Kalkulus 1 — Pertemuan 2
Fungsi, Domain, Range & Grafik
Fungsi adalah bahasa utama kalkulus — mesin yang mengubah input menjadi output secara deterministik.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 0.6–0.8, 1.2–1.3. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 1.1–1.3.
MAKNA MENDALAM: Fungsi adalah hubungan deterministik: setiap input x menghasilkan tepat satu output f(x). Kalkulus mempelajari bagaimana output berubah ketika input berubah — turunan mengukur laju perubahan, integral mengakumulasi total perubahan. Tanpa fungsi, tidak ada yang bisa diturunkan atau diintegralkan. Fungsi adalah "karakter utama" dalam cerita kalkulus.
1. Definisi Fungsi
Definisi 0.6.1 (Purcell): Fungsi
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang menetapkan tepat satu elemen b ∈ B untuk setiap elemen a ∈ A.
Kata kunci "tepat satu": Ini yang membedakan fungsi dari relasi umum. Satu input TIDAK BOLEH menghasilkan dua output berbeda (uji garis vertikal).
Domain (Daerah Asal)
Himpunan semua input x yang valid (di mana f(x) terdefinisi).
Contoh: f(x) = √x, domain = [0, ∞)
Codomain (Daerah Kawan)
Himpunan output yang "mungkin" — biasanya ℝ.
Codomain ditetapkan oleh definisi fungsi.
Range (Daerah Hasil)
Himpunan output yang benar-benar tercapai. Range ⊆ Codomain.
Contoh: f(x) = x², range = [0, ∞) ⊂ ℝ
Diagram Panah: Pemetaan Fungsi
Uji Garis Vertikal (Vertical Line Test)
Jika sebarang garis vertikal memotong grafik di lebih dari satu titik, maka grafik tersebut bukan grafik fungsi (satu input menghasilkan dua output).
2. Jenis-Jenis Fungsi Dasar
Definisi 0.6.2 (Purcell): Fungsi-Fungsi Elementer
Linear: f(x) = ax + b. Grafik garis lurus, laju perubahan konstan = a (gradien).
Kuadratik: f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. Grafik parabola. Vertex di x = −b/(2a).
Polinomial: f(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀. Smooth dan kontinu di seluruh ℝ.
Rasional: f(x) = p(x)/q(x), polinomial per polinomial. Domain: {x | q(x) ≠ 0}.
Trigonometri: sin x, cos x, tan x. Periodik — pola berulang.
Eksponensial: f(x) = ax, a > 0. Pertumbuhan/peluruhan.
Galeri Fungsi Dasar
Linear
Kuadratik
Trigonometri
3. Fungsi Piecewise (Per Bagian)
Definisi 0.6.3 (Purcell): Fungsi Piecewise
Fungsi yang didefinisikan oleh aturan berbeda pada interval-interval berbeda dari domainnya.
{ x + 1, jika x < 0
f(x) = { x², jika 0 ≤ x ≤ 2
{ 4, jika x > 2
Grafik Fungsi Piecewise
Perhatikan lingkaran terbuka (open) vs tertutup di titik peralihan. Ini menentukan nilai fungsi di titik batas.
4. Sifat Aljabar Fungsi
Teorema 0.6.4: Operasi Aljabar pada Fungsi (Purcell)
Jika f dan g fungsi dengan domain Df dan Dg, maka pada Df ∩ Dg:
Penjumlahan: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Pengurangan: (f − g)(x) = f(x) − g(x)
Perkalian: (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Pembagian: (f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0
Perkalian skalar: (c · f)(x) = c · f(x)
Penting: Domain hasil operasi = irisan domain keduanya. Untuk f/g, tambahan syarat g(x) ≠ 0.
Demo Interaktif: Aljabar Fungsi
f(x) = x² + 1, g(x) = 2x − 3
f(2): 2² + 1 = 5
g(2): 2(2) − 3 = 1
(f + g)(2): 5 + 1 = 6
(f − g)(2): 5 − 1 = 4
(f · g)(2): 5 × 1 = 5
(f / g)(2): 5 / 1 = 5
5. Komposisi Fungsi
Definisi 0.7.1 (Purcell): Komposisi Fungsi
Domain f ∘ g = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df}. Output g harus masuk domain f.
Peringatan Kritis
Komposisi fungsi TIDAK komutatif. Urutan sangat penting!
Komposisi sebagai Pemetaan Dua Tahap
Demo Interaktif: f(x) = 2x + 1, g(x) = x²
f ∘ g (terapkan g dulu, lalu f):
g(3) = 3² = 9
f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1 = 19
g ∘ f (terapkan f dulu, lalu g):
f(3) = 2(3) + 1 = 7
g(f(3)) = g(7) = 7² = 49
f∘g = 19 ≠ g∘f = 49 — komposisi TIDAK komutatif!
6. Fungsi Invers
Definisi 0.7.2 (Purcell): Fungsi Invers
Jika f : A → B bijektif (satu-satu DAN onto), maka terdapat fungsi invers f⁻¹ : B → A sedemikian sehingga:
f⁻¹(f(x)) = x untuk semua x ∈ A
f(f⁻¹(y)) = y untuk semua y ∈ B
Teorema 0.7.3: Syarat & Cara Mencari Invers
Syarat: f harus injektif (satu-satu) — setiap output berasal dari tepat satu input. Uji: garis horizontal memotong grafik di paling banyak 1 titik.
