya TIDAK berlaku!

Kontinu di a TIDAK MENJAMIN terdiferensialkan di a

Continuous does NOT imply Differentiable

Contoh klasik: f(x) = |x| kontinu di x = 0, tetapi TIDAK terdiferensialkan di x = 0.

Contoh Klasik: f(x) = |x| -- Kontinu tapi Tidak Diferensiabel di 0

Bukti f'(0) tidak ada:

lim_h->0+ (|0+h| - |0|)/h = lim_h->0+ h/h = 1

lim_h->0- (|0+h| - |0|)/h = lim_h->0- (-h)/h = -1

Limit kiri (-1) != limit kanan (1), jadi f'(0) tidak ada.

Diagram Hubungan

6. Menurunkan Turunan dari Definisi

Teorema 2.2.2: Turunan Fungsi Konstan

d/dx [c] = 0

Bukti: f(x) = c. Maka f'(x) = lim_h->0 (c - c)/h = lim_h->0 0/h = lim_h->0 0 = 0.

Makna: fungsi konstan tidak berubah, jadi laju perubahannya = 0.

Teorema 2.2.3: Turunan Fungsi Linear

d/dx [mx + b] = m

Bukti: f(x) = mx + b. Maka:

f'(x) = lim_h->0 [m(x+h)+b - (mx+b)]/h = lim_h->0 mh/h = lim_h->0 m = m.

Makna: fungsi linear memiliki laju perubahan konstan = kemiringannya.

Teorema 2.2.4: Turunan x^n (Bilangan Bulat Positif) via Teorema Binomial

d/dx [xⁿ] = n * x^n-1 (n bilangan bulat positif)

Bukti menggunakan Teorema Binomial:

f(x) = xⁿ. Dari definisi turunan:

f'(x) = lim_h->0 [(x+h)ⁿ - xⁿ] / h

Ekspansi (x+h)ⁿ menggunakan Teorema Binomial:

(x+h)ⁿ = xⁿ + C(n,1)x^n-1h + C(n,2)x^n-2h² + ... + hⁿ

= xⁿ + nx^n-1h + [suku-suku dengan h² atau lebih tinggi]

Substitusi:

f'(x) = lim_h->0 [xⁿ + nx^n-1h + (suku h²+) - xⁿ] / h

= lim_h->0 [nx^n-1h + (suku h²+)] / h

= lim_h->0 [nx^n-1 + (suku mengandung h)]

= nx^n-1 + 0 = nx^n-1

Karena semua suku yang tersisa mengandung h (factor h), mereka menuju 0 saat h -> 0. QED

Contoh Detail: Turunkan f(x) = x^3 dari Definisi

f'(x) = lim_h->0 [(x+h)^3 - x^3] / h

Ekspansi (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3:

= lim_h->0 [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3] / h

= lim_h->0 [3x^2h + 3xh^2 + h^3] / h

= lim_h->0 h[3x^2 + 3xh + h^2] / h

= lim_h->0 [3x^2 + 3xh + h^2]

= 3x^2 + 0 + 0 = 3x^2

Verifikasi: Power Rule: d/dx[x^3] = 3x^(3-1) = 3x^2 ✓

7. Eksplorasi Interaktif

Secant --> Tangent: Geser h Mendekati 0

f(x) = x^2. Amati kemiringan garis potong mendekati turunan saat h -> 0:

a =

h =1.50

f(a) = 1^2 = 1

f(a+h) = 2.5000^2 = 6.25

Kemiringan secant = [f(a+h) - f(a)] / h = 3.5

Turunan eksak f'(a) = 2a = 2

Geser h lebih kecil untuk mendekati turunan...

Tabel Pendekatan: f(x) = x^2, f'(a) dari Definisi

a =f'(a) eksak = 2a = 6

h	f(a)	f(a+h)	[f(a+h)-f(a)]/h	\|error\|
1	9	16	7	1.00000000
0.5	9	12.25	6.5	0.50000000
0.1	9	9.61	6.1	0.10000000
0.01	9	9.0601	6.01	0.01000000
0.001	9	9.006001	6.001	0.00100000
0.0001	9	9.0006	6.0001	0.00010000
0.00001	9	9.00006	6.00001	0.00001000

Saat h -> 0, quotient [f(a+h)-f(a)]/h konvergen ke f'(a) = 2a.

Uji Keterdiferensialan: f(x) = |x|

Titik x =

Turunan kiri: lim_h->0- = -1

Turunan kanan: lim_h->0+ = 1

TIDAK DIFFERENTIABLE di x = 0. Turunan kiri != turunan kanan (titik lancip).

Coba x = 0 (tidak diferensiabel) vs x = 1 atau x = -2 (diferensiabel).

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Turunan x^3 dari Definisi

Hitung f'(x) untuk f(x) = x^3 menggunakan definisi limit.

Soal 2: Turunan sqrt(x) dari Definisi

Hitung f'(x) untuk f(x) = sqrt(x) menggunakan definisi limit (rasionalisasi).

Soal 3: Persamaan Garis Singgung

Cari persamaan garis singgung pada kurva y = x^2 - 3x + 2 di titik x = 2.

Soal 4: Kecepatan Sesaat

Posisi benda: s(t) = 4t^2 - t + 3 (meter, detik). Cari kecepatan sesaat saat t = 2 detik.

Soal 5: Keterdiferensialan

Tentukan apakah f(x) = x^(1/3) terdiferensialkan di x = 0.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Topik: Aturan Turunan (Chain, Product, Quotient) — Purcell 9e Bab 2.4–2.6 & Stewart 9e Bab 3.1–3.4

Mudah (Easy)

E1. Hitung d/dx [x⁴ · x³]

E2. Hitung d/dx [(2x+1)⁴] menggunakan Chain Rule

E3. Hitung d/dx [sin(3x)]

E4. Hitung d/dx [x² · sin x] menggunakan Product Rule

Sedang (Medium)

M1. Hitung d/dx [sin(x²)·eˣ] menggunakan Product + Chain Rule

M2. Hitung d/dx [tan x] dari turunan sin dan cos

M3. Hitung d/dx [(x²+1)/(x−3)]

M4. Hitung d/dx [e^(sin x)]

Sulit (Hard)

H1. Hitung d/dx [(x³·sin x) / (x²+1)] — gabungan Product + Quotient

H2. Turunan implisit: x² + y² = 25. Cari dy/dx dan verifikasi pada (3,4)

H3. Hitung d/dx [ln(sin(eˣ))] — triple chain rule

H4. Hitung d/dx [x^x] menggunakan logarithmic differentiation

Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)

MX1. Fisika — Radiasi benda hitam: I(λ) = C₁/(λ⁵(e^(C₂/λT)−1)). Cari dI/dλ saat λ → max (Hukum Wien)

MX2. Kimia — Laju reaksi: r = k·[A]²·[B]. Hitung dr/dt jika [A]=0.5 M turun 0.01 M/s dan [B]=0.3 M konstan

MX3. Ekonomi — Elastisitas permintaan: E(p) = (dQ/dp)·(p/Q) untuk Q = 100/(p²+1)

← P4: Kontinuitas P6: Aturan Turunan →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 2.1--2.3. -- Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 2.7--2.8.