Kalkulus 1 — Pertemuan 10
Integral Tak Tentu (Antiderivatif)
Operasi kebalikan turunan: menemukan fungsi yang turunannya diketahui. Rumus-rumus dasar, sifat linearitas, dan teknik substitusi-u.
Ref: Purcell, Varberg & Rigdon, Calculus 9th ed., Bab 4.1–4.3. Stewart, Calculus 9th ed., Bab 4.9, 5.4.
1. Konsep: Apa Itu Antiderivatif?
Pertanyaan fundamental: Jika kita tahu turunan suatu fungsi, bisakah kita menemukan fungsi aslinya?
Turunan: "Diberikan f, cari f'." → Antiderivatif: "Diberikan f', cari f."
Contoh: Jika f'(x) = 2x, maka f(x) = x² + C. Mengapa "+ C"? Karena turunan konstanta = 0, sehingga x², x² + 5, x² - 17 semuanya memiliki turunan yang sama: 2x.
Definisi 4.1.1 (Purcell)
Antiderivatif
Fungsi F disebut antiderivatif dari f pada interval I jika:
Notasi integral tak tentu:
di mana C adalah konstanta integrasi (bilangan real sembarang). "+C" mewakili keluarga antiderivatif.
Teorema 4.1.2: Keunikan Antiderivatif (Purcell)
Jika F dan G keduanya antiderivatif dari f pada interval I, maka:
Bukti: (G - F)' = G' - F' = f - f = 0 pada I. Oleh karena itu G - F = C (fungsi dengan turunan nol di interval = konstanta, akibat MVT).
Keluarga Antiderivatif: ∫2x dx = x² + C
2. Sifat Aljabar Integral Tak Tentu
Teorema 4.1.3: Linearitas Integral (Purcell)
Untuk fungsi f, g yang memiliki antiderivatif, dan konstanta a, b:
Secara khusus:
∫cf(x) dx = c∫f(x) dx (konstanta keluar)
∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx (jumlah/selisih)
PERINGATAN: ∫f(x)·g(x) dx ≠ (∫f dx)·(∫g dx). Integral TIDAK memiliki "aturan perkalian" sederhana! Untuk integral perkalian, kita butuh teknik khusus (by parts, substitusi, dll.).
3. Power Rule untuk Integral
Teorema 4.2.1: Power Rule Integral (Purcell)
Kasus n = -1: ∫x⁻¹ dx = ∫(1/x) dx = ln|x| + C
Contoh cepat:
∫x³ dx = x⁴/4 + C
∫x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C
∫√x dx = ∫x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = 2x^(3/2)/3 + C
∫1 dx = ∫x⁰ dx = x + C
4. Integral Trigonometri Dasar
Teorema 4.2.2: Enam Integral Trigonometri Dasar (Purcell)
1. ∫sin x dx = -cos x + C
2. ∫cos x dx = sin x + C
3. ∫sec²x dx = tan x + C
4. ∫csc²x dx = -cot x + C
5. ∫sec x · tan x dx = sec x + C
6. ∫csc x · cot x dx = -csc x + C
Setiap rumus adalah kebalikan dari turunan trigonometri. Verifikasi: diferensiasikan hasil untuk mendapatkan kembali integrand.
5. Integral Eksponensial & Logaritma
Teorema 4.2.3: Integral Eksponen & Log (Purcell)
1. ∫ex dx = ex + C
2. ∫ax dx = ax/ln a + C (a > 0, a ≠ 1)
3. ∫(1/x) dx = ln|x| + C (x ≠ 0)
Perhatikan nilai mutlak pada ln|x|. Ini karena ln hanya terdefinisi untuk argumen positif, tetapi 1/x terdefinisi juga untuk x < 0.
6. Tabel Ringkasan Rumus Integral Dasar
| f(x) | ∫f(x) dx | Syarat |
|---|---|---|
| xn | xn+1/(n+1) + C | n ≠ -1 |
| 1/x | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| ex | ex + C | -- |
| ax | ax/ln a + C | a > 0, a ≠ 1 |
| sin x | -cos x + C | -- |
| cos x | sin x + C | -- |
| sec²x | tan x + C | -- |
| csc²x | -cot x + C | -- |
| sec x tan x | sec x + C | -- |
| csc x cot x | -csc x + C | -- |
| 1/(1+x²) | arctan x + C | -- |
| 1/√(1-x²) | arcsin x + C | |x| < 1 |
7. Substitusi-u (Change of Variable)
Teorema 4.3.1: Substitusi-u (Purcell)
Jika u = g(x) terdiferensialkan, maka:
Ini adalah "chain rule terbalik". Kunci: identifikasi u sehingga du = g'(x)dx ada dalam integrand.
Langkah-Langkah Substitusi-u
Langkah 1: Pilih u = bagian "dalam" (inner function). Biasanya bagian yang paling rumit atau argumen dari fungsi luar.
Langkah 2: Hitung du/dx, lalu tulis du = (du/dx) · dx.
Langkah 3: Ganti semua x dan dx dalam integrand dengan u dan du.
Langkah 4: Integralkan dalam u.
Langkah 5: Kembalikan substitusi (ganti u dengan g(x)).
Contoh Detail: ∫2x · cos(x²) dx
Langkah 1: Pilih u = x² (bagian "dalam" dari cos).
Langkah 2: du = 2x dx. Perhatikan bahwa 2x dx sudah ada dalam integrand!
