Kalkulus 1 -- Pertemuan 6

Aturan-Aturan Turunan

Power Rule, Sum/Difference, Constant Multiple, Product Rule, Quotient Rule, Chain Rule -- dengan bukti formal dan interpretasi visual.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 2.4--2.6. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 3.1--3.4.

1. Power Rule (Aturan Pangkat)

Teorema 2.4.1 (Purcell): Power Rule

d/dx [xⁿ] = n * x^n-1

Berlaku untuk n bilangan bulat positif. (Akan diperluas ke semua bilangan real r dengan Extended Power Rule.)

Bukti (Teorema Binomial):

d/dx[xⁿ] = lim_h->0 [(x+h)ⁿ - xⁿ] / h

Teorema Binomial: (x+h)ⁿ = sum_{k=0}^{n} C(n,k) x^{n-k} h^k

= xⁿ + nx^n-1h + C(n,2)x^n-2h² + ... + hⁿ

Setelah mengurangi xⁿ dan membagi dengan h:

= lim_h->0 [nx^n-1 + C(n,2)x^n-2h + ... + h^n-1]

Semua suku kecuali suku pertama mengandung faktor h, sehingga -> 0:

= nx^n-1 QED

Visualisasi: Turunan Menurunkan Derajat

2. Sum/Difference Rule & Constant Multiple Rule

Teorema 2.4.2: Linearitas Turunan

Constant Multiple: d/dx [c * f(x)] = c * f'(x)

Sum Rule: d/dx [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

Difference Rule: d/dx [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)

Bukti (Constant Multiple):

d/dx[cf(x)] = lim_h->0 [cf(x+h) - cf(x)]/h = c * lim_h->0 [f(x+h)-f(x)]/h = c * f'(x). QED

Bukti (Sum Rule):

d/dx[f+g] = lim_h->0 [(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))]/h
= lim_h->0 [f(x+h)-f(x)]/h + lim_h->0 [g(x+h)-g(x)]/h = f'(x) + g'(x). QED

Sifat Aljabar: Linearitas Operator Turunan

d/dx [a*f(x) + b*g(x)] = a*f'(x) + b*g'(x)

Turunan adalah operator linear: ia "mendistribusikan" terhadap penjumlahan dan mengeluarkan konstanta. Ini menggabungkan constant multiple rule dan sum rule.

3. Product Rule (Aturan Perkalian)

Teorema 2.4.3 (Purcell): Product Rule

d/dx [f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Mnemonik: "turunan pertama kali kedua, PLUS pertama kali turunan kedua."

Bukti dari Definisi:

d/dx[fg] = lim_h->0 [f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)] / h

Trik kunci: Tambah dan kurangi f(x+h)g(x) di pembilang:

= lim_h->0 [f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)] / h

= lim_h->0 { f(x+h)*[g(x+h)-g(x)]/h + g(x)*[f(x+h)-f(x)]/h }

Karena f differentiable ==> f kontinu, maka lim_h->0 f(x+h) = f(x):

= f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x)

= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) QED

Visualisasi: Product Rule sebagai Perubahan Luas

4. Quotient Rule (Aturan Pembagian)

Teorema 2.4.4 (Purcell): Quotient Rule

d/dx [f(x)/g(x)] = [f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)] / [g(x)]²

Mnemonik: "penyebut kali turunan pembilang, MINUS pembilang kali turunan penyebut, semua dibagi penyebut kuadrat." Atau: "lo-di-hi minus hi-di-lo over lo-lo."

Bukti dari Definisi:

d/dx[f/g] = lim_h->0 [f(x+h)/g(x+h) - f(x)/g(x)] / h

= lim_h->0 [f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)] / [h * g(x+h) * g(x)]

Trik: Tambah dan kurangi f(x)g(x) di pembilang:

= lim_h->0 {g(x)*[f(x+h)-f(x)] - f(x)*[g(x+h)-g(x)]} / [h*g(x+h)*g(x)]

= [g(x)*f'(x) - f(x)*g'(x)] / [g(x)*g(x)]

= [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 QED

5. Chain Rule (Aturan Rantai)

Teorema 2.5.1 (Purcell): Chain Rule

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

Atau dalam notasi Leibniz: jika y = f(u) dan u = g(x), maka:

dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

Interpretasi "rate of rate": Jika y berubah 3 kali lipat secepat u, dan u berubah 2 kali lipat secepat x, maka y berubah 3*2 = 6 kali lipat secepat x. Laju perubahan dikalikan!

Visualisasi: Aturan Rantai sebagai Komposisi Laju

6. Extended Power Rule & Generalized Chain Rule

Teorema 2.5.2: Extended Power Rule

d/dx [x^r] = r * x^r-1 (r bilangan real)

Ini memperluas Power Rule dari bilangan bulat positif ke SEMUA bilangan real: pecahan (akar), negatif (kebalikan), dan bahkan irasional.

