Kalkulus — Bagian 2

Kalkulus 2: Integral dan Deret

Integral Calculus — dari antiderivatif hingga deret tak hingga, menghitung akumulasi dan aproksimasi.

Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th ed. Pearson Education.

A. Integral Tak Tentu (Antiderivatif)

1. Konsep Antiderivatif

Integral tak tentu adalah proses kebalikan dari diferensiasi. Jika F'(x) = f(x), maka:

∫ f(x) dx = F(x) + C

di mana C adalah konstanta integrasi (karena turunan konstanta = 0, ada tak hingga banyak antiderivatif).

Power Rule

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1

Eksponensial

∫ e^x dx = e^x + C

Logaritma Natural

∫ (1/x) dx = ln|x| + C

Trigonometri

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = −cos x + C

Sum/Difference

∫ [f ± g] dx = ∫f dx ± ∫g dx

Constant Multiple

∫ c·f(x) dx = c · ∫f(x) dx

2. Metode Substitusi (u-substitution)

Kebalikan dari chain rule. Misalkan u = g(x), maka du = g'(x) dx:

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du

Contoh:

∫ 2x · cos(x²) dx

u = x², du = 2x dx

= ∫ cos(u) du = sin(u) + C

= sin(x²) + C

B. Integral Tentu

1. Jumlah Riemann (Riemann Sum)

Integral tentu didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann — jumlah luas persegi panjang di bawah kurva:

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ f(x_i^*) · Δx

Intuisi: Semakin banyak persegi panjang (n → ∞), semakin akurat aproksimasi. Pada limit, jumlah Riemann menjadi integral tentu yang menyatakan luas tepat di bawah kurva.

2. Teorema Dasar Kalkulus (Fundamental Theorem of Calculus)

FTC Bagian 1

Jika F(x) = ∫_a^x f(t) dt, maka:

F'(x) = f(x)

Diferensiasi "membatalkan" integrasi.

FTC Bagian 2

Jika F adalah antiderivatif dari f, maka:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Menghubungkan integral tentu dengan antiderivatif.

Teorema ini adalah jembatan antara differential calculus dan integral calculus — dua operasi yang tampak berbeda ternyata invers satu sama lain. Ini adalah salah satu teorema terpenting dalam seluruh matematika.

3. Contoh Soal: Integral Tentu

Soal 1: Integral Polinomial

Hitung ∫₁³ (2x² + 3) dx

Penyelesaian:

F(x) = (2/3)x³ + 3x

= F(3) − F(1) = [(2/3)(27) + 9] − [(2/3)(1) + 3]

= [18 + 9] − [2/3 + 3] = 27 − 11/3

= 70/3 ≈ 23.33

Soal 2: Integral Trigonometri

Hitung ∫₀^π sin x dx

Penyelesaian:

= [−cos x]₀^π = (−cos π) − (−cos 0)

= (−(−1)) − (−1) = 1 + 1 = 2

Soal 3: Integral dengan Substitusi

Hitung ∫₀¹ x · e^x² dx

Penyelesaian:

u = x², du = 2x dx → x dx = du/2

Batas: x=0 → u=0, x=1 → u=1

= (1/2) ∫₀¹ e^u du = (1/2)[e^u]₀¹

= (1/2)(e − 1) = (e−1)/2 ≈ 0.859

Soal 4: Luas di bawah Kurva

Tentukan luas daerah yang dibatasi y = x², sumbu x, x = 0, dan x = 2.

Penyelesaian:

A = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀²

= 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667 satuan luas

Visualisasi: Luas di Bawah Kurva y = x²

C. Teknik Integrasi

1. Rangkuman Teknik

1. Substitusi (u-sub)

Cocok jika integrand mengandung f(g(x))·g'(x). Misalkan u = g(x).

∫ sin(3x) · 3 dx → u=3x

2. Integral Parsial (By Parts)

∫ u dv = uv − ∫ v du

Pilih u dan dv menggunakan aturan LIATE: Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential.

3. Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Urai fungsi rasional menjadi pecahan-pecahan sederhana.

(2x+1)/((x+1)(x+2)) = A/(x+1) + B/(x+2)

4. Substitusi Trigonometri

Untuk integrand dengan √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²).

√(a²−x²) → x = a sin θ

2. Contoh Soal: Teknik Integrasi

Soal 1: Integration by Parts

Hitung ∫ x · e^x dx

Penyelesaian:

u = x, dv = e^xdx → du = dx, v = e^x

= x·e^x − ∫ e^x dx

= x·e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C

Soal 2: Pecahan Parsial

Hitung ∫ (3x + 5)/((x + 1)(x + 2)) dx

Penyelesaian:

(3x+5)/((x+1)(x+2)) = A/(x+1) + B/(x+2)

3x+5 = A(x+2) + B(x+1)

x=−1: 2 = A(1) → A = 2

x=−2: −1 = B(−1) → B = 1

= 2 ln|x+1| + ln|x+2| + C

Soal 3: Substitusi Trigonometri

Hitung ∫ 1/√(4 − x²) dx

Penyelesaian:

x = 2 sin θ, dx = 2 cos θ dθ

√(4 − x²) = √(4 − 4sin²θ) = 2 cos θ

= ∫ (2 cos θ)/(2 cos θ) dθ = ∫ dθ = θ + C

= arcsin(x/2) + C

D. Aplikasi Integral

1. Luas Daerah antara Dua Kurva

A = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx, di mana f(x) ≥ g(x) pada [a,b]

Contoh:

Luas daerah antara y = x² dan y = x pada [0, 1].

