Kalkulus 1 -- Pertemuan 4

Kontinuitas Fungsi

Definisi formal kontinuitas, jenis diskontinuitas, sifat aljabar fungsi kontinu, Teorema Nilai Antara, dan Teorema Nilai Ekstrem.

Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 1.6. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 2.5.

1. Definisi Kontinuitas di Suatu Titik

Definisi 1.6.1 (Purcell): Kontinuitas di Titik

Fungsi f dikatakan kontinu di titik x = a jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi:

(i) f(a) terdefinisi (a berada dalam domain f)

(ii) lim_x->a f(x) ada (limit ada dan berhingga)

(iii) lim_x->a f(x) = f(a) (nilai limit = nilai fungsi)

Interpretasi intuitif: Grafik f dapat digambar melewati titik (a, f(a)) tanpa mengangkat pena. Tidak ada lubang, loncatan, atau ledakan di x = a.

Visualisasi: Tiga Syarat Kontinuitas

Catatan penting: Jika salah satu dari ketiga syarat gagal, maka f tidak kontinu (diskontinu) di x = a. Setiap jenis kegagalan menghasilkan jenis diskontinuitas yang berbeda (lihat Bagian 4).

Analogi Sehari-hari: Jalan Tol Mulus

Fungsi kontinu = jalan tol mulus tanpa lubang. Diskontinuitas = ada cacat di jalan itu:

Removable = ada lubang kecil yang bisa ditambal (ban dapat melewati dengan sedikit getaran)
Jump (loncat) = ada tanjakan curam tiba-tiba (mobil melompat ke ketinggian berbeda)
Infinite (tak hingga) = ada jurang tak berdasar (mobil terjun ke bawah, tidak ada nilai f berhingga)

Visualisasi Animasi: Tiga Jenis Diskontinuitas

Removable

Lubang kecil yang bisa "diisi"

Jump (Loncat)

Tanjakan curam mendadak

Infinite (Tak Hingga)

Jurang tak berdasar (asimtot)

2. Kontinuitas Fungsi-Fungsi Dasar

Teorema 1.6.2 (Purcell): Kontinuitas Polinomial & Rasional

1. Fungsi Polinomial: Setiap fungsi polinomial p(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ kontinu di setiap bilangan real (kontinu di (-oo, +oo)).

2. Fungsi Rasional: Setiap fungsi rasional r(x) = p(x)/q(x) kontinu di setiap titik dalam domainnya, yaitu di semua x di mana q(x) != 0.

Bukti (Polinomial): Dari sifat aljabar limit (Teorema 1.4.2 Pertemuan 3), untuk sembarang a: lim_x->a p(x) = p(a). Ketiga syarat kontinuitas terpenuhi.

Teorema 1.6.3: Kontinuitas Fungsi Trigonometri

sin x dan cos x kontinu di seluruh R.

tan x kontinu di domainnya (x != pi/2 + n*pi).

cot x kontinu di domainnya (x != n*pi).

sec x kontinu di domainnya (x != pi/2 + n*pi).

csc x kontinu di domainnya (x != n*pi).

Bukti sketsa (sin x): Gunakan identitas sin(a+h) = sin a cos h + cos a sin h dan limit lim_h->0 sin h = 0, lim_h->0 cos h = 1 untuk menunjukkan lim_x->a sin x = sin a.

3. Sifat Aljabar Fungsi Kontinu

Teorema 1.6.4 (Purcell): Operasi Aritmetika Fungsi Kontinu

Jika f dan g kontinu di x = a, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di x = a:

1. Penjumlahan: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. Pengurangan: (f - g)(x) = f(x) - g(x)

3. Perkalian skalar: (c * f)(x) = c * f(x), untuk konstanta c

4. Perkalian: (f * g)(x) = f(x) * g(x)

5. Pembagian: (f / g)(x) = f(x) / g(x), asalkan g(a) != 0

Bukti: Langsung dari sifat aljabar limit. Misalnya (f+g): lim_x->a(f+g)(x) = lim f(x) + lim g(x) = f(a) + g(a) = (f+g)(a).

Teorema 1.6.5 (Purcell): Komposisi Fungsi Kontinu

Jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka:

(f o g)(x) = f(g(x)) kontinu di x = a

Dengan kata lain: lim_x->a f(g(x)) = f(lim_x->a g(x)) = f(g(a)). Limit dapat "masuk" ke dalam fungsi kontinu.

Teorema 1.6.6: Kontinuitas Nilai Mutlak & Akar

Nilai Mutlak: Jika f kontinu di a, maka |f| kontinu di a. (Karena |x| kontinu di seluruh R, dan |f(x)| = |.| o f(x) adalah komposisi dua fungsi kontinu.)

Akar: Jika f kontinu di a dan f(a) > 0, maka sqrt(f(x)) kontinu di a. (Karena sqrt(x) kontinu untuk x > 0, dan sqrt(f(x)) = sqrt(.) o f(x).)