Cara mencari f⁻¹:
1. Tulis y = f(x)
2. Tukar x dan y (x = f(y))
3. Selesaikan untuk y → itu adalah f⁻¹(x)
Grafik: f⁻¹ adalah refleksi grafik f terhadap garis y = x.
Grafik f dan f⁻¹: Refleksi terhadap y = x
Demo Interaktif: f(x) = 2x + 3, f⁻¹(x) = (x − 3)/2
f(5): 2(5) + 3 = 13
f⁻¹(5): (5 − 3)/2 = 1
Verifikasi: f(f⁻¹(5)) = f(1) = 2(1) + 3 = 5 = x ✓
7. Transformasi Grafik
Teorema 0.8.1: Transformasi Grafik Fungsi (Purcell)
Translasi vertikal: y = f(x) + k — geser naik k (k > 0) atau turun |k| (k < 0)
Translasi horizontal: y = f(x − h) — geser kanan h (h > 0) atau kiri |h| (h < 0)
Refleksi sumbu-x: y = −f(x) — cermin terhadap sumbu-x
Refleksi sumbu-y: y = f(−x) — cermin terhadap sumbu-y
Dilatasi vertikal: y = c·f(x) — regangkan (c > 1) atau ciutkan (0 < c < 1)
Dilatasi horizontal: y = f(cx) — ciutkan (c > 1) atau regangkan (0 < c < 1)
Visualisasi: Translasi y = x² menjadi y = (x − 2)² + 3
8. Fungsi Genap & Ganjil
Definisi 0.8.2 (Purcell): Simetri Fungsi
Genap (Even): f(−x) = f(x) untuk semua x. Grafik simetri terhadap sumbu-y.
Contoh: x², cos(x), |x|, x&sup4;
Ganjil (Odd): f(−x) = −f(x) untuk semua x. Grafik simetri terhadap titik asal.
Contoh: x³, sin(x), x, tan(x)
Simetri Fungsi Genap vs Ganjil
Pemeriksa Genap/Ganjil Interaktif
f(3): x²(3) = 9
f(-3): x²(-3) = 9
GENAP: f(-x) = f(x)
9. Grafik Fungsi Interaktif
Pilih jenis fungsi dan ubah parameter
f(x) = 1x² + 0x + 0
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Domain & Range
Tentukan domain dan range dari f(x) = √(4 − x²).
Soal 2: Komposisi Fungsi
Jika f(x) = x² + 1 dan g(x) = 3x − 2, tentukan (f ∘ g)(x) dan (g ∘ f)(x).
Soal 3: Fungsi Invers
Cari invers dari f(x) = (2x + 3)/(x − 1), x ≠ 1.
Soal 4: Genap atau Ganjil?
Tentukan apakah h(x) = x³ + x genap, ganjil, atau keduanya bukan.
Soal 5: Domain Rasional
Tentukan domain dari f(x) = (x + 2) / (x² − 9).
Soal 6: Transformasi Grafik
Diberikan grafik y = f(x). Jelaskan langkah-langkah untuk menggambar y = −2f(x − 3) + 1.
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Purcell 9e Bab 0.6–0.8 & Stewart 9e Bab 1.1–1.3 — Fungsi, domain, komposisi, invers.
Mudah — Konsep Dasar Tunggal
E1. Tentukan domain f(x) = √(x − 4)
E2. Tentukan apakah f(x) = x³ merupakan fungsi ganjil, genap, atau keduanya.
E3. Hitung f(g(2)) jika f(x) = x² + 1 dan g(x) = 3x − 1
E4. Cari f⁻¹(x) untuk f(x) = 2x + 5
Sedang — Kombinasi 2+ Konsep
M1. Tentukan domain dan range f(x) = 1 / √(4 − x²)
M2. Tunjukkan bahwa (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹ untuk f(x) = 2x, g(x) = x + 3
M3. Uraikan h(x) = sin(x²+1) sebagai komposisi dua fungsi dan sebutkan masing-masing.
M4. Tentukan semua transformasi pada y = −2f(x+1) − 3 dari grafik y = f(x)
Sulit — Strategi Multi-Step
H1. Tentukan apakah f(x) = (x²−1)/(x−1) sama dengan g(x) = x+1. Tunjukkan grafik keduanya.
H2. Tunjukkan bahwa f(x) = e^x memiliki invers f⁻¹(x) = ln x. Gambarkan refleksi terhadap y=x.
H3. Cari semua f sehingga f(f(x)) = x (fungsi involutori). Berikan 3 contoh.
H4. Komposisi tiga fungsi: h(x) = √(sin(x²)). Nyatakan sebagai f∘g∘k dan tentukan domain maximal.
Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)
MX1. Fisika — Komposisi Fungsi: Temperatur & Ekspansi
Panjang logam L(T) = L₀(1 + αT). Temperatur berubah dengan waktu T(t) = 20 + 5t. Tulis L sebagai fungsi t dan hitung L(10) jika L₀ = 2 m, α = 1.2×10⁻⁵/°C.
MX2. Biologi — Model Pertumbuhan Fungsi Eksponensial
Populasi bakteri: P(t) = 1000 × 2^(t/3). (a) Berapa populasi awal? (b) Kapan populasi mencapai 8000? (c) Apa interpretasi domain dan range secara biologis?
MX3. Fungsi — Injektif, Surjektif & Invers
Fungsi hash memetakan berkas berukuran sembarang ke keluaran tetap 256 bit, yaitu h: {0,1}* → {0,1}²⁵⁶. Jelaskan mengapa h tidak mungkin injektif, dan apa konsekuensinya terhadap keberadaan fungsi invers.