A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹

= 1/2 − 1/3 = 1/6 satuan luas

2. Volume Benda Putar (Solids of Revolution)

Metode Cakram (Disk Method)

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

Putar mengelilingi sumbu x

Metode Kulit Tabung (Shell)

V = 2π ∫_a^b x · f(x) dx

Putar mengelilingi sumbu y

Contoh: Volume Kerucut

y = x diputar mengelilingi sumbu x pada [0, 3]. Tentukan volume.

V = π ∫₀³ x² dx = π [x³/3]₀³

= π(27/3) = 9π ≈ 28.27 satuan volume

3. Panjang Kurva dan Kerja (Work)

Panjang Kurva (Arc Length)

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

Contoh: y = x^3/2 pada [0, 4]:

f'(x) = (3/2)x^1/2

L = ∫₀⁴ √(1 + 9x/4) dx

Kerja (Work)

W = ∫_a^b F(x) dx

Contoh: Pegas dengan F(x) = kx, tarik dari 0 ke d:

W = ∫₀^d kx dx = kd²/2

(Hukum Hooke)

E. Deret Tak Hingga (Infinite Series)

1. Deret Geometri dan Konvergensi

Deret geometri: ∑_n=0^∞ arⁿ = a + ar + ar² + ar³ + ...

Konvergen (|r| < 1)

∑_n=0^∞ arⁿ = a / (1 − r)

Contoh: ∑ (1/2)ⁿ = 1/(1−1/2) = 2

Divergen (|r| ≥ 1)

Deret tidak memiliki jumlah hingga.

Contoh: ∑ 2ⁿ = 1 + 2 + 4 + 8 + ... → ∞

Uji Konvergensi Lain: Uji rasio (ratio test), uji akar (root test), uji perbandingan (comparison test), uji integral. Lihat Purcell Ch. 9–10 untuk detail lengkap.

2. Deret Taylor dan Maclaurin

Deret Taylor mengekspresikan fungsi sebagai polinomial tak hingga di sekitar titik a:

f(x) = ∑_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x − a)ⁿ

Jika a = 0, disebut deret Maclaurin:

e^x

= 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

sin x

= x − x³/3! + x&sup5;/5! − ...

cos x

= 1 − x²/2! + x&sup4;/4! − ...

ln(1+x)

= x − x²/2 + x³/3 − ...

1/(1−x)

= 1 + x + x² + x³ + ...

(1+x)^α

= 1 + αx + α(α−1)x²/2! + ...

Visualisasi: Aproksimasi Taylor untuk sin(x)

Deret Taylor orde-1 (T₁ = x) hanya akurat di sekitar 0. Dengan menambah suku (T₃, T₅, T₇, ...), aproksimasi menjadi semakin baik pada interval yang semakin lebar.

3. Contoh Soal: Deret

Soal 1: Deret Geometri

Hitung ∑_n=0^∞ 3 · (1/4)ⁿ

= 3 / (1 − 1/4) = 3 / (3/4) = 4

Soal 2: Maclaurin

Tuliskan deret Maclaurin untuk f(x) = e^2x hingga suku ke-4.

e^2x = ∑ (2x)ⁿ/n!

= 1 + 2x + 2x² + (4/3)x³ + (2/3)x&sup4; + ...

Soal 3: Uji Rasio

Tentukan konvergensi ∑_n=1^∞ n!/nⁿ

Penyelesaian (Ratio Test):

L = lim_n→∞ |a_n+1/a_n|

= lim (n/(n+1))ⁿ = 1/e < 1

Deret konvergen (karena L < 1)

F. Koneksi ke Ilmu Komputer

1. Probability & Statistics: Continuous Distributions

Probabilitas variabel acak kontinu dihitung dengan integral:

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

Di mana f(x) adalah probability density function (PDF). Distribusi normal, eksponensial — semua menggunakan integral!

2. Taylor Series dalam Numerical Computation

Komputer menghitung sin(x), cos(x), e^x, ln(x) menggunakan pendekatan polinomial Taylor.

Contoh: chip floating-point menggunakan polinomial minimax (variasi Taylor) untuk evaluasi fungsi transendental.

sin(0.5) ≈ 0.5 − 0.5³/6 + 0.5&sup5;/120 = 0.479427...

3. Monte Carlo Integration

Untuk integral yang sulit dihitung secara analitik, gunakan sampling acak:

∫_a^b f(x) dx ≈ (b−a)/N · ∑_i=1^N f(x_i)

Digunakan dalam rendering grafis (ray tracing), simulasi fisika, dan Bayesian inference.

4. Signal Processing

Transformasi Fourier — inti dari audio processing, image compression (JPEG), dan komunikasi digital — adalah integral:

F(ω) = ∫_−∞^∞ f(t) · e^−iωt dt

Referensi

Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S. (2007). Calculus, 9th Edition. Pearson Education. Chapters 5–10.
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage Learning.
Press, W.H., et al. (2007). Numerical Recipes, 3rd ed. Cambridge University Press.