Lebih umum: akar ke-n (f(x))^(1/n) kontinu di a jika f kontinu di a dan (untuk n genap) f(a) > 0.

3b. Teorema Limit Komposit (Bukti Formal)

Teorema 1.6.7 (Purcell): Limit Komposit

Jika lim_x->a g(x) = L dan f kontinu di L, maka:

lim_x->a f(g(x)) = f(L) = f(lim_x->a g(x))

Bukti Formal (epsilon-delta):

Diberikan: lim_x->a g(x) = L, dan f kontinu di L.

Akan dibuktikan: lim_x->a f(g(x)) = f(L).

Bukti:

Ambil sembarang epsilon > 0.

Langkah 1: Karena f kontinu di L, maka lim_t->L f(t) = f(L). Jadi, terdapat delta_1 > 0 sehingga:

|t - L| < delta_1 ==> |f(t) - f(L)| < epsilon ...(i)

Langkah 2: Karena lim_x->a g(x) = L, untuk delta_1 di atas, terdapat delta > 0 sehingga:

0 < |x - a| < delta ==> |g(x) - L| < delta_1 ...(ii)

Langkah 3: Gabungkan (i) dan (ii). Substitusi t = g(x) dalam (i):

0 < |x - a| < delta ==> |g(x) - L| < delta_1 ==> |f(g(x)) - f(L)| < epsilon

Ini persis definisi lim_x->a f(g(x)) = f(L). QED

4. Jenis-Jenis Diskontinuitas

Ketika fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = a, diskontinuitas tersebut diklasifikasikan berdasarkan bagaimana salah satu syarat kontinuitas gagal.

4a. Diskontinuitas Removable (Dapat Diangkat)

Limit ada, tetapi f(a) tidak terdefinisi ATAU f(a) != lim_x->a f(x). Diskontinuitas ini dapat "diperbaiki" dengan mendefinisikan ulang f(a) = L.

Contoh: f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) di x = 1. Limit = 2, tapi f(1) tidak terdefinisi. Perbaikan: definisikan f(1) = 2.

4b. Diskontinuitas Jump (Loncatan)

Limit kiri dan limit kanan keduanya ada, tetapi berbeda: lim_x->a- f(x) != lim_x->a+ f(x). Diskontinuitas ini tidak dapat diperbaiki.

Contoh: f(x) = floor(x) (fungsi lantai) di setiap bilangan bulat. Atau fungsi Heaviside H(x) di x = 0.

4c. Diskontinuitas Infinite (Tak Hingga)

Limit dari satu atau kedua sisi adalah +oo atau -oo. Grafik memiliki asimtot vertikal di x = a.

Contoh: f(x) = 1/(x - 2) di x = 2. Juga f(x) = tan(x) di x = pi/2.

5. Kontinuitas pada Interval

Definisi 1.6.8: Kontinuitas pada Interval

Interval terbuka (a, b): f kontinu di (a, b) jika f kontinu di setiap titik c dalam (a, b).

Interval tertutup [a, b]: f kontinu di [a, b] jika:

1. f kontinu di (a, b)

2. lim_x->a+ f(x) = f(a) (kontinu dari kanan di a)

3. lim_x->b- f(x) = f(b) (kontinu dari kiri di b)

Di titik ujung, kita hanya memeriksa limit sepihak karena hanya satu sisi yang berada dalam interval.

6. Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem)

Teorema 1.6.9 (Purcell): Intermediate Value Theorem (IVT)

Jika f kontinu di interval tertutup [a, b] dan N adalah sembarang bilangan antara f(a) dan f(b), maka terdapat setidaknya satu c dalam (a, b) sehingga:

f(c) = N

Interpretasi: Fungsi kontinu pada [a, b] mengambil semua nilai antara f(a) dan f(b). Grafik tidak boleh "melompati" nilai apapun -- ia harus melewati setiap level horizontal antara f(a) dan f(b).

Visualisasi: Teorema Nilai Antara

Korolari penting (Eksistensi akar): Jika f kontinu di [a, b] dan f(a) * f(b) < 0 (tanda berbeda), maka terdapat c dalam (a, b) sehingga f(c) = 0. Ini adalah dasar metode biseksi dalam analisis numerik.

7. Teorema Nilai Ekstrem (Extreme Value Theorem)

Teorema 1.6.10 (Purcell): Extreme Value Theorem (EVT)

Jika f kontinu di interval tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum absolut dan minimum absolut di [a, b]. Artinya, terdapat c, d dalam [a, b] sehingga:

f(c) ≤ f(x) ≤ f(d) untuk semua x dalam [a, b]

Interpretasi: Fungsi kontinu pada interval tertutup pasti memiliki titik tertinggi dan terendah. Kedua syarat (kontinu DAN interval tertutup) sangat penting -- jika salah satu dilanggar, kesimpulan bisa gagal.