Teorema 2.5.3: Generalized Power Rule (Chain + Power)

d/dx [g(x)^r] = r * [g(x)]^r-1 * g'(x)

Ini adalah kombinasi Chain Rule dengan Power Rule. Contoh: d/dx[(2x+1)^5] = 5(2x+1)^4 * 2 = 10(2x+1)^4.

Ringkasan Semua Aturan Turunan

Aturan	Formula	Catatan
Power	d/dx[x^n] = nx^(n-1)	n bil. bulat positif
Constant Multiple	d/dx[cf] = cf'	c konstanta
Sum/Diff	d/dx[f +/- g] = f' +/- g'	Linearitas
Product	d/dx[fg] = f'g + fg'	BUKAN f'g'
Quotient	d/dx[f/g] = (f'g-fg')/g^2	g != 0
Chain	d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))*g'(x)	dy/dx = dy/du * du/dx
Extended Power	d/dx[x^r] = rx^(r-1)	r real
Gen. Power	d/dx[g^r] = rg^(r-1)*g'	Chain + Power

7. Eksplorasi Interaktif

Power Rule Explorer

n =

x =

f(x) = x^4 = 16

f'(x) = 4x^3 = 32

Product Rule Step-by-Step: f(x)=x^2, g(x)=x^3

Evaluasi di x =

Langkah 1: f(x) = x^2 = 4, f'(x) = 2x = 4

Langkah 2: g(x) = x^3 = 8, g'(x) = 3x^2 = 12

Langkah 3: Product Rule: f'g + fg' = 4*8 + 4*12

= 32.0000 + 48.0000 = 80

Verifikasi: d/dx[x^5] = 5x^4 = 80 ✓ Cocok!

Quotient Rule Step-by-Step: (x^2+1)/(x-1)

Evaluasi di x =

f(x) = x^2+1 = 2, f'(x) = 2x = 2

g(x) = x-1 = 0, g'(x) = 1

Quotient Rule: (f'g - fg') / g^2

= (2*0 - 2*1) / 0^2

= Tidak terdefinisi (g=0)

Chain Rule Step-by-Step: y = (2x+1)^3

Evaluasi di x =

Langkah 1 -- Identifikasi: outer f(u) = u^3, inner u = g(x) = 2x+1

Langkah 2 -- Inner: u = 2(1)+1 = 3, u' = 2

Langkah 3 -- Outer derivative: f'(u) = 3u^2 = 3(3)^2 = 27

Langkah 4 -- Multiply: dy/dx = f'(u)*u' = 27 * 2

= 54

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Kombinasi Power + Sum

Cari f'(x) untuk f(x) = 3x^5 - 2x^3 + 7x - 4.

Soal 2: Product Rule

Cari turunan h(x) = (x^2 + 1)(3x - 5).

Soal 3: Quotient Rule

Cari turunan y = (2x + 3)/(x^2 - 1).

Soal 4: Chain Rule

Cari dy/dx untuk y = (3x^2 - x + 1)^7.

Soal 5: Combined Rules

Cari turunan f(x) = x^2 * sqrt(x^3 + 1).

Soal 6: Triple Chain Rule

Cari dy/dx untuk y = sin^2(3x + 1), yaitu y = [sin(3x+1)]^2.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Topik: Aplikasi Turunan (Extrema, Monoton, Cekung) — Purcell 9e Bab 2.7–2.9 & Stewart 9e Bab 3.3–3.6

Mudah (Easy)

E1. Cari titik kritis f(x) = x² − 4x + 3

E2. Tentukan interval naik/turun f(x) = x³ − 3x

E3. Tentukan cekung atas/bawah f(x) = x⁴ − 6x²

E4. Gunakan First Derivative Test pada f(x) = x³ − 3x² − 9x

Sedang (Medium)

M1. Cari nilai ekstrem absolut f(x) = x³ − 3x + 1 pada [−2, 2]

M2. Gunakan Second Derivative Test untuk f(x) = x⁴ − 4x²

M3. Tentukan persamaan garis normal f(x) = x² + 1 di titik (1, 2)

M4. Cari titik infleksi f(x) = x³ − 6x² + 12x

Sulit (Hard)

H1. Buat sketsa lengkap f(x) = (x²−4)/(x²−1) (domain, asimtot, krit, infleksi)

H2. Optimasi box tanpa tutup: V = x²·y = 32. Minimumkan luas permukaan S = x² + 4xy

H3. Mean Value Theorem: verifikasi untuk f(x) = x³ pada [0,2]

H4. Grafik fungsi implisit x²+xy+y²=3 — cari dy/dx dan titik horizontal/vertikal tangent

Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)

MX1. Optimasi — Kawat 100 m dipotong dua: satu persegi, satu lingkaran. Minimumkan total luas

MX2. Ekonomi — Maximasi profit: R(q) = 50q−0.5q², C(q) = 10q+100

MX3. Fisika — Lintasan peluru: y(x) = x·tan θ − gx²/(2v₀²cos²θ). Cari jangkauan maksimum R

← P5: Turunan (Definisi)P7: Turunan Fungsi Khusus →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 2.4--2.6. -- Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 3.1--3.4.