Langkah 3: ∫cos(x²) · 2x dx = ∫cos(u) du
Langkah 4: ∫cos(u) du = sin(u) + C
Langkah 5: = sin(x²) + C
Verifikasi: d/dx[sin(x²)] = cos(x²) · 2x ✓
8. Latihan Interaktif: Langkah demi Langkah
Pilih Tipe Integral
∫(3x⁴ - 2x² + 5) dx
Langkah 1: Linearitas: pisahkan
3∫x⁴dx - 2∫x²dx + 5∫dx
Langkah 2: Power rule: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3·x⁵/5 - 2·x³/3 + 5x
Langkah 3: Tambahkan konstanta C
3x⁵/5 - 2x³/3 + 5x + C
9. Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem)
Metode: Menentukan C dari Syarat Awal
Diberikan f'(x) dan syarat awal f(a) = b, maka:
1. Integralkan: F(x) = ∫f'(x) dx + C
2. Substitusi syarat awal: F(a) = b → selesaikan untuk C
3. Tulis solusi lengkap F(x)
Contoh: Gerak Benda
Percepatan benda: a(t) = -9.8 m/s². Kecepatan awal v(0) = 20 m/s. Posisi awal s(0) = 0.
v(t) = ∫a(t)dt = -9.8t + C₁
v(0) = 20 → C₁ = 20 → v(t) = -9.8t + 20
s(t) = ∫v(t)dt = -4.9t² + 20t + C₂
s(0) = 0 → C₂ = 0 → s(t) = -4.9t² + 20t
Ini adalah kinematika dasar, yang sebenarnya menggunakan integral dua kali!
Contoh Soal & Pembahasan
Soal 1: Power Rule
Hitung ∫(4x³ - 6x + 2/x²) dx
Soal 2: Trigonometri
Hitung ∫(3cos x - 2sec²x) dx
Soal 3: Substitusi-u
Hitung ∫x²√(x³ + 1) dx
Soal 4: Substitusi-u dengan Manipulasi
Hitung ∫sin³x · cos x dx
Soal 5: Initial Value Problem
Cari f(x) jika f'(x) = 6x² - 4x + 3 dan f(1) = 10.
Soal 6: Substitusi-u Lanjut
Hitung ∫e^(3x) dx
10. Integral yang Menghasilkan Fungsi Invers Trigonometri
Teorema 4.2.4: Integral Invers Trigonometri (Purcell)
1. ∫ 1/√(1 - x²) dx = arcsin x + C
2. ∫ -1/√(1 - x²) dx = arccos x + C
3. ∫ 1/(1 + x²) dx = arctan x + C
4. ∫ 1/(x√(x² - 1)) dx = arcsec |x| + C
Rumus lebih umum: ∫1/√(a² - x²) dx = arcsin(x/a) + C dan ∫1/(a² + x²) dx = (1/a)arctan(x/a) + C.
Contoh: ∫1/(4 + x²) dx
Ini berbentuk ∫1/(a² + x²) dx dengan a = 2.
= (1/2) arctan(x/2) + C
Verifikasi: d/dx[(1/2)arctan(x/2)] = (1/2) · 1/(1+(x/2)²) · (1/2) = 1/(4+x²) ✓
Koneksi Penting: Rumus-rumus integral ini akan digunakan kembali di Kalkulus 2 saat membahas integral improper dan di teknik integrasi lanjut (pecahan parsial dengan faktor kuadratik tak tereduksi).
Bank Soal Multi-Kompleksitas + Visualisasi Penyelesaian
Ref: Purcell 9e Bab 4.1–4.3 & Stewart 9e Bab 4.9, 5.4 — Antiderivatif dan integral tak tentu.
Mudah — Konsep Dasar Tunggal
E1. Hitung ∫(4x³ − 6x + 2) dx
E2. Hitung ∫cos x dx dan ∫sin x dx
E3. Hitung ∫e^(3x) dx
E4. Verifikasi: d/dx[(2/3)x^(3/2) + C] = √x
Sedang — Kombinasi 2+ Konsep
M1. Hitung ∫(x + 1)/√x dx dengan menyederhanakan terlebih dahulu
M2. Cari f(x) jika f'(x) = 3x² − 4x + 1 dan f(0) = 5
M3. Hitung ∫1/(1+x²) dx dan ∫1/√(1−x²) dx
M4. Hitung ∫(2x−1)^5 dx menggunakan substitusi-u
Sulit — Strategi Multi-Step
H1. Hitung ∫x·e^(x²) dx dan visualisasikan keluarga antiderivatif
H2. Hitung ∫sec²x·tan x dx dengan dua metode berbeda dan tunjukkan hasilnya ekuivalen.
H3. Hitung ∫x²·√(x+1) dx menggunakan substitusi u = x+1
H4. Cari f(x) dari kondisi: f''(x) = 6x, f'(1) = 2, f(0) = 4
Aplikasi (Mixed — Kasus Nyata)
MX1. Fisika — Posisi dari Percepatan
Benda dengan percepatan a(t) = 6t − 4 m/s². Kecepatan awal v(0) = 3 m/s dan posisi awal x(0) = −2 m. Cari x(t) dan tentukan posisi saat t = 3.
MX2. Ekonomi — Biaya Marginal ke Total
Biaya marginal MC(q) = 3q² − 10q + 50 (ribu rupiah/unit). Biaya tetap = 200 ribu. Cari fungsi biaya total TC(q).
MX3. Kriptografi — Entropi Shannon sebagai Integral
Dalam teori informasi, entropi kontinu (differential entropy) h(X) = −∫f(x)ln f(x) dx. Untuk distribusi seragam f(x) = 1/(b−a) pada [a,b]: hitung h(X). Apa hubungannya dengan panjang kunci kriptografi?