Visualisasi: Teorema Nilai Ekstrem

8. Eksplorasi Interaktif: Uji Kontinuitas Fungsi Piecewise

Cari Nilai k agar f Kontinu

Diberikan fungsi piecewise:

f(x) = x^2 + k, jika x ≤ a

f(x) = 2x + 1, jika x > a

a =

k =

Limit kiri: lim_x->a- f(x) = a^2 + k = 4

Limit kanan: lim_x->a+ f(x) = 2a + 1 = 3

f(a) = a^2 + k = 4

DISKONTINU di x = a. Limit kiri != limit kanan atau limit != f(a).

Agar kontinu: a^2 + k = 2a + 1, jadi k = 2a + 1 - a^2 = 2. Coba masukkan nilai k tersebut!

Eksplorasi: IVT & Metode Biseksi

Cari akar f(x) = x^3 - x - 2 pada [1, 2] menggunakan IVT berulang (biseksi):

f(1) = 1 - 1 - 2 = -2 < 0, f(2) = 8 - 2 - 2 = 4 > 0 --> ada akar di (1, 2).

Step	a	b	mid	f(mid)	Tanda
1	1	2	1.5	-0.125	negatif -> akar di kanan
2	1.5	2	1.75	1.609375	positif -> akar di kiri
3	1.5	1.75	1.625	0.666016	positif -> akar di kiri
4	1.5	1.625	1.5625	0.252197	positif -> akar di kiri
5	1.5	1.5625	1.53125	0.059113	positif -> akar di kiri
6	1.5	1.53125	1.515625	-0.034054	negatif -> akar di kanan
7	1.515625	1.53125	1.523438	0.012253	positif -> akar di kiri
8	1.515625	1.523438	1.519532	-0.010967	negatif -> akar di kanan

Setiap langkah membelah interval menjadi dua, mempersempit lokasi akar. Ini aplikasi langsung IVT!

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Uji Kontinuitas

Tentukan apakah f(x) = (x^2 - 9)/(x - 3) kontinu di x = 3.

Soal 2: Piecewise Continuity

Tentukan nilai a dan b agar f kontinu di semua R, di mana f(x) = {x^2 jika x < 1, ax+b jika 1 ≤ x ≤ 3, 4x jika x > 3}.

Soal 3: Klasifikasi Diskontinuitas

Klasifikasikan diskontinuitas f(x) = (|x|)/x di x = 0.

Soal 4: Aplikasi IVT

Tunjukkan bahwa persamaan x^5 - 3x^3 + 1 = 0 memiliki akar di interval (0, 1).

Soal 5: Komposisi & Nilai Mutlak

Buktikan bahwa f(x) = |sin(x^2 + 1)| kontinu di seluruh R.

Soal 6: Teorema Nilai Ekstrem

Jelaskan mengapa f(x) = 1/x pada (0, 1) TIDAK dijamin memiliki nilai maksimum, dan hubungkan dengan syarat EVT.

Eksplorasi: Kontinuitas Fungsi Rasional

Selidiki f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) di sekitar x = 2:

x =f(x) = Tidak terdefinisi (0/0)

Coba x = 1.9, 1.99, 1.999, 2.001, 2.01. Limit mendekati 4, tapi f(2) tidak terdefinisi --> diskontinuitas removable.

Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian

Topik: Kontinuitas & Turunan Dasar — Purcell 9e Bab 1.6, 2.1–2.3 & Stewart 9e Bab 2.5, 2.7–2.8

Mudah (Easy)

E1. Hitung f'(x) jika f(x) = x⁵

E2. Hitung d/dx [7x³ − 4x + 9]

E3. Hitung turunan f(x) = √x = x^(1/2)

E4. Tentukan apakah f(x) = x² + 3x kontinu di semua titik

Sedang (Medium)

M1. Hitung f'(x) dari definisi limit: f(x) = x²

M2. Hitung turunan f(x) = 1/x = x^(−1)

M3. Cari persamaan garis singgung f(x) = x³ di titik (2, 8)

M4. Tentukan nilai k agar f(x) = {x²+k, x<1; 3x−1, x≥1} kontinu dan terdiferensiasi di x=1

Sulit (Hard)

H1. Buktikan f(x) = |x| tidak terdiferensiasi di x = 0

H2. Hitung turunan f(x) = x^(2/3) dan tentukan di mana tidak terdiferensiasi

H3. Gunakan IVT untuk buktikan x³ − x − 1 = 0 punya akar di (1, 2)

H4. Tentukan f'(x) via definisi untuk f(x) = √(2x+1)

Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)

MX1. Mekanika — Kecepatan & Percepatan dari posisi s(t) = t³ − 6t² + 9t

MX2. Ekonomi — Marginal Cost dari C(q) = 0.01q³ − 0.6q² + 14q + 100

MX3. Biologi — Laju pertumbuhan bakteri N(t) = 500·2^t pada t=3

← P3: Limit P5: Turunan (Definisi) →

Purcell, E.J., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson, Bab 1.6. -- Stewart, J. (2020). Calculus: Early Transcendentals, 9th ed. Cengage, Bab 2.5.